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Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 75° और AB + AC = 13 cm हो।
हल :
दिया है : आधार BC = 7 cm, ∠B = 75° और दो भुजाओं का योग AB + AC = 13 cm है।
अभीष्ट है : ΔABC की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण BX खींचिए और इसमें से BC = 7 cm काटिए।

2. B पर ∠YBX = 75° की रचना कीजिए।
3. B को केंद्र मानकर और त्रिज्या = 13 cm
(∵ AB + AC = 13 cm) लेकर एक चाप खींचिए जो BY को D पर मिलता है।
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
6. AC को मिलाइए।
तब ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
A, CD के लंब समद्विभाजक पर स्थित है :
∴ AC = AD और तब
AB = BD – AD
⇒ AB = BD – AC
⇒ AB + AC = BD = 13 cm.
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है।)

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 8 cm., ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 cm हो।
हल :
दिया है : आधार BC = 8 cm
एक आधार कोण LB = 45°
और दो भुजाओं में अंतर
AB – AC = 3.5 cm
अभीष्ट है : AABC की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण BX खींचिए और इसमें से रेखाखंड BC = 8 cm काटिए।

2. ∠YBC = 45° बनाइए।
3. BY में से रेखाखंड BD = 3.5 cm काटिए।
(∵ AB – AC = 3.5 cm)
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए जो BY को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करे।
6. AC को मिलाइए।
तब, ABC अभीष्ट त्रिभुज है
A, CD के लंब समर्विभाजक पर स्थित है।
∴ AD = AC
अब BD = AB – AD
⇒ BD = AB – AC
⇒ BD = AB – AC = 3.5 cm
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 6 cm., ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 cm हो।
हल :
दिया है : आधार QR = 6 cm; एक आधार कोण ∠Q = 60° और दो भुजाओं में अंतर की रचना करनी।
PR – PQ = 2 cm
अभीष्ट है : ΔPQR की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण QX खींचिए और इसमें से रेखांखड QR = 6 cm काटिए।

2. QR के साथ 60° का कोण बनाती हुई किरण QY खींचिए और YQ को बढ़ाइए ताकि YQY’ बन जाए।
3. QY’ में से रेखाखंड QO = 2 cm काटिए।
(∵ PR – PQ = 2 cm)
4. OR को मिलाइए।
5. OR का लंब समद्विभाजक MN खींचिए।
6. PR को मिलाइए।
तब, PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
P, OR के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ PO = PR
⇒ PQ + QO = PR
⇒ QO = PR – PQ
⇒ PR – PQ = 2 cm
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 cm. हो।
हल :
दिया है : आधार कोण ∠Y = 30° और ∠Z = 90°
तीनों भुजाओं का योग XY + YZ + ZX = 11 cm
अभीष्ट है : AXYZ की रचना करना। रचना के चरण :
1. एक रेखाखंड PQ = 11 cm खींचिए।
(∵ XY + YZ + ZX = 11 cm):

2. ∠KPQ = 30° (∵ ∠Y = 30°)
आर ∠LQP = 90° (∵ ∠Z = 90°)
3. ∠KPQ और ∠LQP को समद्विभाजित कीजिए।
मान लीजिए ये बिंदु X पर प्रतिच्छेद करते हैं।
4. PX का लंब समद्विभाजक और MN और QX का लंब समद्विभाजक RS खींचिए।
5. मान लीजिए MN, PQ को Y पर RS, PQ को Z पर प्रतिच्छेद करता है।
XY और XZ को मिलाइए।
तब XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

रचना की पुष्टि :
हम देखते हैं कि Y, PX के लंब समद्विभाजक MN पर स्थित है।
∴ PY = XY
इस प्रकार QZ = XZ
इससे प्राप्त होता है XY + YZ + ZX = PY + YZ + QZ = PQ = 11 cm (जो की सत्य है जैसा कि दिया
पुनः ∠YXP = ∠XPY
(जैसा कि ΔXPY में XY = PY)
∠XYZ = ∠YXP + ∠XPY
= 2∠XPY = ∠KPQ
⇒ ∠XYZ = 30°
(जो की सत्य है जैसा कि दिया है)
इसी प्रकार∠XZY = ∠LQP
⇒ ∠XZY = 90°
(जो की सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 cm. और कर्ण तथा अन्य भुजाओं का योग 18 cm. है।
हल:
मान लीजिए ΔABC की रचना करनी है जिसमें आधार BC = 12 cm., कर्ण तथा अन्य भुजा का योग
अर्थात् AB + AC = 18 cm .
और ∠ABC = 90°

रचना के पग :
1. किरण BX खींचिए और इस में से रेखाखंड BC = 12 cm काटिए।

2. ∠XBY = 90° बनाइए।
3. BY में से रेखाखंड BD = 18 cm काटिए।
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करता है।
6. AC को मिलाइए।
तब, ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
A, CD के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∵ AC = AD और तब
AB = BD – AD
⇒ AB = BD – AC
⇒ AB + AC = BD = 18 cm
दूसरी भुजा और कर्ण का योग 18 cm (जो कि सत्य है जैसा कि दिया है).

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

प्रश्न 1.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. O को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप LM खींचिए। OA को L पर काटे।

3. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर काटे।

4. तब P को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को बिंदु Q पर काटे।

5. किरण OB खींचने के लिए OP को मिलाइए। साथ ही, किरण OC प्राप्त करने के लिए O और Q को मिलाइए। हम देखते हैं कि :
∠AOB = ∠BOC = 60°

6. अब हमने ∠BOC को समद्विभाजित करना है। इसके लिए P को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)PQ से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।

7. अब Q को केंद्र मानकर और चरण 6 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप लगाइए जो चरण 6 वाली चाप को R पर काटे।
8. किरण OD खींचने के लिए और R को मिलाइए। तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 90° है।

सत्यापन : ∠AOD, को मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 90° है।
रचना की प्रमाणिकता :
PL, को मिलाइए, तब
OL = OP = PL (रचना से)
अतः, ΔOPL एक समबाहु त्रिभुज है और ∠POL जोकि ∠BOA के समान है जो 60° के बराबर है।

अब, QP को मिलाइए
OP = OQ = PQ (रचना से)
अतः, ΔOQP एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠POQ जोकि ∠BOC के बराबर है, 60° का है।
रचना से OD, ∠BOC का समद्विभाजक है।
∴ ∠DOC = ∠DOB = \(\frac{1}{2}\)∠BOC
= \(\frac{1}{2}\) × 60° = 30°
अब ∠DOA = ∠BOA + ∠DOB
⇒ ∠DOA = 60° + 30°
⇒ ∠DOA = 90°.

प्रश्न 2.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
हम देखते हैं कि 45° = \(\frac{1}{2}\) × 90°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते है।
अतः, 45° का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते है :

रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए। (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में किए हैं।)
2. L के केंद्र को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LS, से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।

3. अब S को केंद्र मानकर और चरण 2 वाली ही त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 2 वाली चाप को T पर काटती है।

4. O और T को मिलाइए और किरण OE खींचिए।
अतः, OE, ∠AOD को समद्विभाजित करती है। इसलिए, ∠AOE = ∠DOE = 45° है।
सत्यापन : ∠AOE, को मापिए, आप देखोगे कि ∠AOE = 45° है।

रचना की प्रमाणिकता :
LS को मिलाइए तब ΔOLS समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें O पर समकोण है। .
∴ OL = OS

इसलिए O, SL के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ SF = FL
और ∠OFS = ∠OFL (प्रत्येक 90°)
अब ΔOFS और ΔOFL में,
OF = OF (उभयनिष्ठा)
OS = OL (रचना से)
SF = FL (ऊपर प्रमाणित)
∴ ΔOFS ≅ ΔOFL (SSS नियम से)
⇒ ∠SOF = ∠LOF
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग।)
अब
∠SOF + ∠LOF = ∠SOL
⇒ ∠LOF + ∠LOF = 90°
⇒ 2∠LOF = 90°
⇒ ∠LOF = \(\frac{1}{2}\) × 90°
⇒ ∠LOF = 45°
या, ∠AOE = 45° (जोकि रचना के अनुसार सत्य है।)

प्रश्न 3.
निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°
(ii) \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
(iii) 15°.
हल :
(i) 30° की रचना :
हम देखते हैं कि 30° = \(\frac{1}{2}\) × 60°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समदविभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
अतः 30° के कोण की रचना के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :

रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. O को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर
चाप LM खींचिए जो OA को L पर काटती है।

3. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो LM को N पर काटती है।

4. O और N को मिलाइए और रेखा OB खींचिए। तब ∠AOB = 60° है।

5. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LN, से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।

6. अब N को केंद्र मानकर और चरण 5 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो कि चरण 5 वाली चाप को P पर काटे।
7. O और P को मिलाइए और किरण OC खींचिए।

अतः, OC, ∠AOB को समद्विभाजित करती है और इसलिए
∠AOC = ∠BOC = 30°
सत्यापन : ∠AOC को मापिए, आप देखेंगे कि ∠AOC = 30° है।

(ii) \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) की रचना :
हम देखते हैं कि \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) = \(\frac{1}{2}\) × 45°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
\(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :

रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए।
(टिप्पणी : प्रश्न न० 1 में दिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में लिए हैं।)
2. अब ∠AOD को किरण OE से इस प्रकार
समद्विभाजित ∠DOE = ∠AOE = 45° (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो प्रश्न न० 2 में 45° के कोण की रचना में लिए हैं।)

3. मान लीजिए किरण OE वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करे।
4. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LN से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. N को केंद्र मानकर और वही त्रिज्या जो चरण 4 में ली गई है। लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 4 वाली चाप को I पर काटे।
6. O और I को मिलाइए और किरण OF खींचिए।
अतः, OF, ∠AOE को समद्विभाजित कीजिए।
∠AOF = ∠EOF = \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
सत्यापन : ∠AOF को चाँदे की सहायता से मापिए। हम देखते हैं कि ∠AOF = \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)

(iii) 15° की रचना :
हम देखते हैं कि 15° = \(\frac{1}{2}\) × 30°
इसलिए अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए हम दिए गए कोण को समद्विभाजित करने वाली विधि का अनुसरण करते हैं।
अतः, 15° के कोण की रचना के लिए हम निम्नलिखित चरणों का अनुसरण करते हैं।
रचना के चरण :
1. ∠AOB = 60° खींचिए।
2. अब ∠AOB को किरण OC से इस तरह समद्विभाजित कीजिए कि ∠BOC = ∠AOC = 30° [टिप्पणी : प्रश्न 3 (i) में 30° की रचना में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।]

3. मान लीजिए किरण OC वृत्त की चाप को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करती है।
4. अब L को केंद्र मान कर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LQ से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. Q को केंद्र मानकर और चरण 4 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जोकि चरण 4 वाली चाप को R पर प्रतिच्छेद करे।
6. O और R को मिलाइए और किरण OS खींचिए।
अत: OS, ∠AOC को समविभाजित करता है।
इसलिए, ∠COS = ∠AOS = 15° है।
सत्यापन : ∠AOS को चाँदे से मापिए हम देखते हैं कि ∠AOS = 15° है।

प्रश्न 4.
निम्न कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°
(ii) 105°
(ii) 135°
हल :
(i) 75° की रचना
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 60° और ∠ABF = 90° खींचिए। (टिप्पणी : उदाहरण 1 और प्रश्न न० 1 में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।)
2. मान लीजिए किरण BF वृत्त की चाप को G पर काटती है।
3. अब M को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)MG से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।

4. G को केंद्र मान कर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए जो पहली चाप को H पर प्रतिच्छेद करे।
5. H में से एक किरण BC खींचिए जो ∠EBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 75° अभीष्ट कोण है।

सत्यापन : ∠ABC को चाँदे द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 75°
रचना की प्रमाणिकता :
∠EBF = ∠ABF – ∠ABE = 90° – 60° = 30°
∠EBC = ∠CBF
= \(\frac{1}{2}\)∠EBF = \(\frac{1}{2}\)(30°)
= 15°
[∵ BC ∠EBF को समद्विभाजित करता है]
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 60° + 150
⇒ ∠ABC = 750
(जोकि चाँद द्वारा मापे जाने पर सत्य है।)

(ii) 105° की रचना
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 90° और ∠ABF = 120° खींचिए।
2. मान लीजिए किरण BE वृत्त की चाप को M पर तथा किरण BF वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करती है।
3. M को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)MN से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
4. N को केंद्र मानकर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 3 वाली चाप को P पर प्रतिच्छेद करे।
5. P में से किरण BC खींचिए जो ∠EBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 105° अभीष्ट कोण है।

सत्यापन : ∠ABC को चाँद द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 105° है।
रचना की प्रमाणिकता :
∠EBF = ∠ABF – ∠ABE
⇒ ∠EBF = 120° – 90° = 30°
∠EBC = ∠CBF = \(\frac{1}{2}\)∠EBF
= \(\frac{1}{2}\)(30°) = 15°
[∵ BC, ∠EBF का समद्विभाजक है।]
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 90° + 15°
⇒ ∠ABC = 105°
[जोकि चाँदे द्वारा मापे जाने पर सत्य है।]

(iii) 135° की रचना
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. O को केंद्र मानकर और कोई सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप LM (जिसकी लंबाई अर्धवृत्त से अधिक हो) खींचिए जो OA को L पर प्रतिच्छेद करे।

3. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या = OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर प्रतिच्छेद करे।

4. तब P को केंद्र और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को Q पर प्रतिच्छेद करे।

5. अब ∠POQ को किरण OB द्वारा समद्विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है ; ∠AOB = 90°

6. अब Q को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो QM को N पर प्रतिच्छेद करे।

7. O और N को मिलाकर किरण OC खींचिए।

अतः, हम प्राप्त करते हैं ∠AOC = 180°
या ∠BOC = ∠AOB = 90°
8. अब ∠BOC को किरण OD द्वारा समद्विभाजित कीजिए।
तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 135° है।
[क्योंकि ∠AOD = ∠AOB+ ∠BOD
= 90° + 45°
= 135°]
सत्यापन : ∠AOD को चाँदे से मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 135°

प्रश्न 5.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जबकि इसकी भुजा दी हो, तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल :
दी गई भुजा (मान लीजिए यह ΔABC है जिसकी एक भुजा 6 cm. है।) की समबाहु त्रिभुज की रचना।
रचना के चरण :
1. 6 cm. की लंबाई का एक रेखाखंड BC खींचिए।
2. B पर ∠XBC = 60° खींचिए।
3. रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए।
4. मान लीजिए PQ किरण BX और BC को क्रमशः बिंदुओं A और D पर प्रतिच्छेद करती है।
5. AC को मिलाइए।
अतः, ABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

रचना की पुष्टि :
समकोण ΔADB और समकोण ΔADC में,
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
(रचना से)
BD = CD. (रचना से)
∴ ΔADB ≅ ΔADC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
∴ ∠B = ∠C = 60°
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसलिए, ΔABC में तीसरा कोण,
∠A = 180° – (∠B + ∠C)
= 180° – (60° + 60°)
= 180° – 120°
= 60°
त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का है। अतः, बनाई गई त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए गए हैं।
सही उत्तर पर गोल दायरा लगाओ-

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी० और 11 सेमी० हैं और जिसका परिमाप 32 सेमी० है उसका अर्धपरिमाप होगा-
(A) 4 सेमी०
(B) 13 सेमी०
(C) 14 सेमी०
(D) 16 सेमी०
उत्तर:
(D) 16 सेमी०

प्रश्न 2.
एक त्रिभुजाकार भूखण्ड की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 मी० है। इसकी तीनों भुजाएँ होंगी-
(A) 60 मी०, 100 मी०, 40 मी०
(B) 50 मी०, 80 मी०, 60 मी०
(C) 45 मी०, 75 मी०, 95 मी०
(D) 65 मी०, 35 मी०, 80 मी०
उत्तर:
(A) 60 मी०, 100 मी०, 40 मी०

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी० है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी० लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 8\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(B) 7\(\sqrt{12}\) सेमी०²
(C) 9\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(D) 15\(\sqrt{15}\) सेमी०²।
उत्तर:
(C) 9\(\sqrt{15}\) सेमी०²

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी० और 10 सेमी० हैं और उसका परिमाप 42 सेमी० है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 21\(\sqrt{11}\) सेमी०²
(B) 31\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(C) 48\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(D) 56\(\sqrt{15}\) सेमी०²।
[उत्तर:
(A) 21\(\sqrt{11}\) सेमी०²
[ संकेत: S = \(\frac{42}{2}\) = 21.
a = 18, b = 10, c = 42 – 18 – 10 = 4
अब क्षेत्रफल
= \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

प्रश्न 5.
एक त्रिभुजाकार भूखण्ड की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 मी० है। इस भूखण्ड का क्षेत्रफल होगा-
(A) 1500\(\sqrt{3}\) मी०²
(B) 1200\(\sqrt{3}\) मी०²
(C) 1800\(\sqrt{3}\) मी०²
(D) 1600\(\sqrt{3}\) मी०²।
उत्तर:
(A) 1500\(\sqrt{3}\) मी०²
[संकेतः माना भुजाएँ 3x, 5x और 7x हैं
अब 3x + 5x + 7x = 300
या x = 20
इसलिए भुजाएं : 60 मी०, 100 मी०, 140 मी०
S = \(\frac{50+100+140}{2}\)
∴ क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)]

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी० तथा ऊँचाई 8 सेमी० है। इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 24 सेमी०²
(B) 96 सेमी०²
(C) 48 सेमी०²
(D) 56 सेमी०²
उत्तर:
(C) 48 सेमी०²

प्रश्न 7.
एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120 मी०, 80 मी० और 50 मी० हैं (आकृति देखिए) एक मालिन घनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अन्दर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है ?

(A) 375\(\sqrt{15}\) मी०²
(B) 275\(\sqrt{15}\) मी०²
(C) 125\(\sqrt{15}\) मी०²
(D) 135\(\sqrt{15}\) मी०²।
उत्तर:
(A) 375\(\sqrt{15}\) मी०²

प्रश्न 8.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरो के सूत्र का उपयोग करके बताइए कि इसका क्षेत्रफल है-
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a²
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a³
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a²
उत्तर:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²

प्रश्न 9.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 मी०, BC = 12 मी०, CD = 5 सेमी० और AD = 8 मी. है। इस पार्क का क्षेत्रफल होगा-
(A) 65.5 मी०² लगभग
(B) 75.5 मी०² लगभग
(C) 88.8 मी०² लगभग
(D) 78.5 मी०² लगभग।
उत्तर:
(A) 65.5 मी०² लगभग

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल होगा यदि AB = 3 सेमी०, BC = 4 सेमी०, CD = 4 सेमी०, DA = 5 सेमी० और AC = 5 सेमी०।
(A) 12.5 सेमी०²
(B) 15.2 सेमी०²
(C) 18.2 सेमी०²
(D) 19.4 सेमी०²।
उत्तर:
(B) 15.2 सेमी०²

प्रश्न 11.
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 cm² है। इसके कर्ण की लंबाई है।
(A) \(\sqrt{32}\) cm
(B) \(\sqrt{16}\) cm
(C) \(\sqrt{48}\) cm
(D) \(\sqrt{24}\) cm.
उत्तर:
(A) \(\sqrt{32}\) cm

प्रश्न 12.
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 m है। इसका क्षेत्रफल है :
(A) 10\(\sqrt{3}\) m²
(B) 15\(\sqrt{3}\) m²
(C) 20\(\sqrt{3}\) m²
(D) 100\(\sqrt{3}\) m².
उत्तर:
(D) 100\(\sqrt{3}\) m².

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज की भुजाएं 56 cm, 60 cm और 52 cm लंबाइयों की हैं। तब, त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(A) 1322 cm²
(B) 1311 cm²
(C) 1344 cm²
(D) 1392 cm²
उत्तर:
(C) 1344 cm²

प्रश्न 14.
2\(\sqrt{3}\) cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजा का क्षेत्रफल है:
(A) 5.196 cm²
(B) 0.866 cm²
(C) 3.496 cm²
(D) 1.732 cm².
उत्तर:
(A) 5.196 cm²

प्रश्न 15.
क्षेत्रफल 9\(\sqrt{2}\) cm² वाले एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुटा की लंबाई है।
(A) 8 cm
(B) 36 cm
(C) 4 cm
(D) 6 cm.
उत्तर:
(D) 6 cm.

प्रश्न 16.
यदि एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 16\(\sqrt{3}\) cm² है, तो इस त्रिभुज का परिमाप है
(A) 48 cm
(B) 24 cm
(C) 12 cm
(D) 36 cm.
उत्तर:
(B) 24 cm

प्रश्न 17.
एक त्रिभुज की भुजाएं 35 cm, 54 cm और 61 cm की हैं। इसके सबसे लंबे शीर्षलंब की लंबाई है
(A) 16\(\sqrt{5}\) cm
(B) 10\(\sqrt{5}\) cm
(C) 24\(\sqrt{5}\) cm
(D) 28 cm.
उत्तर:
(C) 24\(\sqrt{5}\) cm

प्रश्न 18.
आधार 2 cm और बराबर भुजाओं में से एक भुजा 4 cm वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
(A) \(\sqrt{15}\) cm²
(B) \(\sqrt{\frac{15}{2}}\) cm²
(C) 2\(\sqrt{15}\) cm²
(D) 4\(\sqrt{15}\) cm².
उत्तर:
(A) \(\sqrt{15}\) cm²

प्रश्न 19.
एक त्रिभुजाकार बोर्ड के किनारे 6 cm, 8 cm और 10 cm लंबाइयों के हैं। इस पर 9 पैसे प्रति cm² की दर से पेंट कराने का व्यय है।
(A) 2.00 रु०
(B) 2.16 रु०
(C) 2.48 रु०
(D) 3.00 रु०।
उत्तर :
(B) 2.16 रु०

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90° है, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?
हल:

आकृति में यदि हम BD को मिलाते हैं तो हम देखते हैं कि विकर्ण BD चतुर्भुज ABCD को त्रिभुजों
(i) समकोण त्रिभुज BCD (ii) ABD में विभाजित कर देती है।
समकोण ΔBCD, में C पर समकोण है।
इसलिए आधार CD = 5 m
और शीर्षलंब, BC = 12 m
ΔBCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × CD × BC
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 12 m²
= 30 m²
ΔABD; का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें भुजा BD की आवश्यकता है, इसलिए इसे इस प्रकार निकालते है।
समकोण ABCD, में C पर समकोण है।
BD² = CD² + BC²
[पाइथागोरस परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ BD² = 5² + 12²
= 25 + 144
⇒ BD² = 169
⇒ BD = \(\sqrt{169}\) = \(\sqrt{13 \times 13}\)
= 13 m
ΔABD का परिमाप = (9 + 8 + 13) m
ΔABD का अर्ध-परिमाप = \(\frac{30}{2}\) m
⇒ s = 15 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔABD का क्षेत्रफल

= 6\(\sqrt{35}\) m²
= 6 × 5.92 m²
= 35.5 m² (लगभग)
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ar (ΔBCD) + ar (ΔABD)
= 30 m² + 35.5 m²
= (30 + 35.5) m²
= 65.5 m²
अतः, चतुर्भुज का क्षेत्रफल 65.5 m² लगभग है।

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm हैं।
हल :
चतुर्भुज ABCD; में विकर्ण AC इसे दो त्रिभुजों ΔABC और ΔADC में विभाजित करता है।

ΔABC का परिमाप = (3 + 4 + 5) cm
⇒ 2s = 12 cm
⇒ s = \(\frac{12}{2}\) = 6 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
ΔABC का क्षेत्रफल

= 2 × 3 cm² = 6 cm²
ΔADC का परिमाप = (4 + 5 + 5) cm
⇒ 2s’ = 14 cm
⇒ s’ = \(\frac{14}{2}\) cm
⇒ s’ = 7 cm
हीरोन के सूत्र को प्रयोग करने पर;
ΔADC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{7(7-4)(7-5)(7-5)}\) cm²
= \(\sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2}\) cm²
= 2\(\sqrt{21}\) cm2
= 2 × 4.6 cm² लगभग
= 9.2 cm² लगभग
अब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔADC का क्षेत्रफल
= 6 cm² + 9.2 cm²
= (6 + 9.2) cm²
= 15.2 cm² लगभग
अतः, चतुर्भुज ABCD का अभीष्ट क्षेत्रफल 15.2 cm² लगभग है।

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज़ से एक हवाईजहाज़ का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज़ का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
भाग I का क्षेत्रफल
भाग I एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 5 cm और 1 cm है।


भाग II का क्षेत्रफल
भाग II एक आयत के रूप में है जिसकी भुजाएँ 6.5 cm और 1 cm है।
भाग II का क्षेत्रफल = 6.5 × 1 = 6.5 cm …. (2)
भाग II का क्षेत्रफल
भाग | एक समलंब के रूप में है जिसकी असमान भुजाएं 1 से० मी० और 2 cm, समान भुजाएं 1 cm की है।

समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (भुजा)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm²
समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1 × शीर्षलव
अब, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) × शीर्षलन
या शीर्षलम्ब = \(\frac{2 \times \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm
समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (समांतर भुजाओं का योग) × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2} \times(1+2) \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}\)
= \(\frac{3 \times 1.732}{4}\)
= 1.3 cm² …. (3)
भाग IV और भाग v का क्षेत्रफल
भाग IV और भाग V एक त्रिभुज के रूप में है जिनकी भुजाएँ 1.5 cm और 6 cm है।
∴ भाग IV का क्षेत्रफल = भाग II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1.5 × 6
= 4.5 cm² …. (4)
प्रयोग किए गए कागज़ का क्षेत्रफल = भाग I का क्षेत्रफल + भाग II का क्षेत्रफल + भाग III का क्षेत्रफल + भाग IV का क्षेत्रफल + भाग V का क्षेत्रफल
= (2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5) cm²
[(1), (2), (3), (4) के प्रयोग से]
= 19.3 cm² (लगभग)

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिभुज की भुजाएं 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं।
∴ त्रिभुज का परिमाप (2s) = (26 + 28 + 30) cm
⇒ 2s = 84 cm
⇒ अर्ध-परिमाप s = \(\frac{84}{2}\) cm
⇒ s = 42 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 cm
= 336 cm²
दिया है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ आधार × संगत ऊँचाई = 336 cm²
⇒ 28 cm × ऊँचाई = 336 cm²
⇒ ऊँचाई = \(\frac{336}{28}\) cm
⇒ ऊँचाई = 12 cm
अतः, समांतर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई 12 cm हैं।

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुजाकार खेत ABCD है।

इसलिए इसकी प्रत्येक बराबर भुजा; AB = BC = CD = DA = 30 m
और मान लीजिए इसका बड़ा विकर्ण AC = 48 m विकर्ण AC समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों
(i) ΔABC और (ii) ΔACD में विभाजित करता है। जैसा कि हम जानते हैं कि दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
इसलिए ar (AABC) = ar (ΔACD)
अब ΔABC का क्षेत्रफल निकालना ही पर्याप्त है।
जिसकी भुजाएँ AB = BC = 30 m
और AC = 48 m हैं ;
(2s) of ΔABC का परिमाप = (30 + 30 + 48) m
⇒ 2s = 108 m
⇒ अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{108}{2}\)m
⇒ s = 54 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर; ΔABC त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 3 × 6 × 24 m²
= 432 m²
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AABC का क्षेत्रफल + AACD का क्षेत्रफल
= ar. (ΔABC) + ar. (ΔABC)
[∵ ar. (ΔABC) = ar. (ΔACD]
= 2 ar. (ΔABC)
= 2 × 432 m²
= 864 m²
18 गायों के चरने के लिए प्राप्त क्षेत्रफल = 864 m²
1 गाय के लिए प्राप्त घास का क्षेत्रफल = \(\frac{864}{18}\)m²
= 48 m²
अतः, प्रत्येक गाय को चरने के लिए घास के खेत का 48 cm² क्षेत्रफल प्राप्त होगा।

प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है ( देखिए आकृति) प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?

हल :
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों में से प्रत्येक टुकड़े का माप 20 cm, 50 cm और 50 cm है।

∴ एक त्रिभुजाकार टुकड़े का परिमाप (2s)
= (20 + 50 + 50) cm
⇒ 2s = 120 cm
अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{120}{2}\)
⇒ s = 60 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल

प्रश्नानुसार दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़े हैं।
इसलिए 5 टुकड़े लाल रंग के और 5 टुकड़े हरे रंग के हैं।
प्रत्येक टुकड़े के लिए अभीष्ट कपडा = 200\(\sqrt{6}\) cm²
∴ लाल टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm²
= 1000\(\sqrt{6}\) cm²
इसी प्रकार 5 हरे टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm²
= 1000\(\sqrt{6}\) cm²

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागज़ों से बनी है। इन्हें आकृति में 1, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज़ प्रयुक्त किया गया है।

हल:

शेड I का क्षेत्रफल = शेड II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × 32 × 16 cm
= 256 cm²
शेड III के क्षेत्रफल के लिए
अर्धपरिमाप s = \(\frac{6+6+8}{2}=\frac{20}{2}\) = 10 cm
शेड III का क्षेत्रफल

प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं ( देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिभुजाकार टाइल की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं।
टाइल का परिमाप (2s) = (9 + 28 + 35) cm
⇒ 2s = 72 cm
⇒ अर्ध परिमाप ; s = \(\frac{72}{2}\) cm
⇒ s = 36 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल

= 36\(\sqrt{6}\) cm²
= 36 × 2.45 cm² लगभग
= 88.2 cm² लगभग
हमें प्राप्त है, एक टाइल का क्षेत्रफल = 88.2 cm लगभग
∴ 16 टाइलों का क्षेत्रफल = 16 × 88.2 cm²
= 1411.2 cm² लगभग
दिया है कि 1 cm² का पॉलिश करवाने का व्यय = 50 पैसे
∴ 1411.2 cm² का पॉलिश करवाने का व्यय = (50 × 1411.2) पैसे
= \(\frac{50}{100}\) × 1411.2 रु.
[∵ 100 पैसे = 1 रु.
∴ 50 पैसे = \(\frac{50}{100}\) रु.]
= 705.60 रु. लगभग
अतः, टाइलों को पॉलिश कराने का कुल व्यय 705.60 रु० है।

प्रश्न 9.
एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए ABCD एक समलंब है जिसमें
AB || DC और AB = 10 m, DC = 25 m, AD = 13 m, CB = 14 m
BE || AD खींचिए।
BE || AD और AB || DC
∴ BE = AD = 13 m [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
और EC = 25 m – 10 m = 15 cm
अब BM ⊥ EC खींचिए।
ΔBEC की भुजाएँ 15 m, 14 m और 13 m हैं।
अर्ध-परिमाप, s = \(\frac{15+14+13}{2}=\frac{42}{2}\) = 21.
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔBEC का क्षेत्रफल =

समलंब ABCD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल + BEC का क्षेत्रफल
= (10 × \(\frac{56}{5}\) + 84)m²
[समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत शीर्षलंब]
= (112 + 84) m²
= 196 m²

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 1.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा ?
हल :

यातायात संकेत बोर्ड समबाहु त्रिभुज के आकार का है। आइए इसे ΔABC का नाम दें।
∴ समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा = a मात्रक (दिया है। )
समबाहु त्रिभुज का परिमाप अर्थात्
2s = a + a + a = 3a
अर्ध-परिमाप; s = \(\frac{3 a}{2}\)
इसलिए हीरोन के क्षेत्रफल के प्रयोग करने से त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)}\)

(ii) समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 180 cm
⇒ a + a + a = 180 cm
⇒ 3a = 180 cm
⇒ a = \(\frac{180}{3}\) cm
⇒ a = 60 cm
⇒ 2S = 180 cm
⇒ S = \(\frac{180}{2}\)
⇒ S = 90 cm
∴ हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 90 (90 – 60) (90 – 60) (90 – 60)
वैकल्पिक विधि
a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3} a^2}{4}\) (ऊपर प्राप्त किया)
अतः, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (60)²
[a = 60 cm का प्रयोग करने पर]
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 3600 cm²
= \(\sqrt{3}\) × 900 cm²
= 900 \(\sqrt{3}\) cm²

प्रश्न 2.
किसी फलाईओवर (Flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। ( देखिए आकृति)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु० प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कंपनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?

हल :
मान लीजिए कि फलाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ a, b और c हैं :
:: a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m
त्रिभुज का परिमाप,
2s = (122 + 22 + 120) m
अर्ध-परिमाप = \(\frac{264}{2}\) m
= 132 m
अब, s – a = (132 – 122) m = 10 m
s – b = (132 – 22) m = 110 m
s – c = (132 – 120) m = 12 m
इसलिए हीरोन के सूत्र से त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल

दीवार पर विज्ञापन का 1 वर्ष (अर्थात् 12 महीने) का किराया = 5000 रु० प्रति m²
1 महीने का किराया = \(\frac{5000}{12}\) रु० प्रति m²
3 महीने का किराया = (\(\frac{5000}{12}\) × 3) रु० प्रति m²
= \(\frac{5000}{4}\) रु० प्रति m²
अब प्रति m² विज्ञापन के लिए दिया गया किराया = \(\frac{5000}{4}\) रु०
1320 m² विज्ञापन के लिए दिया गया किराया = (\(\frac{5000}{4}\) × 1320) रु०
= (5000 × 330) रु०
= 1650000 रु०
अतः, कंपनी द्वारा दिया गया किराया = 16,50,000 रु०

प्रश्न 3.
किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ़ रखिए” लिखा हुआ है ( देखिए आकृति)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
रंग से पेंट की हुई त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं।
∴ इस त्रिभुजाकार दीवारा का परिमाप
2s = (15 + 11 + 6) m
⇒ s = \(\frac{32}{2}\) m
⇒ s = 16 m
हीरोन सूत्र के प्रयोग से त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल

= 4 × 5\(\sqrt{2}\) m²
= 20\(\sqrt{2}\) m²
अतः रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल = 20\(\sqrt{2}\) m²

प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल :
त्रिभुज का परिमाप = 42 cm
⇒ 18 cm + 10 cm + तीसरी भुजा = 42 cm

⇒ तीसरी भुजा = (42 – 18 – 10) cm
⇒ तीसरी भुजा = 14 cm
अब त्रिभुज का अर्ध-परिमाप;
s = 2 cm
⇒ s = \(\frac{42}{2}\) cm
अब त्रिभुज की तीन भुजाएँ 18 cm, 10 cm और 14 cm हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल 21\(\sqrt{11}\) cm².

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है कि त्रिभुज की भुजाओं में अनुपात 12 : 17 : 25
∴ मान लीजिए cm में त्रिभुज की भुजाएँ 12x, 17x और 25x हैं।
त्रिभुज का परिमाप = 540 cm (दिया है)
⇒ 12x + 17x + 25x = 540 cm
⇒ 54x = 540 cm
⇒ x = \(\frac{540}{54}\) cm
⇒ x = 10 cm
अब त्रिभुज की भुजाएं हैं-
12x = 12 × 10 = 120 cm
17x = 17 × 10 = 170 cm
और 25x = 25 × 10 = 250 cm
परिमाप त्रिभुज का अर्ध-परिमाप;

= \(\frac{540}{2}\) cm
= 270 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से;
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः, त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल 9000 cm² है।

प्रश्न 6.
एक समदविबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लंबाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 30 cm
⇒ 12 cm + 12 cm + तीसरी भुजा = 30 cm

[∵ समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं और यहां प्रत्येक बराबर भुजा 12 cm है।]
⇒ तीसरी भुजा = (30 – 12 – 12) cm
⇒ तीसरी भुजा = 6 cm
अब समद्विबाहु त्रिभुज s का अर्धपरिमाप

परिमाप
s = \(\frac{30}{2}\) cm
⇒ s = 15 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से; त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः, समद्विबाहु त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 9\(\sqrt{15}\) cm²

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है :
(A) 2 (lb + bh + hl)
(B) 3 (lb + bh + hl)
(C) 2 (lb + bh – hl)
(D) 3 (lb – bh – hl).
हल :
(A) 2 (lb + bh + hl)

प्रश्न 2.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 m लंबाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गरमी देने वाला कुल ष्ठ है :
(A) 6.6 m²
(B) 5.5 m²
(C) 4.4 m²
(D) 3.4 m²
हल :
(C) 4.4 m²

प्रश्न 3.
एक लंब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई 10 cm और आधार की त्रिज्या 7 cm हो तो : इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 120 cm²
(B) 220 cm²
(C) 240 cm²
(D) 140 cm².
हल :
(B) 220 cm²

प्रश्न 4.
एक शंकु की ऊँचाई 16 cm है और आधार की त्रिज्या 12 cm है। इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी :
(A) 10 cm
(B) 15 cm
(C) 20 cm
(D) 8 cm.
हल :
(C) 20 cm

प्रश्न 5.
एक शंकु की ऊँचाई 16 cm और आधार की त्रिज्या 12 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 753.6 cm²
(B) 1205.76 cm²
(C) 863.8 cm²
(D) 907.8 cm²
हल :
(C) 863.8 cm²

प्रश्न 6.
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका ऊँचाई वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 185 cm
(B) 160 cm²
(C) 165 cm
(D) 195 cm².
हल :
(C) 165 cm

प्रश्न 7.
एक शंकु की तिर्यक ऊंचाई 26 m है और इसके आधार का व्यास 20 m है। इसकी ऊँचाई होगी :
(A) 24 m
(B) 25 m
(C) 23 m
(D) 35 m.
हल :
(A) 24 m

प्रश्न 8.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 8 m
(B) 7 cm
(C) 9 m
(D) 12 m.
हल :
(B) 7 cm

प्रश्न 9.
शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। तंबू की तिर्यक ऊँचाई होगी :
(A) 26 m
(B) 28 m
(C) 25 m
(D) 27 m.
हल :
(A) 26 m

प्रश्न 10.
शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार के व्यास क्रमश: 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ 210 रुपए प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय होगा :
(A) 1233 रु०
(B) 1155 रु०
(C) 1388 रु०
(D) 1432 रु०।
हल :
(B) 1155 रु०

प्रश्न 11.
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इस प्रकार की 10 टोपियां बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल होगा :
(A) 5500 cm²
(B) 6500 cm²
(C) 8500 cm²
(D) 3500 cm².
हल :
(A) 5500 cm²

प्रश्न 12.
एव अर्धगोला जिसकी त्रिज्या r है, का पृष्ठीय क्षेत्र फल होगा :
(A) 2πr²
(B) 4πr²
(C) 3πr²
(D) 5πr².
हल :
(A) 2πr²

प्रश्न 13.
अर्धगोला जिसकी त्रिज्या r है, का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 4πr²
(B) 3πr²
(C) 2πr²
(D) 51πr².
हल :
(B) 3πr²

प्रश्न 14.
7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 516 cm²
(B) 616 cm²
(C) 716 cm²
(D) 880 cm².
हल :
(B) 616 cm²

प्रश्न 15.
त्रिज्या 21 cm वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 2772 cm²
(B) 2564 cm
(C) 3772 cm²
(D) 4772 cm.
हल :
(A) 2772 cm²

प्रश्न 16.
14 cm त्रिज्या वाले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 2464 cm²
(B) 2428 cm²
(C) 2464 cm³
(D) 2428 cm³.
हल :
(A) 2464 cm²

प्रश्न 17.
14 cm व्यास वाले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 616 cm²
(B) 676 cm²
(C) 616 cm³
(D) 676 cm³.
हल :
(A) 616 cm²

प्रश्न 18.
10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 942 cm²
(B) 942 cm³
(C) 842 cm²
(D) 842 cm³.
हल :
(A) 942 cm²

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(A) 4 : 1
(B) 1 : 4
(C) 3 : 1
(D) 1 : 3.
हल :
(B) 1 : 4

प्रश्न 20.
माचिस की एक डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन होगा :
(A) 160 cm³
(B) 180 cm³
(C) 160 cm²
(D) 180 cm².
हल :
(B) 180 cm3

प्रश्न 21.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लंबी, 5 m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें पानी आ सकता है :
(A) 1350 लिटर
(B) 13500 लिटर
(C) 135000 लिटर
(D) 135 लिटर।
हल :
(C) 135000 लिटर

प्रश्न 22.
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लंबा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके।
(A) 4.75 m
(B) 4.85 m
(C) 4.75 m
(D) 4.85 cm.
हल :
(A) 4.75 m

प्रश्न 23.
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई होगी :
(A) 4 m
(B) 3 m
(C) 2 m
(D) 5 m
हल :
(C) 2 m

प्रश्न 24.
किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 10 m है। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जा सकते हैं ?
(A) 18000
(B) 16000
(C) 15000
(D) 14000
हल :
(B) 16000

प्रश्न 25.
3 m मी० गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
(A) 4000 m³
(B) 40 m³
(C) 400 m³
(D) 40000 m³
हल :
(A) 4000 m³

प्रश्न 26.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ?
(A) 33.75 लीटर
(B) 34.65 लीटर
(C) 35.75 लीटर
(D) 38.75 लीटर।
हल :
(B) 34.65 लीटर

प्रश्न 27.
एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, इसकी आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 6 cm
हल :
(A) 3 cm

प्रश्न 28.
10 cm गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए हैं। यदि पेंट कराने की दर 20 रु० प्रति m² हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 1.75 m
(B) 1.85 m
(C) 1.95 m
(D) 1.65 m
हल :
(A) 1.75 m

प्रश्न 29.
किसी शंकु की ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई क्रमशः 21 cm और 28 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) 5546 cm²
(B) 7546 cm³
(C) 5564 cm³
(D) 8546 cm²
हल :
(B) 7546 cm3

प्रश्न 30.
लंब वृत्तीय शंकु जिसकी त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) 254 cm³
(B) 264 cm³
(C) 274 cm²
(D) 284 cm²
हल :
(B) 264 cm³

प्रश्न 31.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता होगी जिसकी त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 25 cm है :
(A) 1.232 l
(B) 1.5 l
(C) 1.35 l
(D) 1.6 l
हल :
(A) 1.232 l

प्रश्न 32.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 12 cm
(B) 10 cm
(C) 15 cm
(D) 18 cm
हल :
(A) 1.232 l

प्रश्न 33.
यदि 9 cm ऊंचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 487 cm³ है तो इसके आधार का व्यास होगा :
(A) 10 cm
(B) 12 cm
(C) 8 cm
(D) 6 cm.
हल :
(C) 8 cm

प्रश्न 34.
ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में होगी :
(A) 38.5k
(B) 48.5 kl
(C) 39.5 kl
(D) 47.5 kl
हल :
(A) 38.5k

प्रश्न 35.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। इसकी आयतन 1570 cm³ है, इसकी आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 5 cm
(B) 8 cm
(C) 10 cm
(D) 12 cm
हल :
(C) 10 cm

प्रश्न 36.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
(A) \(\frac{1}{64}\)
(B) \(\frac{1}{32}\)
(C) \(\frac{1}{16}\)
(D) \(\frac{1}{48}\)
हल :
(A) \(\frac{1}{64}\)

प्रश्न 37.
जिस घन की विमाएं 50 cm × 40 cr × 10 cm हैं इसका आयतन लीटरों में होगा :
(A) 10 लीटर
(B) 12 लीटर
(C) 20 लीटर
(D) 25 लीटर.
हल :
(C) 20 लीटर

प्रश्न 38.
एक टंकी का आयतन 250 m³ है और इसके आधार का क्षेत्रफल 50 m² है। इसके अंदर पानी की गहराई होगी :
(A) 5 m
(B) 200 m
(C) 300 m
(D) 12500 m
हल :
(A) 5 m

प्रश्न 39.
एय आयताकार ठोस की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 4 cm, 3 cm और 2 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) (4 + 3 + 2) cm³
(B) 2 (4 + 3 + 2) cm³
(C) 4 × 3 × 2 cm³
(D) 2 (4 + 3) × 2 cm³
हल :
(C) 4 × 3 × 2 cm³

प्रश्न 40.
एक आयताकार ठोस का आयतन 200 m³ है। यह 8 m लंबा और 5 m चौड़ा है। इसकी ऊँचाई होगी :
(A) 5 m
(B) 15 m
(C) 6 m
(D) 18 m
हल :
(A) 5 m

प्रश्न 41.
एक गोलाकार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 cm² है। इस गोले की त्रिज्या होगी :
(A) 6 cm
(B) 8 cm
(C) 7 cm
(D) 5 cm
हल :
(C) 7 cm

प्रश्न 42.
यदि एक गोले की त्रिज्या \(\frac{2 d}{3}\) हो तो इसका आयतन होगा :
(A) \(\frac{32}{81}\) πd³
(B) \(\frac{23}{4}\) πd³
(C) \(\frac{32}{3}\) πd³
(D) \(\frac{34}{3}\) πd³
हल :
(A) \(\frac{32}{81}\) πd³

प्रश्न 43.
एक बेलनाकार टंकी की धारिता 6160 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 m हो तो टंकी की गहराई होगी :
(A) 5 m
(B) 8 m
(C) 10 m
(D) 15 m
हल :
(C) 10 m

प्रश्न 44.
बेलन का आयतन है :
(A) 2πrh
(B) πr²h
(C) \(\frac{4}{3}\) = πr²h
(D) 2πr²h
हल :
(B) πr²h

प्रश्न 45.
दोबेलनों की त्रिज्यों में 2 : 3 के अनुपात है और उनकी ऊँचाइयों में 5 : 3 का अनुपात है। उनके आर तनों में अनुपात होगा :
(A ) 27 : 20
(B) 25 : 24
(C) 20 : 27
(D) 15 : 20
हल :
(C) 20 : 27

प्रश्न 46.
एकलंब वृत्ताकार बेलन का आधार 7 सेमी और ऊचाई 1 सेमी है। बेलन का आयतन क्या है ?
(A) 216 सेमी³
(B) 136 सेमी³
(C) 172 सेमी³
(D) 154 सेमी³।
हल :
(D) 154 सेमी³।

प्रश्न 47.
एक गोले का व्यास 14 m है। इस गोले का आयतन होगा :
(A) 1437 \(\frac{1}{3}\)m³
(B) 1357 \(\frac{1}{3}\)m³
(C) 1437\(\frac{2}{3}\)m³
(D) 1337\(\frac{2}{3}\)m³
हल :
(A) 1437 \(\frac{1}{3}\)m³

प्रश्न 48.
एक गोले का आयतन 524 cm³ है। इस गोले का व्यास होगा :
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 3 cm
(D) 6 cm
हल :
(B) 5 cm

प्रश्न 49.
एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 40 cm² है। यदि बेलन की ऊँचाई 5.5 cm हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 5 cm
(B) 2.5 cm
(C) 1.5 cm
(D) 10 cm
हल :
(B) 2.5 cm

प्रश्न 50.
एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार का क्षेत्रफल 78.5 cm² है। यदि इसकी ऊँचाई 12 cm हो तो इसकी आयतन होगा :
(A) 31.4 cm³
(B) 3.14 cm³
(C) 314 cm³
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल :
(C) 314 cm³

प्रश्न 51.
एक लंबवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या 11.3 cm है और इसकी वक्र पृष्ठ 355 cm² है। इस शंकु की ऊँचाई होगी :
(π = \(\frac{355}{113}\) लीजिए)
(A) 11 cm
(C) 5 cm
(B) 9 cm
(D) 10 cm
हल :
(D) 10 cm

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुकशैल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैं :
ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm (देखिए आकृति)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जानी है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति cm है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
बाहरी फलक जो पालिश होने हैं = घनाभाकार बुकशैल्फ के छ: फलकों का क्षेत्रफल – 3 (खुले भाग ABCD का क्षेत्रफल)
= 2 (110 × 25 + 25 × 85 + 85 × 110) -3 [75 × 30]
∵ प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है।
∴ AB = 85 – 5 – 5 = 75 cm
और AD = \(\frac{1}{3}\)[110 – 5 – 5 – 5 – 5]
= \(\frac{1}{3}\)[110 – 20]
= \(\frac{1}{3}\) × 90 = 30 cm
= 2[2750 + 2125 + 9350 – 3 [2250]
= 2(14225) – 6750
= 28450 – 6750
= 21700 cm²
लकड़ी के बुकशैल्फ के बाहरी फलकों पर पालिश करने का व्यय 20 पैसे अर्थात् (\(\frac{1}{5}\)) रु प्रति cm² (\(\frac{1}{5}\) × 21700) रु
= 4340 रु
अब, यहाँ तीन बराबर भुजाओं वाले पाँच फलक हैं।
अतः, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3[2(30 + 75) 20 + 30 × 75]
(यहां आंतरिक गहराई = 25 – 5 = 20 cm)
= 3[2 × 105 × 20 + 2250]
= 3[4200 + 2250]
= 3 × 6450
= 19350 cm²
आंतरिक फलकों पर पेंट करने का व्यय
10 पैसे अर्थात् \(\frac{1}{10}\) रु प्रति cm²
= (\(\frac{1}{10}\) × 19350) र
= 1935 रु
पेंट करने पर कुल वांछित व्यय
= 4340 रु + 1935 रु
= 6275 रु

प्रश्न 2.
किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7 cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm² है तथा काले रंग का पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm² हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए लकड़ी के गोले की त्रिज्या = R
∴ व्यास; 2R = 21 cm
⇒ R = \(\frac{21}{2}\) cm
मान लीजिए बेलन की त्रिज्या = r
∴ r = 1.5 cm

गोले के उस भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल जिस पर चाँदी वाले रंग का पेंट करवाना है।
= गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – बेलन के ऊपरी वृत्तीय भाग का क्षेत्रफल जिन पर गोले टिकाए गए हैं।
= 4πR² – πr²
= π (4R² – r²)

ऐसे आठ गोलाकार भागों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8 × 1378.928 cm²
= 11031.424 cm²
1 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय = \(\frac{1}{4}\) रु
11031.424 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{4}\) × 11031.424) रु
[∵ 25 पैसे = \(\frac{25}{100}\) रु
= \(\frac{1}{4}\) रु]
= 2757.85 रु
अब बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πrh
[जहां h = 7 cm बेलनाकार भाग की ऊँचाई है।]
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{15}{10}\) × 7
= 66 cm²
ऐसे 8 बेलनाकार आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 8
= 528 cm²
1 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने का व्यय = \(\frac{1}{20}\) रु
528 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{20}\) × 528) रु
[∵ 5 पैसे = \(\frac{5}{100}\)
= \(\frac{1}{20}\) रु
= 26.4 रु
पेंट कराने पर कुल व्यय = 2757.85 रु० + 26.4 रु०
= 2784.25

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?
हल :
मान लीजिए कि गोले की मूल त्रिज्या = R
इसका व्यास; D = 2R
⇒ R = \(\frac{\mathrm{D}}{2}\)
मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 πR²
= 4π(\(\frac{\mathrm{D}}{2}\))2
= 4π\(\frac{D^2}{4}\)
= πD²
प्रश्नानु सार
व्यास की कमी = 25% of D
= \(\frac{25}{100}\) D
= \(\frac{\mathrm{D}}{4}\)
अब् नए गोले का व्यास = D – \(\frac{1}{4}\)D
= \(\frac{3}{4}\)D
मान लीजिए नए गोले की त्रिज्या = r
∴ इसका व्यास; 2r = \(\frac{3}{4}\)D
⇒ R = \(\frac{3}{8}\) D
अब नये गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π \(\left(\frac{3}{8} \mathrm{D}\right)^2\)
= 4π \(\left(\frac{9}{64} \mathrm{D}^2\right)\)
= \(\frac{9 \pi}{16}\)D²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन = मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – नए गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πD – \(\frac{9}{16}\)πD²
= \(\frac{7}{16}\)πD²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन

प्रश्न 4.
समीरा अपनी बेटी का पाँचवाँ जन्मदिन एक पार्टी द्वारा मनाना चाहती है। उसके शंकु आकार की टोपियाँ बनाने के लिए मोटा कागज़ खरादा। प्रत्येक टोपी के आधार का व्यास 10 cm और ऊँचाई 12 cm. है। कागज़ की शीट (sheet) की विमाएँ 25 cm × 40 से० मी० हैं और लगभग 82% शीट कटाई के बाद प्रयोग में लाई जा सकती है। यदि पार्टी में 15 बच्चे आने हों, तो समीरा को कम से कम कितनी संख्या में कागज़ की शीटें खरीदने की आवश्यकता है ? (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :
मान लीजिए शंकु आकार टोपी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 10 cm

⇒ r = \(\frac{10}{2}\) cm
⇒ r = 5 cm
शंकु आकार टोपी की ऊँचाई = h = 12 cm
मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है
∴ l² = r² + h²
[पाइथगोरस के परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ l² = 5² + 12²
= 25 + 144
⇒ l² = 169
⇒ l = \(\sqrt{169}\)
⇒ l = 13 cm
टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 × 5 × 13
= 204.1 cm²
ऐसी 15 टोपियों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (15 × 204.1) cm
= 3061.5 cm²
टोपी बनाने के लिए प्रयोग की जाने वाली कागज़ की शीट का क्षेत्रफल = 25 cm × 40 cm
= 1000 cm²
कटाई के बाद कागज़ का 82% टोपियां बनाने में प्रयुक्त हुआ
इसलिए 1000 cm² का 82%
= \(\frac{82}{100}\) x 1000 cm²
= 820 cm²
शीटों की संख्या
जो समीरा को खरीदने की आवश्यकता है।

वास्तव में 3.73 शीटों की आवश्यकता है।
परंतु क्योंकि पूरी शीटें खरीदी जानी हैं इसलिए समीरा को 4 शीटों की आवश्यकता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है ?
(i) 7 cm
(ii) 0.63 cm
हल :
(i) गोले की त्रि ज्या ; R = 7 cm
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πR³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 7
= \(\frac{4312}{3}\) cm³
= 1437 \(\frac{1}{3}\) cm³

(ii) गोले की त्रिज्या ; R = 0.63 m
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63 m³

= 1.047816 m³
= 1.05m³ (लगभग)

प्रश्न 2.
एक ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित ) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है :
(i) 28 cm
(ii) 0.21 m
हल :
(i) गोलाकार गेंद का व्यास = 28 cm
गोलाकार गेंद की त्रिज्या = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
विस्थापित पानी गेंद के आयतन के बराबर होगा।
∴ विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × 14 cm³
= \(\frac{88}{3}\) × 2 × 14 × 14
= \(\frac{34496}{3}\) cm³ = 11498 \(\frac{2}{3}\) cm³

(ii) गेंद का व्यास = 0.21 m
गेंद की त्रिज्या ; R = \(\frac{0.21}{2}\) m
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
धातु की गेंद का व्यास = 4.2 cm
धातु की गेंद की त्रिज्या ; R = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 cm
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
धातु का आयतन = गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) × πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1 cm³
= \(\frac{88}{21} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10}\) cm³
= 38.808 cm³
धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम प्रति cm³
∴ 1 cm = 8.9g
38.808 cm³ का द्रव्यमान = 8.9 × 38.808 ग्राम
=345.3912 g
=345.39 g (लगभग)

प्रश्न 4.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :
मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = x
∴ पृथ्वी की त्रिज्या R = \(\frac{x}{2}\)
∵ पृथ्वी गोलाकार है।
∴ पृथ्वी का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³

∴ चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का \(\frac{1}{64}\) वाँ भाग है।

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :
अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास = 10.5 cm³
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या R = \(\frac{10.5}{2}\) = 5.25
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
अर्धगोलाकार कटोरे में दूध का आयतन = अर्धगोले का आयतन
= \(\frac{2}{3}\) × πR³

[∵ 1000 cm³ = 1 लीटर]
= 0.303187 लीटर
= 0.303 लीटर

प्रश्न 6.
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm³ मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है तो टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या = 1m
r = 100 cm³
चादर की मोटाई = 1 cm
∴ अर्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या
R = 100 + 1 = 101 cm
टंकी को बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाह्य अर्धगोले का आयतन – आंतरिक अर्धगोले का आयतन

= \(\frac{2}{3}\) × πR³ – \(\frac{2}{3}\) πr³

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल :
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 cm²
मान लीजिए गोले की त्रिज्या = R
∴ 4πR² = 154

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 रुपए व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन
हल :
सफेदी कराने में कुल व्यय = 498.96 रु
सफेदी कराने की दर = 2.00 रु० प्रति m²
∴ सफेदी किए गए कुल भाग का क्षेत्रफल

∴ गुंबद के आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48m²
मान लीजिए गुंबद की आंतरिक त्रिज्या = R

गुंबद के अंदर की हवा का आयतन = गोलार्ध गुंबद का आयतन
= \(\frac{2}{3}\) × πR³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3
= 44 × 2.1 × 0.9 × 6.3 m³
= 523.9 m³

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात
हल :
गोलों की संख्या = 27
प्रत्येक गोले की त्रिज्या = r
∴ 1 गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
गोलों का आयतन = 27 × \(\frac{4}{3}\)πr3 = 36πr³ …(I)
अब इन ठोस गोलों को पिघलाकर r’ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया गया है।
∴ नये गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr’³ … (II)
∵ नये गोले का आयतन = 27 गोलों का आयतन
∴ I और II से

∴ नये गोले की त्रिज्या = 3r
अब दिए गए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S और त्रिज्या r है
∴ S = 4πr² …(III)
नये गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ और त्रिज्या r’ है।
∴ S’ = 4 πr’² = 4π (3r)²
[∵ r’ = 3r]
S’ = 4 π × 3r × 3r = 3πr² … (IV)
अब
\(\frac{4}{3}\)
अब
\(\frac{S}{S^{\prime}}=\frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
S : S’ = 1 : 9

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³में) की आवश्यकता होगी ?
हल :
मान लीजिए कैपसूल की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2 r = 3.5 mm
⇒ r = \(\frac{3.5}{2}\) mm
⇒ r = \(\frac{35}{20}\)
⇒ r = \(\frac{7}{4}\) mm
कैपसूल को भरने के लिए आवश्यक दवाई (mm³ में) = गोले का आयतन

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए

प्रश्न 1.
उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm, और ऊँचाई 7 है।
(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
हल :
(i) r = 6 cm, h = 7 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7
= 264 cm³
(ii) r = 3.5 cm, h = 12 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 12
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \times 12\)
= 154 cm

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm
(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm
हल :
(i) यहाँ, r = 7 cm, l = 25 cm
l² = r² + h²
या (25)² = (7)² + h²
या 625 = 49 + h²
या 625 – 49 = h²
या 576 = h²
या h = 576
या h = \(\sqrt{576}\) = 24 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 1232 cm³
= 1.232 l [∵ 1000 cm3 = 1 l]

(ii) यहाँ, h = 12 cm, l = 13 cm
अब r² + h² = l²
या r² + (12) = (13)²
या r² + 144 = 169
या r² = 169 – 144
या r² = 25
या r = \(\sqrt{25}\) = 5 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए)
हल :
शंकु की ऊँचाई ; h = 15 cm
शंकु का आयतन = 1570 cm³
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570

या \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
या 15.70r = 1570
या \(\frac{1570}{100}\) r² = 1570
या r² = 1570 × \(\frac{100}{1570}\) = 100
या r = \(\sqrt{100}\) = 10 cm
अतः आधार की वांछित त्रिज्या 10 है।

प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु का आयतन = 48π cm³ …….(I)
शंकु की ऊँचाई ; h = 9 cm
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r

∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) πr² × 9 ……(II)
I और II से,
\(\frac{1}{3}\) πr² × 9 = 48 π
या 3r² = 48
या r = \(\frac{48}{3}\) = 16
या r = \(\sqrt{16}\) = 4 cm
∴ आधार का व्यास = 2r = 2 × 4 = 8 cm

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 cm वाले शंकु के आकार का एक गढ्ढा 12 cm गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी होगी ?
हल :
गढ्ढे का व्यास = 3.5 m
गढ्ढे की त्रिज्या ; r = \(\frac{3.5}{2}\) = 1.75 m
गढ्ढे की गहराई ; h = 12m
गढ्ढे की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h


= 38.5 m³ = 38.5 kl
[∵ 1 m³ = 1000 l = 1 kl]

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल :
(i) शंकु का आयतन = 9856 cm³
शंकु का व्यास = 28 cm
शंकु की त्रिज्या ; r = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h

∴ \(\frac{1}{3}\) πr²h = 9856
[∵ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h]
या \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
या \(\frac{1}{3}\) × 22 × 2 × 14 × h = 9856
या h = \(\frac{9856 \times 3}{22 \times 2 \times 14}\) = 48 cm
∴ शंकु की ऊँचाई = 48 cm

(ii) मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l
अब l² = r² + h²
l² = (14)² + (48)²
l² = 196 + 2304 = 2500
l = \(\sqrt{2500}\) = 50 cm
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm

(iii) अब शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50 = 2200 cm²

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज ABC को इसकी 12 cm वाली भुजा के परित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई और 5 cm भुजा वाली शंकु के आधार की त्रिज्या होती है।
अब शंकु की त्रिज्या ; r = 5 cm
शंकु की ऊँचाई ; h = 12 cm

∴ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × 5 × 5 × 12
= 100 πcm³

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज को 5 cm भुजा के पारित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या 5 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई होती है।

अब, शंकु की त्रिज्या ; R = 12 cm
शंकु की ऊँचाई ; H = 5 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πR²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × 12 × 12 × 5
= 240π cm³.

∴ वांछित अनुपात = 5 : 12.

प्रश्न 9.
उस सब से बड़े लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जो 14 cm भुजा वाले घन में पूरा-पूरा समा सकता है।
हल :
सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = घन का किनारा
⇒ 2r = 14
[जहाँ, r शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या है]
⇒ r = \(\frac{14}{2}\)
⇒ r = 7 cm
और शंकु की ऊँचाई h = घन का किनारा = 14 cm

अब, सबसे बड़े शंकु का आयतन

प्रश्न 10.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए, शंकु के आकार की ढेरी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 10.5 m
⇒ r = \(\frac{10.5}{2}\) m
⇒ r = \(\frac{105}{20}\) m
⇒ r = \(\frac{21}{4}\) m

शंकु आकार ढेरी की ऊँचाई = h = 3 m
शंकु आकार ढेरी का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

मान लीजिए शंकु आकार ढेरी की तिर्यक ऊँचाई l m है।
∴ l² = r² + h² (पाइथागोरस परिणाम से)

⇒ l = 6.046 m
वांछित केनवास का क्षेत्रफाल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.046\)
= 99.75 m² (लगभग)
अतः, केनवास का वांछित क्षेत्रफल 99.75m² (लगभग)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ?(1000 cm³ = 1लीटर)
हल :
बर्तन के आधार की परिधि = 132 cm

मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r
∵ बेलन का आधार वृत्तीय है।
∴ πrh = 132
या 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 132
या r = 132 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{7}{22}\) = 21 cm
बर्तन की ऊँचाई h = 25 cm
बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 35 = 34650 cm³
= \(\frac{34650}{1000}\) लीटर
[∵ 1000 cm³ = 1 लीटर]
= 34.65 लीटर

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लंबाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल :
बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास = 24 cm
∴ पाइप की आंतरिक त्रिज्या r = \(\frac{24}{2}\) = 12 cm

पाइप का बाह्य व्यास = 28 cm
∴ पाइप की बाह्य त्रिज्या R = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
पाइप की लंबाई = 35 cm
लकड़ी का आयतन = बेलन का बाह्य आयतन – बेलन का आंतरिक आयतन
= πR²h – πr²h
[पाइप की लंबाई को बेलन की ऊंचाई के रूप में प्रयोग करने पर]
= πh (R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) × 35[(14)² – (12)²]
= 110 [196 – 144] = 110 × 52
= 5720 cm³
1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 g
5720 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 × 5720 = 3432 g
= \(\frac{3432}{1000}\) kg [∵ 1000 g = 1 kg.]
= 3.432 kg.

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लंबाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और (ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
हल :

पहली स्थिति में :
आयताकार आधार की लंबाई = 5 cm
आयताकार आधार की चौड़ाई = 4 cm
टिन के डिब्बे की ऊँचाई = 15 cm
टिन के डिब्बे का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 5 cm × 4 cm × 15 cm
= 300 cm³ …. (I)
दूसरी स्थिति में :

बेलन के आधार का व्यास = 7 cm
∴ बेलन के आधार की त्रिज्या ; r = \(\frac{7}{2}\) cm
बेलन की ऊँचाई ; h = 10 cm
बेलन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 10\)
= 11 × 7 × 5 = 385 cm³ … (II)
I और II से,
बेलनाकार डिब्बे की धारिता (385 – 300) = 85 cm³ अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए : (i) आधार की त्रिज्या (ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)
हल :
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 cm² … (1)
बेलन की ऊँचाई ; h = 5 cm
मान लीजिए कि आधार की त्रिज्या = r
∴ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × 3.14 × r × 5
= 31.4r …. (II)
समीकरण I और II से,
31.4r = 94.2
या, r = \(\frac{94.2}{31.4}\) = 3 cm
बेलन की आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 = 141.3 cm³.

प्रश्न 5.
10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपए प्रति m है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता
हल :
बर्तन के आतंरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट करने पर कुल व्यय = 2200 रु०
दर = 20 रु० प्रति m²
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) बर्तन की गहराई ; h = 10 m
मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r
∴ बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 …(II)
∴ I और II, से

2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 = 110
या, r = 110 × \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{10}\) = 1.75 m

(iii) अब, r = 1.75 m
h = 10 m
∴ बर्तन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 10
= 96.25 m³
= 96.25 किलोलीटर
[∵ 1m³ = 1 किलो लीटर]

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ? (1000 l = 1m³)
हल :
बर्तन की ऊँचाई ; h = 1 m,
बर्तन की धारिता= 15.4 l
= \(\frac{15.4}{1000}\) = 0.0154 m³ …(i)
[∵ 1000 l = 1 m³]
मान लीजिए बर्तन के आधार की त्रिज्या = r
∴ πr²h = 0.0154
या, \(\frac{22}{7}\) × r² × 1 = 0.0154
या, r² = 0.0154 × \(\frac{7}{22}\)
= 0.0007 × 7 = 0.0049
या, r = \(\sqrt{0.0049}\) = 0.07 m

∴ बर्तन बंद बेलनाकार है।
∴ बर्तन बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्ताकार ढक्कनों का क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr²
= 2πr (h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.07(1 + 0.07)

= \(\frac{44}{7}\) × 0.07 × 1.07
= 44 × 0.01 × 1.07
= 0.4708 m²

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ग्रेफाइट की त्रिज्या = r
∴ व्यास 2r = 1 मिमी.

⇒ r = \(\frac{1}{2}\) mm = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{10}\) cm = \(\frac{1}{20}\) cm
ग्रेफाइट की ऊँचाई = h = 14 cm
ग्रेफाइट का आयतन = πr²h

मान लीजिए पेंसिल की त्रिज्या = R
∴ व्यास 2R = 7 मिमी
⇒ R = \(\frac{7}{2}\) मिमी.
= \(\frac{7}{2}\) x \(\frac{1}{10}\) cm
[∵ 10 मिमी. = 1 m; ∴ 1 मिमी. = \(\frac{1}{10}\) cm]
= \(\frac{7}{20}\) cm
लकड़ी का आयतन = πR²h

= 5.39 cm³
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन
= (5.39 – 0.11) cm³
= 5.28 cm³.

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है ?
हल :
मान लीजिए बेलनाकार कटोरे के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 7 cm

⇒ r = \(\frac{7}{2}\) cm
कटोरे की ऊँचाई = h = 4 cm
बेलनाकार कटोरे का आयतन = πr2h

कटोरा पूरी तरह सूप से भरा हुआ है
∴ एक कटोरे में भरे गये सूप की मात्रा = 154 cm³
ऐसे 250 कटोरे रोगियों को दिए जाते हैं
अतः, अस्पताल द्वारा तैयार किए गए सूप की कुल मात्रा
= (250 × 154) cm³
= 38500 cm³
= \(\frac{38500}{1000}\) लीटर
[∵ लीटर = 1000 cm³]
= 38.5 लीटर