Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59o.
ਹੱਲ:
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\) = \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos \left(90^{\circ}-18^{\circ}\right)}\)
= \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}}\) = 1.
[∵ cos (90° – θ) = sin θ]

(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\) = \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot \left(90^{\circ}-26^{\circ}\right)}\)
= \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\tan 26^{\circ}}\) = 1.
[∵ cot (90° – θ) = tan θ]

(iii) cos 48° – sin 42° = cos (90° – 42°) – sin 42°
[∵ cos (90° – θ) = sin θ]
= sin 42° – sin 42° = 0.

(iv) cosec 31° – sec 59°
= cosec 31° – sec (90° – 31°)
= cosec 31° – cosec 31°
[∵ sec (90° – θ) = cosec θ]
= 0.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਦਿਖਾਉ ਕਿ
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
ਹੱਲ:
(i) L.H.S.
= tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan48° × tan 23° × tan(90° -48°) × tan (90°–23°)
= tan 48° × tan 23° × cot 48° × cot 23°
= tan 48° × tan 23° × \(\frac{1}{\tan 48^{\circ}}\) × \(\frac{1}{\tan 23^{\circ}}\) = 1.
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) L.H.S.= cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° × cos (90° – 38) – sin 38° × sin (90° – 380)
= cos 38° × sin 38° – sin 38° × cos 38°
= 0.
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ tan 2A = cot (A – 18°), ਜਿੱਥੇ 2A ਇੱਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ, ਤਾਂ A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : tan 2A = cot (A – 18°)
A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ ਤਾਂ cot θ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ tan θ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ।
[∵ cot (90° – θ) = tan θ]
⇒ cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
⇒ 90° – 2A = A – 18°
⇒ 3A = 108°
A = 36°.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜੇਕਰ tan A = cot B, ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ A + B = 90°.
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : tan A = cot B
A + B = 90° ਦਿਖਾਉਣ ਦੇ ਲਈ ਦੋਵੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ ਤਾਂ tan ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ cotθ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
[∵ tan (90° – θ) = cot θ]
⇒ tan A = tan (90° – B)
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜੇਕਰ sec 4A = cosec (A – 20°), ਜਿੱਥੇ 4A ਇੱਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ ਤਾਂ A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : sec 4A = cosec (A – 20°)
A, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ sec θ ਜਾਂ cosec θ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
[∵ cosec (90° – θ) = sec θ]
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 90° + 20° = A + 4 A
110° = 5A
⇒ A = 22°.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਜੇਕਰ A, B ਅਤੇ Cਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ ਹਨ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਓ ਕਿ
sin \(\left(\frac{B+C}{2}\right)\) = cos \(\left(\frac{,A}{2}\right)\)
ਹੱਲ:
ਕਿਉਂਕਿ A, B ਅਤੇ cਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ ਹਨ ।
∴ A + B + C = 180° [ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਤਿੰਨੋਂ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 180° ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
⇒ B + C = 180° – A
⇒ \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\) = \(\frac{180^{\circ}-\mathrm{A}}{2}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\) = (90° – \(\frac{\mathrm{A}}{2}\))
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ sin ਲੈਣ ਤੇ,
⇒ sin\(\left(\frac{B+C}{2}\right)\) = sin(90° – \(\frac{\mathrm{A}}{2}\))
= cos \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\)
[∵ sin (90° – θ) = cos θ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
sin 67° + cos 75° ਨੂੰ 0° ਅਤੇ 45° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉ।
ਹੱਲ:
sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
{∵ sin (90° – θ) = cos θ
ਅਤੇ cos (90° – θ) = sin θ}

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 30^{\circ}}\)
(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)
(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤਾ ਹੈ :
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) + \(\left(\frac{1}{2}\right)\)\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) + \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = 1.

(ii) ਦਿੱਤਾ ਹੈ :
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
= 2 (tan 45°)² + (cos 30°)² – (sin 60°)²
= 2(1)² + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) – \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 2.

(iii) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 30^{\circ}}\)

(iv) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)

(v) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)

= \(\frac{5}{4}\) + \(\frac{16}{3}\) – 1 = \(\frac{15+64-12}{12}\)
= \(\frac{67}{12}\).

2. ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਕਾਰਣ ਦੱਸੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
\(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\)
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
ਉੱਤਰ:

∴ ਵਿਕਲਪ ‘A’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
\(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\)
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin45°
(D) 0.
ਉੱਤਰ:
\(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\) = \(\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}\) = 0.
∴ ਵਿਕਲਪ “D’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
sin2A = 2sin A ਉਦੋਂ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ A ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 450
(D) 60°
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ, sin 2A = 2 sin A
ਜਦੋਂ, A = 0° ਹੋਵੇ ਤਾਂ
sin 2(0) = 2 sin 0
sin 0 = 0
0 = 0; ਜੋ ਸੱਚ ਹੈ ।
∴ ਵਿਕਲਪ ‘A’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°.
ਉੱਤਰ:

∴ ਵਿਕਲਪ ‘C’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ tan (A + B) = \(\sqrt {3}\) ਅਤੇ tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90° ; A > B ਤਾਂ A ਅਤੇ B ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
tan (A + B) = \(\sqrt {3}\)
tan (A + B) = tan 60°
⇒ A + B = 60° …(1)
tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ tan (A – B) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਜੋੜਨ ‘ਤੇ

A = 45°
(1) ਵਿਚ ਮੁੱਲ ਭਰਨ ‘ਤੇ
45° + B = 60°
B = 60° – 45°
B = 15°
∴ A = 45° ਅਤੇ B = 15°

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਦੱਸੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਸਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਗਲਤ। ਕਾਰਣ ਸਹਿਤ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ ਦੇ ਵੱਧਣ ਨਾਲ sin θ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ।
(iii) θ ਦੇ ਵੱਧਣ ਨਾਲ cos θ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ।
(iv) θ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ sin θ = cos θ.
(v) A = 0° ਤੇ cot A ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
(i) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਜਦੋਂ A = 60°, B = 30°
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (60° + 30°)
= sin 90° = 1
R.H.S. = sin A + sin B
= sin 60° + sin 30°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) ≠ 1
ਅਰਥ L.H.S. ≠ R.H.S.

(ii) ਠੀਕ ਹੈ sin 30° = \(\frac{1}{2}\) = 0.5,
ਕਿਉਂਕਿ, sin 45 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (ਲਗਭਗ )
sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (ਲਗਭਗ)
ਅਤੇ sin 90° = 1
ਅਰਥ, ਜਦੋਂ θ ਦਾ ਮੁੱਲ 0° ਤੋਂ 90° ਤਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ sin 6 ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ ।

(iii) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ cos 0° = 1,
cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (ਲਗਭਗ) ।
cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (ਲਗਭਗ)
cos 60°= \(\frac{1}{2}\) = 0.5
ਅਤੇ cos 90° = 0.
ਜਦੋਂ θ ਦਾ ਮੁੱਲ 0° ਤੋਂ 90° ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ cos 9 ਦਾ ਮੁੱਲ ਘਟਦਾ ਹੈ ।

(iv) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
ਅਤੇ cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ਜਾਂ sin 30° ≠ cos 30°
ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ :
sin 45° = cos 45°.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

(v) ਠੀਕ ਹੈ
cot 0°= \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}\) = \(\frac{1}{0}\), ਜਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
△ABC ਵਿੱਚ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ, AB = 24 cm ਅਤੇ BC = 7 cm ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C.
ਹੱਲ:
(i) ਅਸੀਂ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ sin A, cos A AB = 24 cm ; BC = 7 cm

ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
AC² = AB² + BC²
AC² = (24)² + (7)²
AC² = 576 + 49
AC² = 625.
AC = \(\sqrt {625}\)
AC = 25 cm.
sin A = \(\frac{BC}{AC}\)
sin A = \(\frac{7 cm}{25 cm}\) = \(\frac{7}{25}\)
cos A = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{24 cm}{25 cm}\)
cos A = \(\frac{24}{25}\)
sin A = \(\frac{7}{25}\) ਅਤੇ cos A = \(\frac{24}{25}\)

(ii) sin C = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{24 cm}{25 cm}\)

sin C = \(\frac{24}{25}\)
cos C = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7 cm}{25 cm}\)
cos C = \(\frac{7}{25}\)
sin C = \(\frac{24}{25}\) ਅਤੇ cos C = \(\frac{7}{25}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, tan P – cot R ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਕਰਣ PR = 13 cm, ਲੰਬ PQ = 12 cm

ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
PR² = PQ² + OR²
ਜਾਂ (13)² = (12)² + QR²
ਜਾਂ 169 = 144 + (OR)²
ਜਾਂ 169 – 144 = (QR)²
ਜਾਂ 25 = (QR)²
ਜਾਂ QR = ±\(\sqrt {25}\)
ਜਾਂ QR = 5, – 5.
ਪਰ QR = 5 cm.
[QR ≠ -5 ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ]
tan P = \(\frac{RQ}{QP}\) = \(\frac{5}{12}\)
cot R = \(\frac{RQ}{PQ}\) = \(\frac{5}{12}\)
∴ tan P – cot R = \(\frac{5}{12}\) – \(\frac{5}{12}\) = 0
ਇਸ ਲਈ tan P – cot R = 0.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ sin A = \(\frac{3}{4}\), ਤਾਂ cos A ਅਤੇ tan A ਦਾ ਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

sin A = \(\frac{3}{4}\)
ਪਰ sin A = \(\frac{BC}{AC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
∴ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{3}{4}\)
ਪਰ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{3}{4}\) = k
K, ਇਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
⇒ BC = 3K,
AC = 4K
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ,
AC² = AB² + BC²
ਜਾਂ (4K)² = (AB)² + (3K)²
ਜਾਂ 16K² = AB² + 9K²
ਜਾਂ 16K² – 9K² = AB²
ਜਾਂ 7K² = AB²
ਜਾਂ AB = ±\(\sqrt{7 \mathrm{~K}^{2}}\)
ਜਾਂ AB = ±\(\sqrt {7}\) K
[AB ≠ – 7K ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ] AB= 17 K
⇒ AB = \(\sqrt {7}\) K
cos A = \(\frac{AB}{AC}\)
cos A = \(\frac{\sqrt{7} K}{4 K}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
tan A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\) = \(\frac{3 K}{\sqrt{7} K}\) = \(\frac{3}{\sqrt{7}}\)
∴ cos A = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) ਅਤੇ tan A = \(\frac{3}{\sqrt{7}}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜੇਕਰ 15 cot A = 8 ਹੋਵੇ ਤਾਂ sin A ਅਤੇ sec A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ∠A ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

15 cot A = 8
cot A = \(\frac{8}{15}\)
ਪਰ cot A = \(\frac{AB}{BC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
⇒ \(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{8}{15}\) = K
K, ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
⇒ AB = 8 K, BC = 15 K
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ
AC² = AB² + BC²
AC² = (8K)² + (15K)²
AC² = 64K² + 225 K²
AC² = 289 K²
AC = ±\(\sqrt{289 K^{2}}\)
AC = ±17K
⇒ AC = 17K
[AC = – 17 K, ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜੇਕਰ sec θ = \(\frac{13}{12}\) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ∠B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
∠BAC = θ

sec θ = \(\frac{13}{12}\)
ਪਰ sec θ = \(\frac{AC}{AB}\) …[ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
\(\frac{AC}{AB}\) = \(\frac{13}{12}\)
ਪਰ \(\frac{AC}{AB}\) = \(\frac{13}{12}\) = k
k ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
AC = 13k ਅਤੇ AB = 12k
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
AC² = (AB)² + (BC)²
ਜਾਂ (13k)² = (12k)² + (BC)²
ਜਾਂ169k² = 144k² + BC²
ਜਾਂ 169k² – 144k² = BC²
ਜਾਂ (BC)² = 25k²
ਜਾਂ BC = ±\(\sqrt{25 k^{2}}\)
ਜਾਂ BC = ±5k
ਜਾਂ BC = 5k.
[BC ≠ – 5k ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਜੇਕਰ ∠A ਅਤੇ ∠B ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੋਣ, ਜਿੱਥੇ cos A = cos B, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ ∠A = ∠B.
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ∠A ਅਤੇ ∠B ਨਿਊਨ ਕੋਣੇ ਹਨ | cos A ਅਤੇ cos B ਪਤਾ ਕਰੋ ।

CM ⊥ AB
∠AMC : ∠BMC = 90°
ਸਮਕੋਣ △AMC ਵਿਚ,
\(\frac{AM}{AC}\) = cos A …(1)
ਸਮਕੋਣ △BMC ਵਿਚ,
\(\frac{BM}{BC}\) = cos B …(2)
ਪਰ cos A = cos B [ਦਿੱਤਾ ਹੈ ] …(3)
(1), (2) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ,
\(\frac{AM}{AC}\) = \(\frac{BM}{BC}\)
\(\frac{AM}{BM}\) = \(\frac{AC}{BC}\) = \(\frac{CM}{CM}\)
∴ △AMC ~ △BMC [SSS ਕਸੌਟੀ ]
⇒ ∠A = ∠B [∵ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਜੇਕਰ cot θ = \(\frac{7}{8}\), ਤਾਂ
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot²θ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
(i) ∠ABC = θ
ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ABC ਵਿਚ C ਉੱਤੇ ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

ਦਿੱਤਾ ਹੈ : cot θ = \(\frac{7}{8}\)
ਪਰ cot θ = \(\frac{BC}{AC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
⇒ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7}{8}\)
ਮੰਨ ਲਓ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7}{8}\) = k
ਜਿੱਥੇ k ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
⇒ BC = 7k, AC = 8k
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
AB² = (BC)² + (AC)²
ਜਾਂ (AB)² = (7k)² + (8k)²
ਜਾਂ (AB)² = 49k² + 64k²
ਜਾਂ(AB)² = 113k²
ਜਾਂ AB = ±\(\sqrt{113 k^{2}}\)
AB = \(\sqrt{113}\) k
[AB ≠ –\(\sqrt{113}\) k ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ]

[ਸੂਤਰ (a + b) (a – b) = a² – b² ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ]
= 1 – \(\frac{64}{113}\)
(1 + sin θ) (1 – sin θ)
= \(\frac{113-64}{113}\) = \(\frac{49}{113}\)
⇒ (1 + sin θ) (1 – sin θ) = \(\frac{49}{113}\) …(1)
(1 + cos θ) (1 – cos θ)

(ii) cot θ = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7}{8}\)
cot² θ = (cot θ)²
cot² θ = \(\left(\frac{7}{8}\right)^{2}\)
⇒ cot² θ = \(\frac{49}{64}\).

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਜੇਕਰ 3 cot A = 4 ਤਾਂ ਪੜਤਾਲ ਕਰੋ ਕਿ \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}\) = cos²A – sin²A ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ‘ ਵਿਚ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ॥

ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ 3 cot A = 4
cot A = \(\frac{4}{3}\)
ਪਰ cot A = \(\frac{AB}{BC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚੀ]
\(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{4}{3}\)
ਪਰ \(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{4k}{3k}\)
⇒ AB = 4k, BC = 3k
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ, ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ,
AC² = AB² + BC²
AC² = 4k² + 3k²
AC² = 16k² + 9k²
AC² = 25²
AC = ± \(\sqrt{25 k^{2}}\)
AC = ± 5k
ਪਰ AC = 5k.
[AC ≠ – 5k, ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
AABC ਵਿਚ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ, ਜੇਕਰ tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C.
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) …(1)
ਪਰ tan A = \(\frac{BC}{AB}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, .
\(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਮੰਨ ਲਉ \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = k
BC = k, AB = \(\sqrt {3}\) k
ਜਿੱਥੇ k ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਵਿਚ,
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
AC² = AB² + Bc²
(AC)² = ( k)² + (k)²
AC² = 3k² + k²
AC² = 4k²
AC = ± \(\sqrt{4 k^{2}}\)
AC = ± 2k.
ਇੱਥੇ AC = 2k
[AC ≠ – 2k ∵ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ]

sin A cos C = \(\left(\frac{1}{2}\right)\)\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{1}{4}\)
cos A sin C = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = \(\frac{3}{4}\)
sin A cos C + cos A sinC
= \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{1+3}{4}\) = \(\frac{4}{4}\) = 1
∴ sin A cos C + cos A sin C = 1.

(ii) cos A cos C = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) [(3) ਤੋਂ]
sin A sin C = \(\left(\frac{1}{2}\right)\)\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) [(3) ਤੋਂ।]
cos A cos C – sin A sin C
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) – \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
△POR ਵਿੱਚ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ Q ਸਮਕੋਣ ਹੈ, PR + QR = 25 cm ਅਤੇ PQ = 5 cm ਹੈ । sin P, cos P ਅਤੇ tan P ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △PQR, ਵਿੱਚ Q ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

PR + QR = 25 cm
PQ = 5 cm
ਸਮਕੋਣ ਭੁਜ PQR ਵਿਚ,
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ,
PR² = PQ² + RQ²
ਜਾਂ PR² = 5² + RQ²
[∵ PR + OR = 25
QR = 25 – PR]
PR² = 25 + [25 – PR]²
PR² = 25 + 25² + PR² – 2 × 25 × PR PR² = 25 + 625 + PR² – 50 PR
PR² – PR² + 50 PR = 650
PR = \(\frac{650}{50}\)
PR = 13
∴ QR = 25 – PR
⇒ 25 – 13
= 12 cm.
sin P = \(\frac{QR}{PR}\) = \(\frac{12}{13}\)
cos P = \(\frac{PQ}{PR}\) = \(\frac{5}{13}\)
tan P = \(\frac{QR}{PQ}\) = \(\frac{12}{5}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਦੱਸੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਥਨ ਠੀਕ ਹਨ ਜਾਂ ਗਲਤ, ਕਾਰਣ ਸਹਿਤ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
(i) tan A ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
(ii) ਕੋਣ A ਦੇ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ ਲਈ sec A = \(\frac{12}{5}\).
(iii) cos A, ਕੋਣ A ਦੇ cosecant ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਹੈ ।
(iv) cot A, cot ਅਤੇ A ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ !
(v) ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ 8 ਦੇ ਲਈ sin θ = \(\frac{4}{3}\).
ਹੱਲ:
(i) ਠੀਕ ਨਹੀਂ ਹੈ
∵ tan 60° = \(\sqrt {3}\) = 1.732 > 1.
(ii) ਠੀਕ ਹੈ, sec A = \(\frac{12}{5}\) = 2:40 > 1
∵ Sec A ਹਮੇਸ਼ਾਂ A ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
(ii) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ cos A, cosine A ਦੇ ਲਈ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
(iv) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ cot A, ਕੋਣ A ਦਾ cotangent ਹੈ ਨਾ ਕਿ cot ਅਤੇ A ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ।
(v) ਠੀਕ ਨਹੀਂ sin θ = \(\frac{4}{3}\) = 1 666 > 1
ਕਿਉਂਕਿ sin θ ਹਮੇਸ਼ਾਂ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Exercise 7.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਬਿੰਦੂਆਂ A(2, – 2) ਅਤੇ B (3, 7) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ ਰੇਖਾ 2x + y – 4 = 0 ਕਿਸ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਰੇਖਾ 2x + y – 4 = 0 ਬਿੰਦੂ A (2, – 2) ਅਤੇ B(3, 7) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ C(x, y) ਉੱਤੇ k : 1 ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ।

∴ C [\(\frac{3 k+2}{k+1}\), \(\frac{7 k-2}{k+1}\)] ਰੇਖਾ 2x + y – 4 = 0 ਉੱਤੇ ਹੋਵੇਗਾ ।
ਭਾਵ 2 \(\left(\frac{3 k+2}{k+1}\right)\) + \(\left(\frac{7 k-2}{k+1}\right)\) – 4 = 0
\(\frac{6 x+4+7 k-2-4 k-4}{k+1}\) = 0
9k – 2 = 0
9k = 2
k = \(\frac{2}{9}\)
∴ ਅਨੁਪਾਤ k : 1 = \(\frac{2}{9}\) : 1 = 2 : 9
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 2:9 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਇਕ ਸੰਬੰਧ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਬਿੰਦੂ | (x, y) ; (1, 2) ਅਤੇ (7, 0) ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ A(x, y) ; B (1, 2) ਅਤੇ C (7, 0) ਹੈ ।
ਇੱਥੇ x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 7
y₁ = y, y₂ = 2, y₃ = 0
∵ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ ਜੇਕਰ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
\(\frac{1}{2}\)[x (2 – 0) + 1 (0 – y) + 7 (y – 2)] = 0
2x – y + 7y – 14 = 0
2x + 6y – 14 = 0
ਜਾਂ x + 3y – 7 = 0 ਲੋੜੀਂਦਾ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਬਿੰਦੂਆਂ (6, – 6), (3, – 7) ਅਤੇ (3, 3) ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ O (x, y) ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ P(6, – 6) ; Q (3, – 7) ਅਤੇ R (3, 3) ਵਿਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ
∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ

∴ OP = OQ = OR
ਜਾਂ (OP)² = (OQ)² = (OR)²
(OP)² = (OQ)²
(x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)²
x² + 36 – 12 x + y² + 36 + 12y = x² +²9 – 6 + y² + 49 + 14y
-12x + 12y + 72 = -6x + 14y + 58
-6x – 2y + 14 = 0
3x + y -7 = 0 ….(1)
(OQ)² = (OR)²
(x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)²
(y + 7)² = (y – 3)²
y² + 49 + 14y = y² + 9 – 6y
20y = – 40
y = \(\frac{-40}{20}\) = -2
y ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
3x – 2 – 7 = 0
3x – 9 = 0
3x = 9
x = 3
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ (3, – 2)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੇ ਦੋ ਸਾਹਮਣੇ (Opposite) ਦੇ ਸਿਖਰ (-1, 2) ਅਤੇ (3, 2) ਹਨ ਤਾਂ ਵਰਗ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਸਿਖਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਵਰਗ ABCD ਦੇ ਦੋ ਸਨਮੁੱਖ ਸਿਖਰ A (-1, 2) ਅਤੇ C (3, 2) ਅਤੇ B ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (x, y) ਹਨ ।
∵ ਵਰਗ ਦੀ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
∴ AB = BC
(AB)² = (BC)²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²

(x + 1)² = (x – 3)²
x² + 1 + 2x = x² + 9 – 6x
8x = 8
x = 1 …(1)
ਹੁਣ ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿਚ,
ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
(AB)² + (BC)² = (AC)²
(x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)²
= (3 + 1)² + (2 – 2)²
x² + 1 + 2x + y² + 4 – 4y + x² +9 – 6x + y² + 4 – 4y = 16
2x² + 2y² – 4x – 8y + 2 = 0
x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 …(2)
x = 1 ਦਾ ਮੁੱਲ (2) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ਤੇ
(1)² + y² – 2 (1) – 4y + 1 = 0
y² – 4y = 0
y (y – 4) = 0
y = 0 ਜਾਂ y = 4
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੁ (1, 0) ਅਤੇ (4, 0) ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਕ੍ਰਿਸ਼ਨਾ ਨਗਰ ਦੇ ਇਕ ਸੈਕੰਡਰੀ ਸਕੂਲ ਦੀ X ਜਮਾਤ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਬਾਗਬਾਨੀ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਜਮੀਨ ਦਾ ਟੁੱਕੜਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ । ਗੁਲਮੋਹਰ ਦੇ ਪੌਦੇ ਇਸ ਦੀ ਸੀਮਾਂ ‘ ਤੇ ਆਪਸ ਵਿਚ 1m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਲਗਾਏ ਗਏ ਹਨ । ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਇਸ ਟੁੱਕੜੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਤਿਭੁਜ ਅਕਾਰ ਦਾ ਘਾਹ ਲੱਗਿਆ ਹੋਇਆ ਲਾਅਨ (Law) ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿਚ ਫੁੱਲਾਂ ਦੇ ਪੌਦਿਆਂ ਦੇ ਬੀਜ ਬੀਜਣੇ ਹਨ ।
(i) A ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(ii) ਜੇਕਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ ਤਾਂ APR ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਕੀ ਹੋਣਗੇ ? ਨਾਲ ਹੀ, ਉਪਰੋਕਤ ਦੋਹਾਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਤਿਭੁਜਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ । ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ?

ਹੱਲ:
ਸਥਿਤੀ I ਜਦੋਂ A ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਤਾਂ AD ; X-ਧੁਰੇ ਅਤੇ AB; Y-ਧੁਰਾ ਹੈ ।
∴ ਤਿਭੁਜਾਕਾਰ ਘਾਹ ਦੇ ਲਾਨ POR ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ P (4, 6); Q (3, 2) ਅਤੇ R( 6, 5) ਹੈ ।
ਇੱਥੇ x₁ = 4, x₂ = 3, x₃ = 6
y₁ = 6, y₂ = 2, y₃ = 5
ਹੁਣ, △PQR ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 (2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[-12 – 3 + 24] = \(\frac{9}{2}\)
= 4.5 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ
ਸਥਿਤੀ II. ਜਦੋਂ c ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਤਾਂ CB ; X-ਧੁਰਾ । CD ; Y-ਧੁਰਾ ਹੈ
∴ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਕਾਰ ਘਾਹ ਦਾ ਲਾਨ PQR ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ : P (12, 2); Q (13, 6) ਅਤੇ R (10, 3) ਹੈ ।
ਇੱਥੇ x₁ = 12, x₂ = 13, x₃ = 10
y₁ = 2, y₂ = 6, y₃ = 3
ਹੁਣ △POR ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6)]
= \(\frac{1}{2}\)[36 + 13 – 40] = \(\frac{9}{2}\)
= 4.5 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਤਿਭੁਜਾਕਾਰ ਘਾਹ ਦੇ ਲਾਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਮਾਨ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਸਿਖਰ A(4, 6), B(1, 5) ਅਤੇ C(7, 2) ਹਨ । ਭੁਜਾਵਾਂ AB ਅਤੇ AC ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ D ਅਤੇ E ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੋਈ ਇਕ ਰੇਖਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਹੈ ਕਿ \(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{1}{4}\) ਹੈ । △ADE ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ △ABC ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਕਰੋ ਥਿਊਰਮ (ਮੇਯ 6.2 ਅਤੇ ਥਿਊਰਮ (ਮੇਯ) 6.6 ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
△ABC ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ A (4, 6); B (1, 5) ਅਤੇ C (7, 2) ਹਨ ।

ਭੁਜਾ AB ਅਤੇ AC ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ D (x, y) ਅਤੇ E (x₂, y₂) ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚੋ ਕਿ
\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ D ਅਤੇ E, AB ਅਤੇ AC ਨੂੰ ਅਨੁਪਾਤ 1 : 3 ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ ।
∴ D ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ

△ADE ਵਿੱਚ,
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

△ABC ਵਿੱਚ,
x₁ =4, x₂ = 1, x₃ = 7
y₁ = 6, y₂ = 5, y₃ = 2
△ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 (5 – 2) + 1 (2 – 6) + 7 (6 – 5)]
= \(\frac{15}{2}\) ਵ. ਇਕਾਈਆਂ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਮੰਨ ਲਉ A (4, 2), B (6, 5) ਅਤੇ C (1, 4) ਇਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ ।
(i) A ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਮੱਧਿਕਾ BC ਨੂੰ D’ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ । ਬਿੰਦੁ D ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(ii) AD ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ AP : PD = 2 : 1 ਹੋਵੇ ।
(ii) ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ BE ਅਤੇ CF ਉੱਤੇ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂਆਂ Q ਅਤੇ R ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ BQ : QE = 2 : 1 ਹੋਵੇ ਅਤੇ CR : RF = 2 : 1 ਹੋਵੇ
(iv) ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ?
[ਨੋਟ : ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜੋ ਤਿੰਨਾਂ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹੋਵੇ, ਉਸ 1 ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰਕ (Centroid) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ | ਹਰ ਇੱਕ ਮੱਧਿਕਾ ਨੂੰ 2:1 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।]
(v) ਜੇਕਰ A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ਅਤੇ C (x₃, y₃) ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਸਿਖਰ ਹੋਣ ਤਾਂ ਇਸ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰਕ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ △ABC ਦੇ ਸਿਖਰ A (4, 2); B (6, 5) ਅਤੇ C (1, 4) ਹੈ ।
(i) AD, ਸਿਖਰ A ਤੋਂ ਮੱਧਕਾ ਹੈ
∴ D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।

∴ D ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{9}{2}\))

(ii) ਮੰਨ ਲਓ P (x, y), AD ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ AP : PD = 2 : 1


∴ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (\(\frac{11}{3}\), \(\frac{11}{3}\)) ਹਨ ।

(iii) ਮੰਨ ਲਉ BE ਅਤੇ CF, AABC ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ AC ਅਤੇ AB ਉੱਤੇ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ
∴ E ਅਤੇ F, ਮਵਾਰ AC ਅਤੇ AB ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹਨ

E ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ
x₁ = \(\frac{4+1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
ਅਤੇ y₁ = \(\frac{4+2}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3
∴ E ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ : (\(\frac{5}{2}\), 3)
F ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ
x₂ = \(\frac{4+6}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5
y₂ = \(\frac{5+2}{2}\) = \(\frac{7}{2}\)
∴ F ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ (5, \(\frac{7}{2}\))
ਹੁਣ, Q, BE ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ਕਿ BQ : QE = 2 : 1

ਨਾਲ ਹੀ R, CF ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਭਾਜਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ CR : RF = 2 : 1

(iv) ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ P, Q ਅਤੇ R ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਇਕ ਸਮਾਨ ਹਨ ਅਤੇ ਇਕੋ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।ਇਹ ਬਿੰਦੁ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰਿਕ ਕਹਿਲਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਮੱਧਕਾ ਨੂੰ 2 : 1 ਵਿਚ ਵਿਭਾਜਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ।

(v) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ △ABC ਦੇ ਸਿਖਰ A (x₁, y₁); B (x₂, y₂) ਅਤੇ C (x₃, y₃) ਹੈ ।

ਮੰਨ ਲਉ AD, △ABC ਦੀ ਮੱਧਕਾ ਹੈ :
∴ D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਤਾਂ D ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ।
(\(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\), \(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\))
ਹੁਣ, G, △ABC ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ਜੋ ਮੱਧਿਕਾ AD ਨੂੰ 2 : 1 ਵਿਚ ਵਿਭਾਜਤ ਕਰਦਾ ਹੈ
∴ G ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਬਿੰਦੂਆਂ A (-1, -1), B (-1, 4), C (5, 4) ਅਤੇ D (5, -1) ਤੋਂ ਇਕ ਆਇਤ ABCD ਬਣਦਾ ਹੈ । P,Q,R ਅਤੇ 5 ਕੁਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC, CD ਅਤੇ DA ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹਨ । ਕੀ ਚਤੁਰਭੁਜ PORS ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ ? ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ ? ਕੀ ਇਹ ਇਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ? ਕਾਰਣ ਸਹਿਤ ਉੱਤਰ ਦਿਉ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ABCD ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ ।
A(-1, – 1); B (-1, 4); C (5, 4) ਅਤੇ D (5, – 1).

∵ P, AB ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ
∴ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ ।
(\(\frac{-1-1}{2}\), \(\frac{-1+4}{2}\)) = (1, \(\frac{3}{2}\))
∵ Q, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ
∴ Q ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ
(\(\frac{-1+5}{2}\), \(\frac{4+4}{2}\)) = (2, 4)
∵ R, CD ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ
∴ R ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ
(\(\frac{5+5}{2}\), \(\frac{4-1}{2}\)) = (5, \(\frac{3}{2}\))
∵ S, AD ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ
∴ S ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ



ਹੁਣ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ
PQ = Rs ਅਤੇ QR = SP
ਨਾਲ ਹੀ, PR ≠ QS
PQRS ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਪਰ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
∴ PQRS ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Exercise 7.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਉਸ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ :
(i) (2, 3); (-1, 0); (2, – 4)
(ii) (-5, -1); (3, – 5); (5, 2)
ਹੱਲ:
(i) ਮੰਨ ਲਉ △ABC ਦੇ ਸਿਖਰ A (2, 3); B (-1, 0) ਅਤੇ C (2, – 4) ਹਨ ।
ਇੱਥੇ , x₁ = 2, x₂ = -1, x₃ = 2
y₁ =3, y₂ = 0, y₃ = – 4
∴ △ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂]
= \(\frac{1}{2}\)[2 × (0 + 4) – 1 × -4, -3) + 2 × (3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[18 + 7 + 6] = \(\frac{21}{2}\)
= 10.5 ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ ।

(ii) ਮੰਨ ਲਉ BABC ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ A (-5, -1) ; B (3, -5) ਅਤੇ C (5, 2) ਹਨ
ਇੱਥੇ , x₁ = -5, x₂ = 3, x₃ = 5
y₁ = -1, y₂ = -5, y₃ = 2
∴ △ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-5(-5 – 2) + 3 (2 + 1) + 5 (-1 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[35 + 9 + 120] = \(\frac{1}{2}\) × 64
= 32 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿਚ “k’ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਕਿ ਤਿੰਨੇ ਬਿੰਦੂ ਸਮਰੇਖੀ ਹੋਣ :
(i) (7, -2); (5, 1); (3, k).
(ii) (8, 1); (k, -4); (2, – 5)
ਹੱਲ:
(i) ਮੰਨ ਲਉ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ A (7, – 2); B (5, 1) ਅਤੇ C (3, k) ਹਨ ।
ਇੱਥੇ x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3
y₁ = -2, y₂ = 1, y₃ = k
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਸਮਰੇਖੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[7 (1 – k) + 5 (k + 2) + 3 (-2 – 1)] = 0
7 – 7k + 5k + 10 – 9 = 0
-2k + 8 = 0
-2k = -8
k = 4

(ii) ਮੰਨ ਲਉ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ A(8, 1) B (k, -4) ਅਤੇ C (2, -5) ਹਨ ।
ਇੱਥੇ x₁ = 8, x₂ = k, x₃ = 2
y₁ = 1, y₂ = -4, y₃ = -5
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੁ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ ਜੇਕਰ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
ਜਾਂ \(\frac{1}{2}\)[8(-4 + 5) + k (-5 – 1) + 2 (1 + 4)] = 0
8 – 6k + 10 = 0
-6k = – 18
k = 3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਸਿਖਰਾਂ (0, -1), (2, 1) ਅਤੇ (0, 3) ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।ਇਸ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABCਦੇ ਸਿਖਰ A(0, – 1); B (2, 1) ਅਤੇ C (0, 3) ਹਨ ।
D, E, F ਕੁਮਵਾਰ AB, BC, CA ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ।
∴ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ

∴ △DEF ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ D (1, 0); E(1, 2); F (0, 1) ਹਨ ।
ਇੱਥੇ , x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂ = 2, y₃ = 1
∴ △DEF ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0(0 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[1 + 1 + 0] = \(\frac{2}{2}\)
= 1 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ
△ABC ਵਿਚ
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0
y₁ = – 1, y₂ = 1, y₃ = 3
△ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 (1 – 3) + 2 (3 + 1) + 0 (-1 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 + 8 + 0] = \(\frac{8}{2}\) = 4 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ

= \(\frac{1}{4}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਉਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ | ਸਿਖਰ, ਇਸੇ ਕੂਮ ਵਿੱਚ (4, -2); (-3, -5); (3, – 2) ਵ ਅਤੇ (2, 3) ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ A (-4, – 2); B (-3, – 5) ; c (3, -2) ਅਤੇ D (2, 3) ਹਨ ।
AC ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ, ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD, ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਵਿਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ।
ਭਾਵ △ABC ਅਤੇ △CDA ਵਿਚ

△ABC ਵਿਚ
x₁ = -4, x₂ = 3, x₃ = 3
y₁ = -2, y₂ = -5, y₃ = -2
△ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₃)]
= \(\frac{1}{2}\)[-4(-5 + 2) + (-3)(-2 + 2) + 3(-2 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 + 0 + 9] = \(\frac{21}{2}\) ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ
△CDA ਵਿਚ
x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = -4
y₁ = -2, y₂ = 3, y₃ = -2
△CDA ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[3 (3 + 2) + 2 (2 + 2) + (-4) (-2 – 3)]
= \(\frac{1}{2}\)[20 + 15 + 0] = \(\frac{35}{2}\) ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ
ਹੁਣ, ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (△ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) + (△ACD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ)
= \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{35}{2}\)
= \(\frac{56}{2}\) = 28 ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜਮਾਤ IX ਵਿਚ ਤੁਸੀਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ (ਪਾਠ 9, ਉਦਾਹਰਣ 3) ਕਿ ਕਿਸੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਮੱਧਕਾ (Median) ਉਸਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਵਿਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ । ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੜਤਾਲ ਉਸ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਲਈ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ A(4, -6), B(3, -2) ਅਤੇ C(5, 2) ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ △ABC ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ A(4, – 6) ; B (3, – 2) ਅਤੇ C (5, 2)
ਮੰਨ ਲਉ CD ਇਕ ਮੱਧਿਕਾ ਹੈ । ਅਰਥ D, AB ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ ਜੋ △ABC ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।

(5, 2)
△ADC ਅਤੇ △CDB
D ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ = (\(\frac{4+3}{2}\), \(\frac{-6-2}{2}\))
= (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{-8}{2}\))
= (3.5, 4)
△ADC ਵਿੱਚ,
x₁ = 4, x₂ = 3.5, x₃ = 5
y₁ = -6, y₂ = -4, y₃ = 2
△ADC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 (-4 – 2) + 3.5 (2 + 6) + 5 (-6 + 4)]
= \(\frac{1}{2}\)[-24 + 28 – 10]
= \(\frac{1}{2}\) × -6 = -3 = 3 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ
(∵ ਖੇਤਰਫਲ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।)
△CDB ਵਿਚ,
x₁ = 5, x₂ = 3.5, x₃ = 3
y₁ = 2, y₂ = -4, y₃ = -2
△CDB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[5 (-4 + 2) + 3.5 (-2 – 2) + 3 (2 + 4)]
= \(\frac{1}{2}\)[-10 – 14 + 18] = \(\frac{1}{2}\) × – 6 = -3
= 3 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ
(∵ ਖੇਤਰਫਲ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ)
ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸੱਪਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ △ADC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = △CDB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 3 ਵ. ਇਕਾਈਆਂ
∴ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਮੱਧਿਕਾ ਇਸਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Exercise 7.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਉਸ ਬਿੰਦੁ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (-1,7) ਅਤੇ (4,-3) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ 2: 3 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ P (x, y) ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੁਆਂ A(-1, 7) ਅਤੇ B (4, – 3) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ 2 : 3 ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।

∴ x = \(\frac{2 \times 4+3 \times-1}{2+3}\) = \(\frac{8-3}{5}\) = \(\frac{5}{5}\) = 1
ਅਤੇ y = \(\frac{2 \times-3+3 \times 7}{2+3}\) = \(\frac{-6+21}{5}\) = \(\frac{15}{5}\) = 3
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ (1, 3)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਬਿੰਦੂਆਂ (4, – 1) ਅਤੇ (-2, – 3) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਸਮਾਨ ਭਾਗ (Trisection) ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ P (x₁, y₁) ਅਤੇ Q (x₂, y₂) ਲੋੜੀਂਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜੋ ਬਿੰਦੁ A (4, – 1) ਅਤੇ (-2, – 3) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਮਾਨ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਨ । ਭਾਵ P (x₁, y₁) AB ਨੂੰ 1 : 2 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਅਤੇ Q (x₂, y₂) AB ਨੂੰ 2 : 1 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਤੁਹਾਡੇ ਸਕੂਲ ਵਿਚ ਖੇਡਣ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕਰਵਾਉਣ ਦੇ ਲਈ ਇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਮੈਦਾਨ ABCD ਵਿੱਚ, ਚੂਨੇ ਦੇ ਨਾਲ 1m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਕਤਾਰਾਂ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ । AD ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਆਪਸ ਵਿਚ 1m ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੇ 100 ਗਮਲੇ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਨਿਹਾਰਿਕਾ ਦੂਸਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ AD ਦੇ \(\frac{1}{4}\) ਭਾਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੇ ਦੌੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਥੇ ਇੱਕ ਹਰਾ ਝੰਡਾ ਗੱਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ । ਪ੍ਰੀਤ ਅੱਠਵੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿਚ AD ਦੇ \(\frac{1}{5}\) ਭਾਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੇ ਦੌੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਥੇ | ਇੱਕ ਲਾਲ ਝੰਡਾ ਗੱਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ । ਦੋਹਾਂ ਝੰਡਿਆਂ ਦੀ | ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੁਰੀ ਕੀ ਹੈ ? ਜੇਕਰ ਰਸ਼ਿਮ ਨੂੰ ਇਕ ਨੀਲਾ ਝੰਡਾ ਇਹਨਾਂ ਦੋਹਾਂ ਝੰਡਿਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦੇ ਠੀਕ ਅੱਧੀ ਦੂਰੀ (ਵਿਚਕਾਰ) ‘ਤੇ ਗੱਡਣਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣਾ ਝੰਡਾ ਕਿੱਥੇ ਗੱਡਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ?

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ A ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਮੰਨ ਲੈਂਦੇ ਹਨ | AB ਨੂੰ ਧੁਰਾ ਅਤੇ AD ਨੂੰ y-ਧੁਰਾ ਮੰਨ ਲੈਣ ਤੇ ਹਰੇ ਝੰਡੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
= ਨਿਹਾਰਿਕਾ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= ਨਿਹਾਰਿਕਾ ਦੂਸਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ AD ਦੇ \(\frac{1}{4}\) ਭਾਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੌੜਦੀ ਹੈ
= \(\frac{1}{4}\) × 100 = 25m
∴ ਹਰੇ ਝੰਡੇ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (2, 25) ਹੈ ।
ਹੁਣ, ਲਾਲ ਝੰਡੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
= ਪ੍ਰੀਤ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= ਪੀਤ ਅੱਠਵੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿਚ AD ਦੇ \(\frac{1}{5}\)
ਭਾਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ਦੌੜਦੀ ਹੈ
= \(\frac{1}{5}\) × 100 = 20m.
∴ ਹਰੇ ਅਤੇ ਲਾਲ ਝੰਡੇ ਦੇ ਵਿੱਚ ਦੀ ਦੂਰੀ
= \(\sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}}\)
= \(\sqrt {36+25}\) = \(\sqrt {61}\) m .
ਨੀਲੇ ਝੰਡੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
= ਹਰੇ ਝੰਡੇ ਅਤੇ ਲਾਲ ਝੰਡੇ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦਾ ਅੱਧਾ
= (\(\frac{2+8}{2}\), \(\frac{25+20}{2}\))
= (5, 22.5).
ਨੀਲਾ ਝੰਡਾ 5ਵੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਅਤੇ AD ਤੋਂ 22.5 ਮੀ. ਦੀ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਬਿੰਦੂਆਂ (-3, 10) ਅਤੇ (6, -8) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (-1, 6) ਕਿਸ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਬਿੰਦੁ P (-1, 6) ਬਿੰਦੁ A (-3, 10) | ਅਤੇ B (6, – 8) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ | ਨੂੰ K : 1 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।

∴ -1 = \(\frac{6 \times K-3 \times 1}{K+1}\)
ਜਾਂ -K – 1 = 6K – 3
-K – 6K = – 3 + 1
– 7K = -2
ਜਾਂ K = \(\frac{2}{7}\)
∴ K : 1 = \(\frac{2}{7}\) = 2 : 7
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 2 : 7. ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਬਿੰਦੁਆਂ A (1, – 5) ਅਤੇ B (- 4, 5) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ 7-ਧੁਰਾ ਕਿਸ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ । ਇਸ ਵੰਡਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਵੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ P (x, 0) ਹੈ ਜੋ A (1, – 5) ਅਤੇ B (-4, 5) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ K : 1 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।

P ਦਾ y ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹੈ
0 = \(\frac{5 \times K+(-5) \times 1}{K+1}\)
0 = \(\frac{5 K-5}{K+1}\)
5K – 5 = 0
5K = 5
K = 1
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਅਨੁਪਾਤ K : 1 = 1 : 1
ਹੁਣ, P ਦਾ x ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹੈ
x = \(\frac{-4 \times K+1 \times 1}{K+1}\)
K = 1, ਦਾ ਮੁੱਲ ਰੱਖਣ ਤੇ
x = \(\frac{-4 \times 1+1 \times 1}{1+1}\) = \(\frac{-4+1}{2}\)
x = \(-\frac{3}{2}\)
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ : (\(-\frac{3}{2}\), 0)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਜੇਕਰ ਬਿੰਦੂ (1, 2) ; (4, y) ; (x, 6) ਅਤੇ (3, 5) ਇਸੇ ਕੂਮ ਵਿਚ ਲੈਣ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖਰ ਹੋਣ ਤਾਂ 1 ਅਤੇ y ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ : A (1, 2) ; B (4, y) ; C (x, 6) ਅਤੇ D (3, 5)
ਪਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ :
ਸਥਿਤੀ I : ਜਦੋਂ E, A (1, 2) ਅਤੇ C (x, 6) ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੋਵੇ ।
∴ E ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ
E = (\(\frac{x+1}{2}\), \(\frac{6+2}{2}\))
E = (\(\frac{x+1}{2}\), 4) …(1)

ਸਥਿਤੀ II : ਜਦੋਂ E, B (4, y) ਅਤੇD (3, 5) ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੋਵੇ ।
E ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ :
E = (\(\frac{3+4}{2}\), \(\frac{5+y}{2}\))
E = (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{5+y}{2}\)) …(2)
ਪਰ (1) ਅਤੇ (2) ਵਿਚ E ਦੇ ਮੁੱਲ ਸਮਾਨ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਤੇ
\(\frac{x+1}{2}\) = \(\frac{7}{2}\) ਅਤੇ 4 = \(\frac{5+y}{2}\)
x + 1 = 7 ਅਤੇ 8 = 5 + y
x = 6 ਅਤੇ y = 3
∴ x ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁਲ ਹਨ 6 ਅਤੇ 3 ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਬਿੰਦੂ A ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ AB ਇੱਕ | ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ । ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (2, – 3) ਹੈ ਅਤੇ B ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (1, 4) ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ A ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (x, y) ਹੈ ।
ਪਰ, ਵਿਆਸ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਕੇਂਦਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

∴ O, A (x, y) ਅਤੇ B (1, 4) ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ (\(\frac{x+1}{2}\), \(\frac{y+4}{2}\)) = (2, -3)
ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
\(\frac{x+1}{2}\) = 2 ਅਤੇ \(\frac{y+4}{2}\) = -3
x + 1 = 4 ਅਤੇ y + 4 = – 6
x = 4 – 1 ਅਤੇ y = – 6 – 4
x = 3 ਅਤੇ y = – 10
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ (3 – 10)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਜੇਕਰ ਅਤੇ B ਕੁਮਵਾਰ (-2, -2) ਅਤੇ (2, 4) | ਹੋਣ ਤਾਂ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਕਿ AP = \(\frac{3}{7}\)AB ਹੋਵੇ ਅਤੇ P ਰੇਖਾਖੰਡ AB ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ P(x, y).
ਨਾਲ ਹੀ AP = \(\frac{3}{7}\)AB … ਦਿੱਤਾ ਹੈ।
ਪਰ PB = AB – AP
= AB – \(\frac{3}{7}\)AB = (\(\frac{7-3}{7}\))AB
= \(\frac{4}{7}\)AB
∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\frac{3}{7} \mathrm{AB}}{\frac{4}{7} \mathrm{AB}}=\frac{3}{4}\)
∴ P ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ A ਅਤੇ B ਨੂੰ 3:4 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।

∴ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ : (\(-\frac{2}{7}\), \(-\frac{20}{7}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਬਿੰਦੂਆਂ A (-2, 2) ਅਤੇ B (2, 8) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਨੂੰ ਚਾਰ ਬਰਾਬਰ ਭਾਗਾਂ ਵਿਚ ਵੰਡਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ C, D ਅਤੇ E ਲੋੜੀਂਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜੋ ਬਿੰਦੂ A ( 2, 2) ਅਤੇ B (2, 8) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ ਚਾਰ ਬਰਾਬਰ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ ।
ਤਾਂ D, A ਅਤੇ B ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ; C, A ਅਤੇ D ਦਾ | ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ; E, D ਅਤੇ B ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿ
AC = CD = DE = EB
ਹੁਣ, A ਅਤੇ B ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ( D ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ)
= (\(\frac{-2+2}{2}\), \(\frac{2+8}{2}\) = (0, 5)
A ਅਤੇ D ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ (C ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ)
(\(\frac{-2+0}{2}\), \(\frac{-2+5}{2}\) = (1, \(\frac{7}{2}\)
D ਅਤੇ B ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ (E ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ)
(\(\frac{2+0}{2}\), \(\frac{8+5}{2}\)) = (-1, \(\frac{13}{2}\))
∴ ਲੋੜੀਂਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ :
(0, 5), (-1, \(\frac{7}{2}\)) ਅਤੇ (1, \(\frac{13}{2}\))

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ | ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ, ਇਸੇ ਕੂਮ ਵਿਚ (3, 0), (4, 5), (-1, 4) ਅਤੇ (-2, – 1) ਹਨ ।
ਸੰਕੇਤ : ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) (ਉਸਦੇ ਵਿਕਰਣਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ)]
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੇ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : A (3, 0) ; B (4, 5) ; C (- 1, 4) ਅਤੇ D (-2, – 1).
ਵਿਕਰਣ AC = \(\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}}\)
= \(\sqrt {16+16}\) = \(\sqrt {32}\)
= 4\(\sqrt {2}\)

ਵਿਕਰਣ BD
BD = \(\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-5)^{2}}\)
= \(\sqrt {36+36}\) = \(\sqrt {72}\)
= 6\(\sqrt {2}\)
∴ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\) × AC × BD
= [\(\frac{1}{2}\) × 4\(\sqrt {2}\) × 6\(\sqrt {2}\)]
= (\(\frac{1}{2}\) × 24 × 2)
= 24 ਵ.ਮੀ.
∴ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 24 ਵ.ਮੀ. ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਜਿਮਾਇਤੀ Exercise 7.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਹੇਠ ਦਿੱਤਿਆਂ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) (2, 3) ; (4, 1)
(ii) (-5, 7) ; (-1, 3)
(iii) (a, b) ; (-a, – b).
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹੈਂ : (2, 3) ; (4, 1)
ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}\) = \(\sqrt {8}\) = 2\(\sqrt {2}\)

(ii) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : (-5, 7) ; (-1, 3)
ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ = \(\sqrt{(-1+5)^{2}+(3-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+16}\) = \(\sqrt{32}\) =4\(\sqrt{2}\)

(iii) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : (a, b); (-a,-b)
ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ = \(\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-2 a)^{2}+(-2 b)^{2}}\)
= \(\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}}\)
= 2\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਬਿੰਦੂਆਂ (0, 0) ਅਤੇ (36, 15) ਦੀ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਤੁਸੀ ਹੁਣ ਭਾਗ 7.2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਦੋਹਾਂ ਸ਼ਹਿਰਾਂ A ਅਤੇ B ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ :
A (0, 0) ਅਤੇ B (36, 15)
ਦੂਰੀ AB = \(\sqrt{(0-36)^{2}+(0-15)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+225}\) = \(\sqrt{1521}\)
= 39
ਭਾਗ 7.2 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ
ਬਿੰਦੂ A (0, 0) ਅਤੇ B (36, 15) ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ – ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ

BC ⊥X-ਧੁਰੇ ਤੇ ਖਿੱਚੋ ।
ਹੁਣ ਸਮਕੋਣ ACB ਵਿੱਚ,
AB = \(\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}\)
= \(\sqrt{(36)^{2}+(15)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+225}\) = \(\sqrt{1521}\)
= 39.
∴ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚ ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ 39 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਬਿੰਦੂ (1, 5), (2, 3) ਅਤੇ (-2, – 11) ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : A (1, 5) ; B (2, 3) ਅਤੇ C (-2 – 11).

ਉਪਰੋਕਤ ਦੂਰੀਆਂ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦੋ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਤੀਸਰੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ । ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਮਰੇਖੀ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਬਿੰਦੂ (5, – 2) (6, 4) ਅਤੇ (7, -2) ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ A (3, – 2) ; B (6, 4) ਅਤੇ c (7, – 2).

ਉਪਰੋਕਤ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ
AB = BC = \(\sqrt{37}\).
∴ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਕਿਸੇ ਜਮਾਤ ਵਿੱਚ, ਚਾਰ ਮਿੱਤਰ ਬਿੰਦੂਆਂ A, B, C ਅਤੇ D ‘ਤੇ ਬੈਠੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਚੰਪਾ ਅਤੇ ਚਮੇਲੀ ਜਮਾਤ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਸਮਾਂ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਚੰਪਾ, ਚਮੇਲੀ ਨੂੰ ਪੁੱਛਦੀ ਹੈ, “ਕੀ ਤੂੰ ਨਹੀਂ ਸੋਚਦੀ ਕਿ ABCD ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ ?” ਚਮੇਲੀ ਇਸ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਨਹੀਂ ਹੈ । ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ, ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੌਣ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : A (3, 4) ; B (6, 7) ; C (9, 4) ਅਤੇ D (6, 1).

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ
AB = BC = CD = DA = \(\sqrt{18}\)
ਅਤੇ AC = BD = 6.
∴ ABCD ਇਕ ਵਰਗ ਬਣਦਾ ਹੈ ਚੰਪਾ ਦੀ ਸੋਚ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਕਿਸਮ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੈ ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦਾ ਕਾਰਣ ਵੀ ਦੱਸੋ :
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, – 4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2).
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : A (-1, – 2) ; B (1, 0) ; C (-1, 2) ਅਤੇ D (-3, 0).


ਹੁਣ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ
AB = BC = CD = DA = \(\sqrt{8}\)
AC = BD = 4.
∴ ਇਹ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ ।

(ii) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : A (-3, 5); B (3, 1); (0, 3) ਅਤੇ D (-1, – 4)

ਹੁਣ, BC + CA = \(\sqrt{13}\) + \(\sqrt{13}\)
= 2\(\sqrt{13}\) = AB
∴ A, B ਅਤੇ C ਇਕ ਰੇਖਾ ਵਿਚ ਹਨ ਅਤੇ A, B, C ਅਤੇ D ਚਤੁਰਭੁਜ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ।

(iii) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ : A (4, 5) ; B (7, 6) ; C (4, 3) ਅਤੇ D (1, 2)
AB = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}}\)

ਹੁਣ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ
AB = CD ਅਤੇ BC = DA
ਅਤੇ AC ≠ BD.
∴ ਸਨਮੁਖ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
x-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ (2, – 5) ਅਤੇ (-2, 9) ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ P (x, 0) ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ A (2, -5) ਅਤੇ B (-2, 9). ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
PA = PB
(PA)² = (PB)²
(2 – x)² + (-5 – 0)² = (-2 – x)² + (9 – 0)²
4 + x – 4x + 25 = 4 + x² + 4x + 81
– 8x = 56
x = \(\frac{56}{8}\) = -7
∴ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ (-7, 0) ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8
y ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਬਿੰਦੂ P (2, – 3) ਅਤੇ Q (10, y) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 10 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : P (2, – 3) ਅਤੇ Q (10, y)
PQ = \(\sqrt{(10-2)^{2}+(y+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{64+y^{2}+9+6 y}\)
= \(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ, PQ = 10
\(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\) = 10
y² + 6y + 73 = 100
y² + 6y – 27 = 0
y² + 9y – 3y – 27 = 0
y (y + 9) – 3 (y + 9) = 0
(y +9) (y – 3) = 0.
y + 9 = 0 ਜਾਂ y – 3 =0
y = -9 ਜਾਂ y = 3
y = -9 ਅਤੇ 3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਜੇਕਰ Q (0, 1) ਬਿੰਦੁਆਂ P (5, -3) ਅਤੇ R (x, 6) ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ ਤਾਂਝ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ । ਦੂਰੀਆਂ QR ਅਤੇ PR ਵੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ : Q (0, 1) ;
P (5, – 3) ਅਤੇ R (x, 6)
QP = \(\sqrt{(5-0)^{2}+(-3-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+16}\) = \(\sqrt{41}\)
QR = \(\sqrt{(x-0)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+25}\)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
QP = QR
\(\sqrt{41}\) = \(\sqrt{x^{2}+25}\)
41 = x² + 25 ਜਾਂ x² = 16
x = ±\(\sqrt{16}\) = ±4.
ਜਦੋਂ = 4 ਤਾਂ R (4, 6).
QR = \(\sqrt{(4-0)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}\) = \(\sqrt{41}\)
PR = \(\sqrt{(4-5)^{2}+(6+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{1=81}\) = \(\sqrt{82}\)
ਜਦੋਂ = -4 ਤਾਂ R (-4, 6).
QR = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}\) = \(\sqrt{41}\)
PR = \(\sqrt{(-4-5)^{2}+(6+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{81+81}\) = \(\sqrt{162}\).

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
x ਅਤੇ y ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੰਬੰਧ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (x, y) ਬਿੰਦੂਆਂ (3, 6) ਅਤੇ (-3, 4) ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ P (x, y) ਹੈ ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਹਨ A (3, 6) ਅਤੇ B (-3, 4)

ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੇ
x² + y² – 6x – 12y +45
= x² + y² + 6x – 8y + 25
– 12x – 4y + 20 = 0
3x + y – 5 = 0
ਲੋੜੀਂਦਾ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.6

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, PS ਕੋਣ ∠PR ਦਾ ਸਮਦੋਭਾਜਕ ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ \(\frac{QS}{SR}\) = \(\frac{PQ}{PR}\) ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △PQR, PS ਕੋਣ ∠QPR ਦਾ ਸਮਦੋਭਾਜਕ ਹੈ ਭਾਵ ∠1 = ∠2
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : \(\frac{QS}{SR}\) = \(\frac{PQ}{PR}\)

ਰਚਨਾ : R ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ PS ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ QP ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ Tਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ।
ਸਬੂਤ : △QRT ਵਿੱਚ,
PS || TR
∠2 = ∠3 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∠1 = ∠4 (ਸੰਗਤ ਕੋਣ)
ਪਰ ∠1 = ∠2 (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ ∠3 = ∠4
△PRT ਵਿੱਚ
∠3 = ∠4 (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
PT = PR [ਸਮਾਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ]
△QRT ਵਿੱਚ
PS || TR

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ D ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਕਰਣ AC ਉੱਤੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਦ ਕਿ BD ⊥ AC ਅਤੇ DM ⊥ BC ਅਤੇ DN ⊥ AB ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AN

ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ, DM ⊥ BC,
DN ⊥ AB ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : DM² = DN.AC
DN = DM.AN.
ਹੱਲ:
BD ² AC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
⇒ ∠BDC= 90°
⇒ ∠BDM + ∠MDC = 90° …(1)
△DMC ਵਿੱਚ
∠DMC = 90°
[∵ DM ⊥ BC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ)]
⇒ ∠C + ∠MDC = 90° ..(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
∠BDM + ∠MDC = ∠C + ∠MDC
⇒ ∠BDM =∠C
[ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਉਂ ∠MDC ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਤੇ]
ਹੁਣ △BMD ਅਤੇ △MDC ਵਿੱਚ,
∠BDM = ∠C [ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∠BMD = ∠MDC [ਹਰੇਕ 90°]
∴ ∠BMD ~ ∠MDC [AA ਕਮੇਟੀ]
⇒ \(\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{BM}}\) = \(\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{DM}}\)
[∵ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ |]
⇒ DM² = BM × MC
⇒ DM² = DN × MC
[∵ BM = DN]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ △NDA ~ △NBD
⇒ \(\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{BN}}\) = \(\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{DN}}\)
[∵ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ |]
⇒ DN² = BN × AN
⇒ DN² = DM × AN

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ABC ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ∠ABC > 90° ਹੈ ਅਤੇ AD ⊥ CB ਹੈ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ AC² = AB² + BC² + 2BC.BD ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ AD ⊥ BC ਜਦੋਂ BC ਨੂੰ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ∠ABC > 90° ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : AC² = AB² + BC² + 2BC.BD.
ਸਬੂਤ : ਮੰਨ ਲਉ : BC = a,
CA = b,
AB = C,
AD = h
ਅਤੇ BD = x.
ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ △ADB ਵਿੱਚ, ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ,
AB² = BD² + AD
ਭਾਵ c² = x² + h²
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ △ADC ਵਿੱਚ
AC² = CD² + AD²
ਭਾਵ b² = (a + x)² + h²
= a² + 2ax + x² + h²
= a² + 2ax + c²;
[(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ]
b² = a² + c² + 2ax
ਹੁਣ . , AC² = AB² + BC² + 2BC × BD.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ABC ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ∠ABC < 90° ਹੈ ਅਤੇ AD ⊥ BC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
AC² = AB² + BC² – 2BC.BD ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਜਿਸ ਵਿਚ ∠ABC <90° ਅਤੇ AD ⊥ BC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : AC² = AB² + BC² – 2BC.BD.
ਸਬੂਤ : ADC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ D ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
AC² = CD² + DA² ….(1)
(ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ।)
ਨਾਲ ਹੀ, △ADB ਸਮਕੋਣ △ ਹੈ D ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
AB² = AD² +DB² ….(2)
(1) ਤੋਂ ।
AC² = AD² +(CB – BD)²
= AD² + CB² + BD² – 2CB × BD
ਜਾਂ AC² = (BD² + AD²) + CB² – 2CB × BD
AC² = AB² + BC² – 2BC × BD.
[(2) ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੋਂ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ AD ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਇਕ ਮੱਧਕਾ ਹੈ . ਅਤੇ AM ⊥ BC ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ :
(i) AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
(iii) AC² + AB² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ, AM ⊥ BC, AD, △ABC ਦੀ ਇੱਕ ਮੱਧਕਾ ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
(i) AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
(iii) AC² + AB² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²
ਸਬੂਤ : △AMC ਵਿੱਚ,
AC² = AM² + MC²
= AM² + (MD +DC)²
AC² = AM² + MD² + DC² + 2MD × DC
AC² = (AM² + MD²) + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\) + 2.MD\(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)\)
AC² = AD² + BC × MD + \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{4}\)
[ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ △AMD
AD² = AM² + MD²]
∴ AC² = AD² + BC.MD + \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{4}\) …(1)

(ii) ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ AMB ਵਿੱਚ,
AB² = AM² + BM²
= AM² + (BD – MD)²
= AM² + BD² + MD² – 2BD × MD
= (AM² + MD²) + BD² – 2(\(\frac{1}{2}\)BC) MD
= AD² + (\(\frac{1}{2}\)BC)² – BC.MD
[∵ △AMD ਸੇਂ, AD² = MA² + MD²]
AB² = AD² + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\) – BC.MD …2

(iii) (1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ,
AB² + AC² = AD² + BC.MD + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) + AD² + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) – BC.MD
= 2AD² + \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{4}\) + \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{4}\)
= 2AD² + 2\(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{4}\)
AB² + AC² = 2AD² + \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:

ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਮੰਨ ਲਉ ABCD ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਪਰਸਪਰ ਬਿੰਦੂ M ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : AB² + BC² + CD² + DA²
= AB² + BC²
ਸਬੂਤ : ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇਕ ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਵਿੱਚ, ਵਿਕਰਣ BD ਅਤੇ AC ਇਕ-ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
ਜਾਂ MB ਅਤੇ MD ਕ੍ਰਮਵਾਰ △ABC ਅਤੇ △ADC ਦੀ ਮੱਧਕਾ ਹੈ ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ AD, △ABC ਦੀ ਮੱਧਕਾ ਹੈ ।
∴ AB² + AC² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²
ਇਸ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
AB² + BC² = 2BM² + \(\frac{1}{2}\)BC² …(1)
ਅਤੇ AD² + CD² = 2DM² + \(\frac{1}{2}\)AC² …(2)
(1) ਅਤੇ (2), ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ
AB² + BC² + AD² + CD²
= 2(BM² + DM²) + \(\frac{1}{2}\)(AC² + AC²)
AB² + BC² + AD² + CD²
= 2(\(\frac{1}{4}\)BD² + \(\frac{1}{4}\)BD²) + AC²
AB² + BC² + AD² + CD² = BD² + AC²
ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਸਦੀ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਇਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਜੀਵਾਵਾਂ (ਵਤਰਾਂ) AB ਅਤੇ CD ਆਪਸ ਵਿੱਚ P ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ :
(i) △AFC ~ △DPB
(ii) AP.PB = CP.DP.

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਜੀਵਾਵਾਂ AB ਅਤੇ CD ਇਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਮਾਂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : (i) △APC ~ △DPB
(ii) AP.PB = CP.DP.
ਸਬੂਤ : (i) △APC ਅਤੇ △DPB ਵਿੱਚ,
∠1 = ∠2 (ਸਿਖਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∠3 = ∠4 (ਇੱਕ ਹੀ ਖੰਡ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਕੋਣ)
∴ △APC ~ △DPB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

(ii) △APC ~ △DPB (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
\(\frac{AD}{DP}\) = \(\frac{PC}{PB}\)
(ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ॥)
AP.PB = PC.DP

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਵਤਰਾਂ AB ਅਤੇ CD ਵਧਾਉਣ ਤੇ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ । निय व वि
(i) △PAC ~ △PDB
(ii) PA.PB = PC.PD.

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਜੀਵਾਵਾਂ AB ਅਤੇ CD ਵਧਾਉਣ ਤੇ ਪਰਸਪਰ P ਬਿੰਦੁ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : (i) △PAC ~ △PDB
(ii) PA.PB = PC.PD.
ਸਬੂਤ : (i) △PAC ਅਤੇ △PDB ਤੋਂ,
∠P = ∠P
∠PAC = ∠PDB (ਚੱਕਰੀ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਅੰਦਰਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।)
∴ △PAC ~ △PDB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੋਟੀ ਤੋਂ।]

(iii) △PAB ~ △PDB
\(\frac{PA}{PD}\) = \(\frac{PC}{PB}\)
[ਜੇ ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ |]
PA × PB = PC × PD.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ,ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ D ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ \(\frac{BD}{DC}\) = \(\frac{AB}{AC}\) ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ AD, ਕੋਣ ∠BAC ਦਾ ਸਮਦੋਭਾਜਕ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC, ਵਿਚ ਭੁਜਾ BC ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ D ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ \(\frac{BD}{DC}\) = \(\frac{AB}{AC}\)
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ AD ਕੋਣ ∠BAC ਦਾ ਸਮਦੋਭਾਜਕ ਹੈ ।
ਅਰਥਾਤ, ∠1 = ∠2
ਰਚਨਾ : C ਵਿੱਚ CE || DA ਖਿੱਚੋ ਜੋ BA ਨੂੰ E ਤੇ ਮਿਲੇ ।

ਸਬੂਤ : △BCE ਵਿੱਚ,
AD || CE …(ਚਨਾ)
ਸਮਾਨੁਪਾਤ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ,

△ACE ਵਿੱਚ,
AE = AC
⇒ ∠3 = ∠4 … (ਬਰਾਬਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
ਕਿਉਂਕਿ CE || DA ਅਤੇ AC ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
∠2 = ∠4 ..(ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
ਨਾਲ ਹੀ CE || DA ਅਤੇ BAE ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
∠1 = ∠3 …(ਸੰਗਤ ਕੋਣ)
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ :
∠3 = ∠4
⇒ ∠4 = ∠1
∠3 = ∠1
ਪਰ ∠4 = ∠2
⇒ ∠1 = ∠2.
AD, ∠BAC ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਨਾਜ਼ਿਮਾ ਇੱਕ ਨਦੀ ਦੇ ਧਾਰਾ ਵਿੱਚ ਮੱਛੀਆਂ ਪਕੜ ਰਹੀ ਹੈ । ਉਸ ਦੀ ਮੱਛੀਆਂ ਫੜਣ ਵਾਲੀ ਛੜ ਦਾ ਸਿਰਾ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤਾ ਤੋਂ 1.8 mਉੱਪਰ ਹੈ ਅਤੇ ਡੋਰੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਤੇ ਲੱਗਿਆ ਕੁੰਡਾ, ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ ਉਸਦੀ ਨਾਜ਼ਿਮਾ ਤੋਂ ਦੂਰੀ 3.6 m ਹੈ ਅਤੇ ਛੜ ਦੇ ਸਿਰੇ ਦੇ ਠੀਕ ਹੇਠਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸੜਾ’ ਤੇ ਸਥਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਉਸਦੀ ਦੂਰੀ | 2.4 m ਹੈ । ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਉਸਦੀ ਡੋਰੀ (ਉਸ ਦੀ ਛੜ ਦੇ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਕੁੰਡੇ ਤੱਕ) ਤਣੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਉਸਨੇ ਕਿੰਨੀ ਡੋਰੀ ਬਾਹਰ ਕੱਢੀ ਹੋਈ ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ਜੇਕਰ ਉਹੀ ਡੋਰੀ ਨੂੰ 5 | cms ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਅੰਦਰ ਖਿੱਚੇ ਤਾਂ 12 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਬਾਦ ਨਜ਼ਿਮਾ ਦੀ ਕੁੰਡੇ ਤੋਂ ਖਿਤਿਜ਼ੀ ਦੀ ਦੁਰੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ ।

ਹੱਲ:
ਸਮਕੋਣ ABC ਵਿੱਚ,
AB = 1.8 m,
BC = 2.4 m, ∠B = 90°
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ,
AC² = AB² + BC²
AC² = (1.8)² + (2.4)²
AC² = 3.24 + 5.76 = 9
AC² = (3)²
AC = 3 m
ਹੁਣ ਨਾਜ਼ਿਮਾ ਡੋਰੀ ਨੂੰ 5 cm/s ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਬਾਹਰ | ਖਿੱਚੇ, ਤਾਂ ਡੋਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
= 5 × 12 m = 60 cm
= 0.6 m : 12 ਸੈਕਿੰਡ ਵਿੱਚ
ਮੰਨ ਲਉ, 12 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਦ ਕਾਂਟੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ D ਹੈ ।
∴ AD = AC – (12 ਸੈਕਿੰਡ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ)
= (3 – 0.6) m = 2.4 m
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ △ABD ਵਿੱਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ
AD² = AB² + BD²
(2.4)² = (1.8)² + BD²
BD² = 5.76 – 3.24
BD² = 2.52 m
BD = 1.587 m
∴ ਨਾਜ਼ਿਮਾ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
= BD + 1.2 m
= (1.587 + 1.2) m
= 2.787 m
= 2.79 m
ਹੁਣ, ਡੋਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਨਾਜ਼ਿਮਾ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ | ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ 3m ਅਤੇ 2.79 m

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.5

1. ਕੁੱਝ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ । ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ-ਕਿਹੜੀ | ਤਿਭੁਜ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ । ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕਰਣ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵੀ ਲਿਖੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
7 cm, 24 cm, 25 cm
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ △ABC ਵਿੱਚ,
AB = 7 cm
BC = 24 cm, AC = 25 cm
AB² + BC² = (7)² + (24)²
= 49 + 576 = 625
AC² = (25)² = 625
ਹੁਣ AB² + BC² = AC²
∴ △ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
3 cm, 8 cm, 6 cm
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ △PQR ਵਿੱਚ,
PQ = 3 cm, QR = 8 cm
PR = 6 cm
PQ² + PR² = (3)² + (6)²
= 9 + 36 = 45
QR² = (8)² = 64
ਇੱਥੇ PQ² + PR² ≠ QR²
∴ △PQR ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
50 cm, 80 cm, 100 cm
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ AMNP ਵਿੱਚ, MN = 50 cm,
NP = 80 cm, MP = 100 cm
MN² + NP² = (50)² + (80)²
= 2500 + 6400 = 8900
MP² = (100)² = 1000
ਇੱਥੇ, MP² ≠ MN² + NP²
∴ △MNP ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
13 cm, 12 cm, 5 cm.
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ △ABC ਵਿੱਚ,
AB = 13 cm, BC = 12 cm, AC = 5 cm
BC² + AC² = (12)² + (5)²
= 144 + 25 = 169
AB² = (13)² = 169
AB² = BC² + AC²
∴ △ABC ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
PQR ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ ? ਸਮਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ OR ‘ਤੇ ਬਿੰਦੁ M ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਕਿ PM ⊥ QR ਹੈ । ਦਰਸਾਉ ਕਿ PM² = QM.MR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਕੋਣ △PQR ਵਿੱਚ ਕੋਣ P ਸਮਕੋਣ ਹੈ । QR ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ M ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ PM ⊥ QR ਹੈ । | ਵੋ
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : PM² = QM × MR

ਸਬੂਤ : ∠P = 90° (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ ∠1 + ∠2 = 90° …(1)
∠M = 90°
△PMQ ਵਿਚ
∠1 + ∠3 + ∠5 = 180°
∠1 + ∠3 = 90° …(2)
[∠M = 90°]
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠3
∠2 = ∠3
△QPM ਅਤੇ △RPM ਵਿੱਚ
∠3 = ∠2 (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
∠5 = ∠6 (ਹਰੇਕ 90)
∴ △QMP ~ △PMR [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
\(\frac{ar(△QMP)}{ar(△PMR)}\) = \(\frac{\mathrm{PM}^{2}}{\mathrm{MR}^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ]

PM² = OM.RM

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ABD ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਇਸਦਾ ਕੋਣ A ਸਮਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ AC ⊥ BD ਹੈ ।ਦਿਖਾਉ ਕਿ

(i) AB² = BC.BD
(ii) AC² = BC.DC
(iii) AD² = BD.CD.
ਹੱਲ:
△DAB ਅਤੇ △DCA ਵਿੱਚ,
∠D = ∠D (ਸਾਂਝਾ)
∠A = ∠C (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △DAB ~ △DCA [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
△DAB ਅਤੇ △ACB ਵਿੱਚ, …(1)
∠B = ∠B (ਸਾਂਝਾ)
∠A =∠C (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △DAB ~ △ACB …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
△DAB ~ △ACB ~ △DCA.

(i) △ACB ~ △DAB (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
∴ \(\frac{ar(△ACB)}{ar(△DAB)}\) = \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਆਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]

AB² = BC × BD.

(ii) △ACB ~ △DCA (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
\(\frac{ar(△ACB)}{ar(△DCA)}\) = \(\frac{A C^{2}}{D C^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ | ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]

AC² = BC × DC

(iii) △DAB ~ △DCA (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
\(\frac{ar(△DAB)}{ar(△DCA)}\) = \(\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ABC ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਕੋਣ ? | ਸਮਕੋਣ ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ AB² = 2AC² ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ C ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : AB² = AC²

ਸਬੂਤ : △ACB ਵਿੱਚ, ∠C = 90°
AC = BC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
AB² = AC² + BC²
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]
= AC² + AC² [BC = AC]
ਇਸ ਲਈ AB² = 2AC²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ABC ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ | AC = BC ਹੈ । ਜੇਕਰ AB² = 2AC² ਹੈ ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AC = BC ਹੈ ।
AB² = 2AC²
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : △ABC ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ।

ਸਬੂਤ : AB² = 2AC² ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
AB² = AC² + AC²
AB² = AC² + BC² [AC = BC]
∴ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਉਲਟ ਤੋਂ △ABC ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ 2a ਹੈ । ਇਸਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਖਰ ਲੰਬ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
△ABC ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਭੁਜਾ 2a ਹੈ ।
AD ⊥ BC
AB = AC= BC = 2a
△ADB ≅ △ADC [RHS ਸਰਬੰਰਾਮਮ ਤੋਂ]
∴ BD = DC = a

ਸਮਕੋਣ △ADB ਤੋਂ,
AB² = AD² + BD²
(2a)² = AD² + (a)²
4a² – a² = AD²
AD² = 3a²
AD = \(\sqrt {3}\) a.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਸਦੇ ਵਿਕਰਣਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ : ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਇਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ O ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ !
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
AB² + BC² + CD² + AD = AC² + BD²
ਸਬੂਤ : ∵ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਆਪਸ ਵਿਚ ਸਮਕੋਣ ਉੱਤੇ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।

∴ AO = CO, BO = DO
∴ O ਉੱਤੇ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੈ।
△AOB ਵਿੱਚ, ∠AOB = 90°
∴ AB² = AO² + BO² …(1)
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਯ ਤੋਂ]
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, BC² = CO² + B0² ….(2)
CD² = CO² + DO² …(3)
ਅਤੇ DA² = DO² + AO² …(4)
(1), (2), (3) ਅਤੇ (4) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ
AB² + BC² + CD² + DA²
= 2AO² + 2CO² + 2BO² + 2DO²
= 4AO² + 4BO²
[∵ AO = CO ਅਤੇ BO = DO]
= (2AO)² + (2BO)² = AC² + BD².

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, △ABC ਦੇ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ 0 ਹੈ ਅਤੇ AD ⊥ BC, OE ⊥ AC ਅਤੇ OF ⊥ AB ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ
(i) OA² + OB² + OC²– OD² – OE² – OF²
= AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE²
= AE² + CD² + BF².

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਜਿਸ ਵਿਚ
OD ⊥ BC, OE ⊥ AC ਅਤੇ OF ⊥ AB ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
(i) AF² + BD² + CE²
= OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²

(ii) AF² + BD² + CE²
= AE² + CD² + BF².
ਰਚਨਾ : OB, OC ਅਤੇ OA ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ
ਸਬੂਤ (i) ਸਮਕੋਣ △AFO ਵਿੱਚ,
OA² = OF² + AF² [ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]
ਜਾਂ AF² = OA² – OF² ….(1)
ਸਮਕੋਣ △BDO ਵਿੱਚ,
OB² = BD² + OD²
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਤੋਂ]
⇒ BD² = OB² – OD² …(2)
ਸਮਕੋਣ △CEO ਵਿੱਚ,
OC² = CE² + OE² [ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ।]
⇒ CE² = OC² – OE² …(3)
∴ AF² + BD² + CE² = OA² – OF² + OB² – OD² + OC² – OE²
[(1), (2), ਅਤੇ (3) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ]
= OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²
ਜੋਕਿ (1) ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ ।
ਦੁਬਾਰਾ AF² + BD² + CE²
= (OA² – OE²) + (OC² – OD²) + (OB² – OF²)
= AE² + CD² + BE²
: AE² = AO² – OE²
CD² = OC² – OD²
BF² = OB² – OF²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
10 m ਲੰਬੀ ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਇਕ ਕੰਧ ਨਾਲ ਲਗਾਉਣ ‘ਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲੋਂ 8 m ਦੀ ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਖਿੜਕੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ । ਕੰਧ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਖਿੜਕੀ ਦੀ ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਉਚਾਈ (AB) = 8 m

ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (AC) = 10 m
ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਅਤੇ ਕੰਧ ਦੇ ਅਧਾਰ ਵਿਚਲੀ ਦੂਰੀ (BC) = ?
△ABC ਵਿੱਚ,
AB² + BC² = AC² [ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਤੋਂ]
(8)² + (BC)² = (10)²
64 + BC² = 100
BC² = 100 – 64
BC = \(\sqrt {36}\)
BC = 6 m.
∴ ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਅਤੇ ਕੰਧ ਦੇ ਅਧਾਰ ਵਿਚਲੀ | ਦੂਰੀ = 6 m.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
18 m ਉੱਚੇ ਇਕ ਸਿੱਧੇ ਖੜੇ ਖੰਭੇ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਿਰੇ | ਨਾਲ ਤਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰਾ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਤਾਰ ਦਾ | ਦੂਸਰਾ ਸਿਰਾ ਇਕ ਕਿੱਲੇ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਖੰਬੇ ਦੇ | ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਕਿੱਲੇ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਗੱਡਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਤਾਰ ਤਣੀ ਰਹੇ ਜਦੋਂ ਕਿ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 24 m ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉਚਾਈ AB = 18 m
ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ Ac = 24 m

C, ਤੇ ਕਿੱਲਾ ਗੱਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਖੰਬੇ ਤੋਂ ਦੂਰੀ BC = ਹੈ ।
ਸਮਕੋਣ △ABC,
AB² + BC² = AC²
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ।]
(18)² + (BC)² = (24)²
324 + (BC)² = 576
BC² = 576 – 324
BC = \(\sqrt {252}\) = 6\(\sqrt {7}\)
BC = 6\(\sqrt {7}\) m

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਇੱਕ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਇੱਕ ਹਵਾਈ ਅੱਡੇ ਤੋਂ ਉੱਤਰ ਵੱਲ 1000 km/h ਦੀ ਚਾਲ ਨਾਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ । ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਉਸੇ ਹਵਾਈ ਅੱਡੇ ਤੋਂ ਪੱਛਮ ਵੱਲ 1200 km/h ਦੀ ਚਾਲ ਨਾਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ । 1\(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਬਾਦ ਦੋਵਾਂ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਚਾਲ = 1000 km/h

ਪਹਿਲੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਤਰ ਵੱਲ 1\(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 1000 × \(\frac{3}{2}\)
OA = 1500 km
ਦੂਸਰੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ ਦੀ ਚਾਲ = 1200 km/h
ਦੂਸਰੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ ਦੁਆਰਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
=1200 × \(\frac{3}{2}\) km
OB = 1800 km
ਸਮਕੋਣ △AOB ਵਿੱਚ, .
AB² = AO² + OB²
AB² = (1500)² + (1800)²
AB = \(\sqrt {2250000+3240000}\)
= \(\sqrt {5490000}\)
AB = 300\(\sqrt {61}\) km
∴ ਦੋਹਾਂ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਵਿਚਲੀ ਦੂਰੀ
= 300\(\sqrt {61}\) km

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਦੋ ਖੰਭੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਉੱਚਾਈਆਂ ਭੂਮੀ ‘ਤੇ 6 m ਅਤੇ 11 m ਹਨ ਅਤੇ ਸਮਤਲ ਭੂਮੀ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ । ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 12m ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਖੰਭੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (AB) = 11m
ਖੰਭੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (CD) = 6 m

ਖੰਭੇ ਦੇ ਅਧਾਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ = 12 m
C ਤੋਂ CE ⊥ AB ਖਿੱਚੋ
BE = DC = 6m
AE = AB – BE
= (11 – 6) m = 5 m
ਸਮਕੋਣ △AEC ਵਿੱਚ,
AC² = AE² + EC²
AC = \(\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}\)
= \(\sqrt {25+144}\)
= \(\sqrt {169}\) = 13.
∴ ਖੰਭੇ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਿਰਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ = 13m.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ C ਸਮਕੋਣ ਹੈ, ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ CA ਅਤੇ CB ‘ਤੇ ਕੁਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ D ਅਤੇ L ਸਥਿਤ ਹਨ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
AE² + BD² = AB² + DE²
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ C ਸਮਕੋਣ ਹੈ ਭੁਜਾ CA ਅਤੇ CB ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ D ਅਤੇ E ਸਥਿਤ ਹਨ ।
∴ CD = AD = \(\frac{1}{2}\)AC
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)BC
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
AE² + BD² = AB² + DE²
ਸਬੂਤ : ਸਮਕੋਣ △BCA ਵਿੱਚ,
AB² = BC² + CA² …..(1) [
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]

ਸਮਕੋਣ △ECD ਵਿੱਚ,
DE² = EC² + DC² …(2)
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ]
ਸਮਕੋਣ △ACE ਵਿੱਚ
AE² = AC² + CE² …(3)
ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ
BD² = BC² + CD² …(4)
(3) ਅਤੇ (4) ਨੂੰ ਜੋੜਣ ਤੇ,
AE² + BD² = AC² + CE² + BC² + CD²
= [AC² + CB²] + [CE² + DC²]
= AB² + DE²
[(3) ਅਤੇ (4) ਤੋਂ]
ਇਸ ਲਈ AE² + BD² = AB² + DE².

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
ਕਿਸੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ A ਤੋਂ BC ‘ਤੇ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ BC ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ਕਿ DB = 3 CD ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ 2AB² = 2AC² + BC² ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ, AD ⊥ BC
DB = 3CD ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
2AB² = 2AC² + BC².
ਸਬੂਤ : ਸਮਕੋਣ ਭੁਜ ADB ਅਤੇ ADC ਵਿੱਚ
AB² = AD² + BD² ;
AC² = AD² + DC²
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਤੋਂ ]
∴ AB² – AC² = BD² – DC²
= 9CD² – CD²;
[∵ BD = 3CD]
= 8CD² = 8\(\left(\frac{\mathrm{BC}}{4}\right)^{2}\)
[∵ BC = DB + CD
=3CD + CD
= 4CD
∴ CD = \(\frac{1}{2}\)BC]
∴ AB² – AC² = \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2}\)
⇒ 2(AB² – AC²) = BC²
⇒ 2AB² – 2AC² = BC²
∴ AB² = 2AC² + BC².

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਕਿਸੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ BD = \(\frac{1}{3}\)BC ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੇ ਕਿ 9AD² = 7AB² ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ‘ਤੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ BD = \(\frac{1}{3}\)BC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : 9AD² = 7AB².

ਰਚਨਾ : AM ⊥ BC ਖਿੱਚੋ
ਸਬੂਤ : △AMB ≅ △AMC [R.H.S. ਨਿਯਮ ਨਾਲ AM = AM ਅਤੇ AB = AC]
∴ BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC
ਦੁਬਾਰਾ BD = \(\frac{1}{3}\)BC
ਅਤੇ DC = \(\frac{2}{3}\)BC
(∵ BC, D ਤੇ ਤਿੰਨ ਭਾਗਾਂ ਵਿਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ॥)
ਹੁਣ △ADC ਵਿੱਚ, ∠C ਨਿਊਣ ਕੋਣ ਹੈ
∴ AD² = AC² + DC² – 2DC × MC

∴ AD² = AB²
⇒ 9AD² = 7AB².

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਕਿਸੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ, ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸਦੀ ਇਕ ਭੁਜਾ ਦੇ ਵਰਗ ਦਾ ਤਿਗੁਣਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ) ਉਸ ਦੇ ਇਕ ਸਿਖਰ ਲੰਬ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB = BC = AC

AD ⊥ DC
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : 3AB² = 4AD²
ਸਬੂਤ : △ABC ਸੈਂ,
ਮੰਨ ਲਉ : AB = BC = AC = 2a
AD ⊥ BC
∴ BD = DC = \(\frac{1}{2}\)BC = a
ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਵਿਚ,
AB² = AD² + BD²
(2a)² = AD² + (a)²
4a² = AD² + a²
4a² – a² = AD²
AD² = 3a²
= 3\(\left[\frac{\mathrm{AB}}{2}\right]^{2}\)
[AB = 2a
a = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}\)]
AD² = 3\(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{4}\)
3AB² = 4AD².

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 17.
ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣ ਕੇ ਉਸਦਾ ਕਾਰਣ ਦੱਸੋ : △ABC ਵਿੱਚ AB = 6\(\sqrt {3}\) cm, AC = 12 cm ਅਤੇ BC = 6 cm ਹੈ । ਕੋਣ B ਹੈ :
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
ਹੱਲ:
AC = 12 cm
AB= 6\(\sqrt {3}\) cm
BC = 6 cm
AC² = (12)² = 144
AB² + BC² = (6\(\sqrt {3}\))² + (6)²
= 108 + 36
AB² + BC² = 144
∴ AB² + BC² = AC²
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ,
△ABC ਵਿੱਚ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
∴ ∠B = 90°
∴ ਵਿਕਲਪ (C) ਸਹੀ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਮੰਨ ਲਉ △ABC ~ △DEF ਹੈ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਕੁਮਵਾਰ 64 cm² ਅਤੇ 121 cm² ਜੇਕਰ EF = 15.4 cm ਹੋਵੇ ਤਾਂ BC ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
△ABC ~ △DEF, △ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 64 cm² ਅਤੇ △DEF ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 121 cm² ਅਤੇ EF = 15.4 cm ਹੈ ।

△ABC ~ △DEF
∴ \(\frac{ar(△ABC)}{ar(△DEF}\) = \(\left(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}\right)\) = \(\left(\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DF}^{2}}\right)\) = \(\left(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\right)\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]

BC = 8 × 14
BC = 11.2 cm.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਇੱਕ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB || DC ਹੈ, ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੁ 0 ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ । ਜੇਕਰ AB = 2 CD ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ AOB ਅਤੇ COD ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ABCD ਇਕ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB || DC ਹੈ, ਦੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿੱਚ O ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ਅਤੇ AB = 2 CD ਹੈ ।

△AOB ਅਤੇ △COD ਵਿੱਚ,
∠1 = ∠2 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∠3 = ∠4 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∠5 = ∠6 (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∴ △AOB ~ △COD
∴ \(\frac{ar(△AOB)}{ar(△COD}\) = \(\left(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{CD}^{2}}\right)\)

[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ]
= \(\left(\frac{2 \mathrm{CD}}{\mathrm{CD}}\right)^{2}\) (∵ AB = 2CD)
\(\frac{ar(△AOB)}{ar(△COD}\) = \(\frac{4 \mathrm{CD}^{2}}{\mathrm{CD}^{2}}\) = \(\frac{4}{1}\)
∵ ਲੋੜੀਂਦਾ ar △AOB ਅਤੇ ar △COD ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ = 4 : 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ BC ਉੱਤੇ ਦੋ ਤਿਭੁਜ ABC ਅਤੇ DBC ਬਣੇ ਹੋਏ ਹਨ । ਜੇਕਰ AD, BC ਨੂੰ O’ ਤੇ ਕੱਟੇ ਤਾਂ ਦਰਸਾਉ ਕਿ
\(\frac{ar(△ABC)}{ar(△DBC}\) = \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\) ਹੈ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △DBC ਇਕ ਹੀ ਆਧਾਰ BC ਉੱਤੇ ਬਣੇ ਹੋਏ ਹਨ ਅਤੇ AD, BC ਨੂੰ O ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ !

ਸਿੱਧ ਕਰੋ : \(\frac{ar(△ABC)}{ar(△DBC}\) = \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\)
ਰਚਨਾ : AL ⊥ BC, DM ⊥ BC ਖਿੱਚੋ ।
ਸਬੂਤ : △ALO ਅਤੇ △DMO ਵਿੱਚ,
∠1 = ∠2 (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁਖ ਕੋਣ)
∠L = ∠M (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ALO ~ △DMO [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
∴ \(\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DM}}\) = \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\) …(1)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜੇਕਰ ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਉਹ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਰਬੰਗਸਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ △ABC ਅਤੇ △DEF ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : △ABC ~ △DEF

ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ △ABC ~ △DEF,
∴ \(\frac{ar(△ABC)}{ar(△DEF}\) = \(\left(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\right)\)
⇒ \(\left(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\right)\) = 1
[∵ ar (△ABC) = ar (△DEF)
⇒ (BC)² = (EF)²
⇒ BC = EF
ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ △ABC ~ △DEF, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਮਕੋਣੀ ਹਨ ।
ਅਤੇ ∠B = ∠E
ਅਤੇ ∠C = ∠F
ਹੁਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ △ABC ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,
∠B = ∠E, ∠C = ∠F
ਅਤੇ BC = EF
∴ △ABC ≅ △DEF (ASA ਸਰਬੰਗਸਮ ਪਰਿਮੇਯ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ CA ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਕੁਮਵਾਰ D, E ਅਤੇ F ਹਨ △DEF ਅਤੇ △ABC ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ △ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ CA ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਕੁਮਵਾਰ D, E ਅਤੇ F ਹਨ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ਖੇਤਰਫਲ (△DEF) : ਖੇਤਰਫਲ (△ABC) ਪਤਾ ਕਰਨਾ ।
ਸਬੂਤ : △ABC ਵਿਚ,
F, AB ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ । …(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
E, AC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ । …(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
ਇਸ ਲਈ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ,
FE || BC ਅਤੇ FE = \(\frac{1}{2}\)BC
⇒ FE || BD
ਅਤੇ FE = BD [∵ BD = \(\frac{1}{2}\)BC]
∴ BDEF ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
(∵ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਹਨ)
△FBD ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,
FB = DE
…(|| gm BDEF ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ)
FD = FD (ਇਕੋ ਜਿਹੇ।
…(|| gm BDEF ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ)
BD = FE
∴ △FBD ≅ △DEF
… (SSS ਸਰਬੰਗਸਮ ਪ੍ਰਯੋਗ)
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ।
△AFE ≅ △DEF
ਅਤੇ △EDC ≅ △DEF
ਜੇਕਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਰਬੰਗਸਮ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
∴ ar (△FBD) = ar (△DEF) …(1)
ar (△AFE) = ar (△DEF) . …(2)
ar (△EDC) = ar (△DEF) …(3)
ਹੁਣ ar △(ABC) = ar (△FBD) + ar (△DEF) + ar (△AFE) + ar (△EDC)
= ar (△DEF) + ar (△DEF) + ar (△DEF) + ar (△DEF)
[(1), (2) ਅਤੇ (3) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ]
= 4 ar (△DEF)
⇒ ar (△DEF) = \(\frac{1}{4}\)ar (△ABC)
⇒ \(\frac{ar(△DEF)}{ar(△ABC}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ ar (△DEF) : ar(△ABC) = 1 : 4.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਤਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਵਰਗ ਹੁੰਦਾ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ~ △DEF.
AX ਅਤੇ DY ਮਵਾਰ ਭੁਜਾ BC ਅਤੇ EF ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∴ \(\frac{ar(△ABC)}{ar(△DEF}\) = \(\left(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}\right)\) = \(\left(\frac{A X^{2}}{D Y^{2}}\right)\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕ ਵਰਗ ਦੀ ਕਿਸੇ ਭੁਜਾ ਉੱਤੇ ਬਣਾਏ ਗਏ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਉਸੇ ਵਰਗ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਕਰਣ ‘ਤੇ ਬਣੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ABCD ਇਕ ਵਰਗ ਹੈ।
ਸਮਭੁਜੀ △ABC ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ AB ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਭੁਜੀ △ACF ਵਿਕਰਣ AC ਉੱਤੇ ਬਣੀ ਹੈ ।

ਸਿਪ ਕਰਨਾ ਹ : \(\frac{ar(△ABC)}{ar(△ACF}\) = \(\frac{1}{2}\)
ਸਬੂਤ : ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ
AB² + BC² = AC
[ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ]
⇒ AB² + AB² = AC²
[∵ AB = BC, ਇਕ ਹੀ ਵਰਗ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ]
⇒ 2AB² = AC² ….(1)
ਹੁਣ ਹਰੇਕ △ABE ਅਤੇ △ACE ਸਮਭੁਜੀ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਮਕੋਣੀ ਹਨ । ਇਸ ਲਈ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ।
ਭਾਵ △ABE ~ △ACF.
ਇੱਥੇ ਪਹਿਲੀ 4 ਦੀ ਕੋਈ ਭੁਜਾ ਦੂਸਰੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਕਿਸੇ ਭੁਜਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ ।
∴ \(\frac{ar(△ABE)}{ar(△ACF}\) = \(\left(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}\right)\).
[∵ ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਤਿਭੁਜਾ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ॥]
= \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{2 \mathrm{AB}^{2}}\) = \(\frac{1}{2}\). [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤ]
ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦਾ ਸਪਸ਼ਟੀਕਰਣ ਵੀ ਦਿਉ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ABC ਅਤੇ BDE ਦੋ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ ਕਿ ॥ ਭੁਜਾ BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ । ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ABC ਅਤੇ BDE ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ :
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4.
ਹੱਲ:
△ABC ਅਤੇ △BDE ਦੋ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ ਕਿ D ਭੁਜਾ BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ BD = DC = \(\frac{1}{2}\) BC,
ਮੰਨ ਲਉ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਭੁਜਾ 2a ਹੈ ।
∴ △ABC ~ △BDE
∴ \(\frac{ar(△ABC)}{ar(△BDE}\) = \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{BD}^{2}}\)
= \(\frac{(2 a)^{2}}{(a)^{2}}\) = \(\frac{4 a^{2}}{a^{2}}\)
= \(\frac{4}{1}\)
∴ (C) ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 4 : 9 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹਨ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ :
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
ਹੱਲ:

△ABC ~ △DEF (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}\) = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\) = \(\frac{4}{9}\)
∴ \(\frac{ar(△ABC)}{ar(△DEF}\) = \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}\)
[ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
\(\frac{ar(△ABC)}{ar(△DEF}\) = \(\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\) = \(\frac{16}{81}\)
∴ (D) ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ ਹੈ ।