PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੱਸੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿਚੋਂ ਕਿਹੜੇ-ਕਿਹੜੇ ਜੋੜੇ ਸਮਰੂਪ ਹਨ । ਉਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨੂੰ ਲਿਖੋ ਜਿਸ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੁਸੀਂ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕੇਤਨ ਰੂਪ ਵਿਚ ਵੀ ਦਰਸਾਓ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 25
ਹੱਲ:
(i) △ABC ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ
∠A = ∠P (ਹਰੇਕ 60°)
∠B = ∠Q (ਹਰੇਕ 800)
∠C = ∠R (ਹਰੇਕ 40°)
∴ △ABC ~ △PQR [AAA ਸਮਰੂਪਤਾ)

(ii) △ABC ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ
\(\frac{AB}{RQ}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) …..(1)
\(\frac{AC}{PQ}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\) …(2)
\(\frac{AB}{RQ}\) = \(\frac{2.5}{5}\) = \(\frac{1}{2}\) …(3)
(1), (2) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ,
\(\frac{BC}{PR}\) = \(\frac{AC}{PQ}\) = \(\frac{BC}{PR}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ △ABC ~ △QRP
[SSS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ

(iii) △LMP ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 2
∴ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

(iv) △MNL ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ,
\(\frac{ML}{QR}\) = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
∠M = ∠Q (ਹਰੇਕ 70°)
\(\frac{MN}{PQ}\) = \(\frac{2.5}{5}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ △MNL ~ △QPR
[SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ ]

(v) △ABC ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 3
∴ △ABC ਅਤੇ △DEF ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

(vi) △DEE ਵਿੱਚ,
∠D = 70°, ∠E = 80°
∠D + ∠E + ∠F = 180°
(ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ)
70° + 80° + ∠F = 180°
∠F = 180° – 70° – 80°
∠F = 30°
△PQR ਵਿੱਚ,
∠Q = 80°, ∠R = 30°
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
(ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ)
∠P + 80° + 30° = 180°
∠P = 180° – 80° – 30°
∠P = 70°
△DEF ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ,
∠D = ∠P (70° ਹਰੇਕ)
∠E = ∠Q (80° ਹਰੇਕ)
∠F = ∠R (30° ਹੇਰਕ)
∴ △DEF ~ △PQR (AAA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ △ODC ~ △OBA, ∠BOC= 125° ਅਤੇ ∠CDO = 70° ਹੈ | ∠DOC, ∠DCO ਅਤੇ ∠OAB ਪਤਾ ਕਰੋ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 4
ਹੱਲ:
∠BOC = 125°
∠CDO = 70°
DOC ਇਕ ਸਰਲ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠DOC + /COB = 180°
∠DOC + 125° = 180°
∠DOC = 180° – 125
∠DOC = 55°
∠DOC = ∠AOB = 55°
[ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣੀ]
∴ △ODC ~ △OBA
∠D = ∠B = 70°
△DOC ਨੇਂ, ∠D + ∠O + ∠C = 180°
70° + 55° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 70° – 55°
∠C = 55°
∠C = ∠A = 55°
∠DOC = 55°
∴ ∠DCO = 55°
∠OAB = 55°

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD, ਜਿਸ ਵਿਚ AB || DC ਹੈ, ਦੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿੱਚ Q’ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ । ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦਿਖਾਉ ਕਿ \(\frac{OA}{OC}\) =\(\frac{OB}{OD}\) ਹੈ ।
ਹੱਲ:
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 5
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਜਿਸ ਵਿਚ AB DC ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿਚ O ‘ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ :
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾਂ ਹੈ : \(\frac{OA}{OC}\) = \(\frac{OB}{OD}\)
ਸਬੂਤ : AB || DC
△DOC ਅਤੇ △BOA ਵਿੱਚ
∠1 = ∠2 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ )
∠5 = ∠6 (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∠3 = ∠4 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∴ △DOC ~ △BOA
[AAA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੋ]
∴ \(\frac{DO}{BO}\) = \(\frac{OC}{OA}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ]
⇒ \(\frac{OA}{OC}\) = \(\frac{BO}{DO}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, \(\frac{QR}{QS}\) = \(\frac{QT}{PR}\) ਅਤੇ ∠1 = ∠2 ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ △PQS ~ △TQR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △TQR ਵਿੱਚ
\(\frac{QR}{QS}\) = \(\frac{QT}{PR}\) ਅਤੇ
∠1 = ∠2
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 6
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △PQS – △TOR
ਸਬੂਤ : △PQR ਵਿਚ,
∠1 = ∠2 (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ PR = PQ [ਬਰਾਬਰ ਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 7
∠1 = ∠1 (ਸਾਂਝਾ)
∴ △PQS ~ △TQR [SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੋਟੀ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
△PQR ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PR ਅਤੇ QR ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ | ਬਿੰਦ S ਅਤੇ T ਇਸ ਤਰਾਂ ਸਥਿਤ ਹਨ ਕਿ ∠P = ∠RTS ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ △RPQ ~ △RTS ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △POR ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PR ਅਤੇ QR ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ S ਅਤੇ T ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹਨ ∠P = ∠RTS ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 8
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △RPQ ~ △RTS
ਸਬੂਤ : △RPQ ਅਤੇ △RTS ਵਿਚ,
∠RPQ = ∠RTS (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∠R = ∠R
∴ △RPQ ~ △RTS [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ △ABE ≅ △ACD ਹੈ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ △ADE ~ △ABC ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 9
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △ABE ≅ △ACD ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ADE ~ △ABC
ਸਬੂਤ : △ABE ≅ △ACD (ਦਿੱਤਾ ਹੈ)
AB = AC (ਸਰਬੰਗਸਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ) ਅਤੇ AE = AD (ਸਰਬੰਗਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ)
\(\frac{AB}{AC}\) = 1 …(1)
\(\frac{AD}{AE}\) = 1 …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{AD}{AE}\)
△ADE ਅਤੇ △ABC ਵਿਚ, \(\frac{AD}{AE}\) = \(\frac{AB}{AC}\)
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ)
∴ △ADE ~ △ABC [SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, △ABC ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਲੰਬ AD ਅਤੇ CE ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ Pਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ |ਦਿਖਾਉ ਕਿ :
(i) △AEP ~ △CDP
(ii) △ABD ~ △CBE
(iii) △AEP ~ △ADB
(iv) △PDC – △BEC.
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ AD ⊥ BC
ਅਤੇ CE ⊥ AB,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 10
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) △AEP ~ △CDP
(ii) △ABD ~ △CBE
(iii) △AEP ~ △ADB
(iv) △PDC ~ △BEC
ਸਬੂਤ : (i) △AEP ਅਤੇ △CDP ਵਿੱਚ,
∠E = ∠D (ਹਰੇਕ 90°)
∠APE = ∠CPD (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∴ △AEP ~ △CDP [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

(ii) △ABD ਅਤੇ △CBE ਵਿੱਚ,
∠D = ∠E (ਹਰੇਕ 90°)
∠B = ∠B (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∴ △ABD ~ △CBE [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

(iii) △AEP ਅਤੇ △ADB ਵਿੱਚ,
∠E = ∠D (ਹਰੇਕ 90°)
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∴ △AEP ~ △ADB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

(vi) △PDC ਅਤੇ △BEC ਵਿੱਚ,
∠C = ∠C (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∠D = ∠E (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △PDC ~ △BEC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ AD ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ BE ਭੁਜਾ CD ਨੂੰ F’ ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ ਮੈ △ABE ~ △CFB ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ AD ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ BE ਅਤੇ CD ਨੂੰ F ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 11
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABE ~ △CFB
ਸਬੂਤ : △ABE ਅਤੇ △CFB ਵਿੱਚ
∠A = ∠C (|| gm ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∠ABE = ∠CFB (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∴ △ABE ~ △CFB (AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ABC ਅਤੇ AMP ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਣ B ਅਤੇ Mਸਮਕੋਣ ਹਨ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
(i) △ABC ~ △AMP
(ii) \(\frac{CA}{PA}\) = \(\frac{BC}{MP}\).
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 12
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △AMP ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹਨ । ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਣ B ਅਤੇ M ਸਮਕੋਣ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) △ABC ~ △AMP ਵਿਚ,
(ii) \(\frac{CA}{PA}\) = \(\frac{BC}{MP}\)
ਸਬੂਤ : △ABC ਅਤੇ △AMP ਵਿੱਚ,
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∠B = ∠M (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABC ~ △AMP (AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)
∴ \(\frac{AC}{AP}\) = \(\frac{BC}{MP}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ |]
⇒ \(\frac{CA}{PA}\) = \(\frac{BC}{MP}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
CD ਅਤੇ GH ਕ੍ਰਮਵਾਰ ∠ACB ਅਤੇ ∠EGF ਦੇ | ਅਜਿਹੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹਨ ਕਿ ਬਿੰਦੂ D ਅਤੇ ਸ਼ ਕੁਮਵਾਰ △ABC ਅਤੇ △FEG ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB ਅਤੇ FE ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ । ਜੇਕਰ △ABC ~ △FEG ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ
(i) \(\frac{CD}{GH}\) = \(\frac{AC}{FG}\)
(ii) △DCB ~ △HGE
(iii) △DCA ~ △HGF
ਹੱਲ:
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 13
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △EFG ਵਿੱਚ, CD ਅਤੇ GH ਮਵਾਰ ∠ACB ਅਤੇ ∠EGF ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹਨ ਅਰਥਾਤ ∠1 = ∠2 ਅਤੇ ∠3 = ∠4 ਹੈ ।
△ABC ~ △FEG
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) \(\frac{CD}{GH}\) = \(\frac{AC}{FG}\)
(ii) △DCB ~ △HGE
(iii) △DCA ~ △HGE
ਸਬੂਤ : (i) △ABC ~ △FEG (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∠C = ∠G
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]
\(\frac{1}{2}\)C = \(\frac{1}{2}\)G
∠1 = ∠3 ਜਾਂ ∠2 = ∠4
ਹੁਣ, △ACD ਅਤੇ △FGH ਵਿੱਚ
∠A = ∠F
∠2 = ∠4 (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਹੈ।)
∴ △ACD ~ △FGH
[∵ AA ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੇ]
∴ \(\frac{CD}{GH}\) = \(\frac{AG}{FG}\)
[∵ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।]

(ii) ਹੁਣ, △DCB ਅਤੇ △HGE ਵਿੱਚ,
∠B = ∠E (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
∠1 = ∠3 [ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∴ △DCB ~ △HGE
[∵ AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ]

(iii) ਹੁਣ, △DCA ਅਤੇ △HGF ਵਿੱਚ,
∠A = ∠F [ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∠2 = ∠4 ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∴ △DCA ~ △HGF
[∵ AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ AB = AC ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ CB ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E, ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ਹੈ । ਜੇਕਰ AD ⊥ BC ਅਤੇ EF ⊥ AC ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ △ABD ~ △ECF ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 14
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : AB = AC ਵਾਲੇ ਇਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ △ABC ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ CB ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ਹੈ । AD ⊥ BC ਅਤੇ EF ⊥ AC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : △ABD ~ △ECF
ਸਬੂਤ : △ABC ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ । (ਦਿੱਤਾ ਹੈ) |
AB = AC
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ
∴ ∠B = ∠C (ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ)
△ABD ਅਤੇ △ECF ਵਿੱਚ
∠ABD = ∠ECF (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
∠ADB = ∠EFC (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABD ~ △ECF [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾADਕਿਸੇ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ PQR ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ, PO, OR ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ PM ਦੇ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।ਦਿਖਾਉ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 15
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ ਮਧਿਕਾ AD ਇਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ PQR ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ ਅਤੇ QR ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ PM ਦੇ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ !
\(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) = \(\frac{AD}{PM}\)
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABC ~ △PQR
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 16
ਰਚਨਾ : AD ਨੂੰ E ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ AD = DE ਅਤੇ PM ਨੂੰ N ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ PM = MN ਹੋ ਜਾਵੇ । BE, CE, QN ਅਤੇ RN ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
ਸਬੂਤ : \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) = \(\frac{AD}{PM}\) (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।) ……(1)
BD = DC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
AD = DE (ਰਚਨਾ)
ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇਕ-ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ।
∴ ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜੇ ਹੈ ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PQNR ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ BE = AC
[ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ।]
ਅਤੇ QN = PR
\(\frac{BE}{AC}\) …(i)
\(\frac{QN}{PR}\) ….(ii)
(i) ਅਤੇ (ii) ਤੋਂ,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 17
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 18
∴ △ABE ~ △PQN [ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹਨ]
∴ ∠1 = ∠2 …(4)
[ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, △ACE ~ △PRN
∠3 = ∠4 …(5)
[ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
(4) ਅਤੇ (5) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ
∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4
∠A = ∠P
ਹੁਣ △ABC ਅਤੇ △PQR ਨੇਂ,
∠A = ∠P (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
\(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ ABC ~ △PQR
[SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ ∠ADC = ∠BAC ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ CA2 = CB.CD ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ ∠ADC = ∠BAC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : CA2 = CB.CD
ਸਬੂਤ : △ABC ਅਤੇ △ADC ਵਿੱਚ,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 19
∠C = ∠C (ਸਾਂਝਾ)
∠BAC = ∠ADC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ △ABC ~ △DAC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ।]
∴ \(\frac{AC}{DC}\) = \(\frac{BC}{AC}\) [ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]
AC2 = BC. DC

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, AC ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ AD, ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ, PR, ਮੱਧਿਆ PM ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ ।ਦਰਸਾਉ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਦੋ ਤਿਭੁਜ ABC ਅਤੇ PQR ਵਿੱਚ D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ M, QR ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
ਅਤੇ \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) = \(\frac{AD}{PM}\) …(1)
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 20
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABC ~ △PQR
ਰਚਨਾ : AD ਨੂੰ E ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂਕਿ AD = DE ਹੋਵੇ
BE ਅਤੇ CE ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
PM ਨੂੰ N ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ PM = MN ਹੋਵੇ ।
QN ਅਤੇ NR ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਸਬੂਤ : ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਦੇ ਵਿਕਰਣ AE ਅਤੇ BC ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ) ਉੱਤੇ ਸਮਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ।
∴ ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਚਤੁਰਭੁਜ PQNR ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
ਕਿਉਂਕਿ ABEC ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ BE = AC …..(2)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PQNR ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ QN = PR …(3)
(2) ਨੂੰ (3) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 21
∴ △ABC ~ △PON
∴ ∠BAE = ∠QPN …(6)
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ
△AEC ~ △PNR
∴ ∠EAC = ∠NPR …(7)
(6) ਅਤੇ (7) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∠BAE + ∠EAC = ∠QPN + ∠NPR
ਹੁਣ △ABC ਅਤੇ △PQR ਸੇਂ
\(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\)
∴ △ABC ~ △QPR (SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
6 m ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਲੰਬ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖੜੇ ਖੰਭੇ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ‘ਤੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4m ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 28 m ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ । .
ਹੱਲ:
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 22
ਖੰਭੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 6 m
ਖੰਭੇ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 4 m
ਮੰਨ ਲਉ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ = Hm
ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 28 m
△ABC ਅਤੇ △PMN ਵਿੱਚ,
∠C = ∠N (ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ)
∠B = ∠M (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABC ~ △PMN [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
∴ \(\frac{AB}{PM}\) = \(\frac{BC}{MN}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ]
∴ \(\frac{6}{H}\) = \(\frac{4}{28}\) ⇒ H = \(\frac{6× 28}{4}\)
H = 6 × 7
H = 42 m
∴ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ = 42 m.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
AD ਅਤੇ PM ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ABC ਅਤੇ POR ਦੀਆਂ ਕੁਮਵਾਰ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AD}{PM}\) ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 23
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △PQR ਦੀ AD ਅਤੇ PM ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AD}{PM}\)
ਸਬੂਤ : △ABC ~ △PQR (ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
∴ \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{BC}{QR}\) = \(\frac{AC}{PR}\)
{ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ }
∠A = ∠P
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ BD = DC = \(\frac{1}{2}\)BC ..(2)
M, OR ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ QM = MR = \(\frac{1}{2}\)QR …(3)
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 24
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਚਿੱਤਰ (i) ਅਤੇ (ii) ਵਿੱਚ, DE || BC ਹੈ।
(i) ਵਿੱਚ EC ਅਤੇ (i) ਵਿੱਚ AD ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 1
ਹੱਲ:
(i) △ABC ਵਿੱਚ DE || BC …(ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ]
\(\frac{1.5}{3}\)= \(\frac{1}{EC}\)
EC = \(\frac{3}{1.5}\)
EC = \(\frac{3×10}{15}\) = 2
∴ EC = 2 cm

(ii) △ABC ਵਿੱਚ,
DE || BC … (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ]
\(\frac{AD}{7.2}\) = \(\frac{1.8}{5.4}\)
AD = \(\frac{1.8×7.2}{5.4}\)
= \(\frac{18}{10}\) × \(\frac{72}{10}\) × \(\frac{10}{54}\)
= \(\frac{24}{10}\) = 2.4
∴ AD = 2.4 cm

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਕਿਸੇ △PQR ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ ਅਤੇ PR ਉੱਤੇ ਕੁਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ E ਅਤੇ 7 ਸਥਿਤ ਹਨ । ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਦੱਸੋ ਕਿ, ਕੀ EF ||QR ਹੈ :
(i) PE = 3.9 cm, EQ=3 cm,
PF = 3.6 cm ਅਤੇ FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm,
PF = 8 cm ਅਤੇ RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm,
PE = 0.18 cm ਅਤੇ PF = 0.36 cm.
ਹੱਲ:
△PQR ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਕੁਮਵਾਰ E ਅਤੇ F ਭੁਜਾ PQ ਅਤੇ PR ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 2
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm
PF = 3.6 cm, FR = 2.4 cm
\(\frac{PE}{EQ}\) = \(\frac{3.9}{3}\) = \(\frac{39}{30}\) = \(\frac{13}{10}\) = 1.3
\(\frac{PF}{FR}\) = \(\frac{3.6}{2.4}\) = \(\frac{36}{24}\) = \(\frac{3}{2}\) = 1.5
\(\frac{PE}{EQ}\) ≠ \(\frac{PF}{FR}\)
∴ EF, QR ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ

(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm
PF = 8 cm, RF = 9 cm
\(\frac{PE}{QE}\) = \(\frac{4}{4.5}\) = \(\frac{40}{45}\) = \(\frac{8}{9}\) … (1)
\(\frac{PF}{RF}\) = \(\frac{8}{9}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ,
\(\frac{PE}{QE}\) = \(\frac{PF}{RF}\)
∴ ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਤੋਂ EF || QR.

(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm
PE = 0.18 cm, PF = 0.36 cm
EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.10 cm
ER = PR – PF = 2.56 -0.36 = 2.20 cm
ਇੱਥੇ \(\frac{PE}{EQ}\) = \(\frac{0.18}{1.10}\) = \(\frac{18}{110}\) = \(\frac{9}{55}\) … (1)
ਅਤੇ \(\frac{PF}{FR}\) = \(\frac{0.36}{2.20}\) = \(\frac{36}{220}\) = \(\frac{9}{55}\) …..(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, \(\frac{PE}{EQ}\) = \(\frac{PF}{FR}\)
∴ ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਤੋਂ
EF || QR.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਜੇਕਰ LM || CB ਅਤੇ
LN || CD ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੇ ਕਿ \(\frac{AM}{AB}\) = \(\frac{AN}{AD}\) ਹੈ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 3
ਹੱਲ:
△ABC ਵਿਚ
LM || CB (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ \(\frac{AM}{MB}\) = \(\frac{AL}{LC}\)
(ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ)
ਦੁਬਾਰਾ △ACD ਵਿੱਚ,
LN || CD (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ \(\frac{AN}{ND}\) = \(\frac{AL}{LC}\) …(2)
ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ DE || A ਅਤੇ DF || AE ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ \(\frac{BF}{FE}\) = \(\frac{BE}{EC}\) ਹੈ ॥
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 5
ਹੱਲ:
△ABC ਵਿੱਚ
DE || AC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 6
∴ \(\frac{BD}{DA}\) = \(\frac{BE}{EC}\) …(1)
ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ △ABE ਵਿੱਚ,
DF || AE (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ \(\frac{BD}{DA}\) = \(\frac{BF}{FE}\) …(2)
ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ,
\(\frac{BE}{EC}\) = \(\frac{BF}{FE}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ DE || OQ ਅਤੇ DF | OR ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ EF ||QR ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 7
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △PQR ਵਿੱਚ, DE||OQ ਅਤੇ
DF || OR.
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : EF|QR.
ਸਬੂਤ : △PQO ਵਿਚ,
ED || QO (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 8
∴ \(\frac{PD}{DO}\) = \(\frac{PF}{EQ}\) …(1)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ।]
ਦੁਬਾਰਾ △POR ਵਿੱਚ,
DF || OR (ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
∴ \(\frac{PD}{DO}\) = \(\frac{PF}{FR}\) …(2)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ ]
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ,
\(\frac{PE}{EQ}\) = \(\frac{PF}{FR}\)
△PQR ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ,
EF || QR.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਕੁਮਵਾਰ OP, OQ ਅਤੇ OR ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਬਿੰਦੂ A, B ਅਤੇ Cਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ ਕਿ AB || PQ ਅਤੇ AC|| PR ਹੈ । ਦਰਸਾਉ ਕਿ BC|QR ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 9
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △PQR ਵਿਚ ਬਿੰਦੂ A, B ਅਤੇ C ਕੁਮਵਾਰ OP, 0Q ਅਤੇ OR ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹਨ ਕਿ AB || PQ ਅਤੇ AC || PR ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 10
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : BC || QR.
ਸਬੂਤ : △OPQ ਵਿੱਚ,
AB || PQ (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ \(\frac{OA}{AP}\) = \(\frac{OB}{BQ}\) …(1)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]
ਦੁਬਾਰਾ △OPR ਵਿੱਚ,
AC || PR (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ \(\frac{OA}{AP}\) = \(\frac{OC}{CR}\) …(2)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ,
\(\frac{OB}{BQ}\) = \(\frac{OC}{CR}\)
∴ ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਮੇਯ ਦੇ ਉਲਟ ਤੋਂ △OQR ਵਿੱਚ BC || QR ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਮੇਯ 6.1 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇਕ ਭੁਜਾ ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚੋਂ ਦੂਸਰੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਤੀਸਰੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ । (ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਨੂੰ ਜਮਾਤ IX ਵਿੱਚ ਸਿੱਧ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹੋ ॥
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ D, AB ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਭਾਵ AD = DB ਹੈ ।
BC ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾ AC ਨੂੰ E ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਭਾਵ DE || BC ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 11
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : E, AC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
ਸਬੂਤ : D, AB ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
ਭਾਵ AD = DB (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
\(\frac{AD}{BD}\) = 1 …(1)
ਦੁਬਾਰਾ △ABC ਵਿੱਚ DE || BC
∴ \(\frac{AD}{DB}\) = \(\frac{AE}{EC}\)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ।]
∴ 1 = \(\frac{AE}{EC}\) [(1) ਤੋਂ।]
∴ AE = EC
∴ E, AC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਮੇਯ 6.2 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਕਿਸੇ ਤੋਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਤੀਸਰੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ । (ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਜਮਾਤ IX ਵਿਚ ਅਜਿਹਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ |
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ, D ਅਤੇ E ਕ੍ਰਮਵਾਰ AB ਅਤੇ AC ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿਸ ਨਾਲ AD = BD ਅਤੇ AE = EC ਹਨ ID ਅਤੇ E ਨੂੰ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 12
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : DE || BC
ਸਬੂਤ : D, AB ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ , (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
ਭਾਵ AD = BD
\(\frac{AD}{BD}\) = 1 …(1)
E, AC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ AE = EC
\(\frac{AE}{EC}\) = 1 …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, \(\frac{AB}{BD}\) = \(\frac{AE}{EC}\)
ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਮੇਯ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੋਂ,
DE || BC

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ABCD ਇੱਕ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB || DC ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਵਿਕਰਣ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੁ O ‘ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ । ਦਿਖਾਓ ਕਿ \(\frac{AO}{BO}\) = \(\frac{CO}{DO}\) ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ABCD ਇੱਕ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ । ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB || DC ਹੈ । ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ O ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 13
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : \(\frac{AO}{BO}\) = \(\frac{CO}{DO}\)
ਰਚਨਾਂ : O ਤੋਂ FO || DC || AB ਖਿੱਚੋ ।
ਸਬੂਤ : △DAB ਵਿੱਚ
FO || AB (ਰਚਨਾ)
∴ \(\frac{DF}{FA}\) = \(\frac{DO}{BO}\) …(1)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ]
△DCA ਵਿੱਚ
FO || DC (ਰਚਨਾ)
\(\frac{DF}{FA}\) = \(\frac{CO}{AO}\) …(2)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੁਆਰਾ]
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, \(\frac{DO}{BO}\) = \(\frac{CO}{AO}\) ⇒ \(\frac{AO}{BO}\) = \(\frac{CO}{DO}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ O ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ਕਿ \(\frac{AO}{BO}\) = \(\frac{CO}{DO}\) ਹੈ । ਦਿਖਾਓ ਕਿ ABCD ਇੱਕ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਵਿੱਚ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ O ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ਕਿ \(\frac{AO}{BO}\) = \(\frac{CO}{DO}\) ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.2 14
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਇੱਕ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ।
ਰਚਨਾ : ‘O’ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ EO || AB ਖਿੱਚੋ ਜੋ AD ਨੂੰ E ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ।
ਸਬੂਤ : △DAB ਵਿੱਚ
EO || AB
∴ \(\frac{DE}{EA}\) = \(\frac{DO}{OB}\) …(1)
[ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੁਆਰਾ]
ਪਰ \(\frac{AO}{BO}\) = \(\frac{CO}{DO}\) (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
ਜਾਂ \(\frac{AO}{CO}\) = \(\frac{BO}{DO}\)
ਜਾਂ \(\frac{CO}{AO}\) = \(\frac{DO}{BO}\)
⇒ \(\frac{DO}{OB}\) = \(\frac{CO}{AO}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, \(\frac{DE}{EA}\) = \(\frac{CO}{AO}\)
∴ ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੁਆਰਾ
EO || DC
ਨਾਲ ਹੀ, EO || AB
⇒ AB || DC
∴ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਇਕ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ AB || CD.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.1

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿਚੋਂ ਸਹੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ, ਖ਼ਾਲੀ ਸਥਾਨ ਭਰੋ :
(i) ਸਾਰੇ ਚੱਕਰ ………. ਹੁੰਦੇ ਹਨ । (ਸਰਬੰਗਸਮ , ਸਮਰੂਪ)
(ii) ਸਾਰੇ ਵਰਗ …………… ਹੁੰਦੇ ਹਨ । (ਸਮਰੂਪ, ਸਰਬੰਗਮ)
(iii) ਸਾਰੇ ……………. ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । (ਸਮਦੋਭੁਜੀ, ਸਮਭੁਜੀ)
(iv) ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਹੁਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ
(i) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ……….. ਹੋਣ ਅਤੇ
(ii) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ……. ਹੋਣ । (ਬਰਾਬਰ, ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ)
ਹੱਲ:
(i) ਸਾਰੇ ਚੱਕਰ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
(ii) ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
(iii) ਸਾਰੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
(iv) ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਹੁਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ
(i) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਅਤੇ
(ii) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੋਣ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਿਉ ।
(i) ਸਮਰੂਪ ਚਿੱਤਰ
(ii) ਅਜਿਹੇ ਚਿੱਤਰ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
(i) (a) ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਹਨ ,
(b) ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਹਨ ।
(ii) (a) ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਅਤੇ ਇਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਇਹੋ ਜਿਹੀ ਅਕੂਤੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
(b) ਇਕ ਵਰਗ ਅਤੇ ਸਮ ਚਤੁਰਭੁਜ ਅਜਿਹੇ ਜੋੜੇ ਹਨ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਦੱਸੋ ਕਿ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ :
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.1 1
ਹੱਲ:
ਦੋਵੇਂ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
A.P. : 121, 117, 113, … ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਦ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਸਿੰਕੇਤ : an < 0 ਦੇ ਲਈ 1 ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ ।
121, 117, 113, …
ਇੱਥੇ a = T1 = 121 ; T2 = 117; T3 = 113
d = T2 = T1 = 117 – 121 = -4
ਸੂਤਰ Tn = a + (n – 1) d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ
Tn = 121 + (n – 1) (-4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
Tn < 0
125 – 4n < 0 4n > 125
n > \(\frac{125}{4}\)
n > 31\(\frac{1}{4}\)
ਪਰ ਪਹਿਲੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਦ ਲਈ n ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
∴ n = 32
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ 32ਵਾਂ ਪਦ ਪਹਿਲਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਦ ਹੋਵੇਗਾ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਤੀਸਰੇ ਅਤੇ ਸੱਤਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਹੈ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 8 ਹੈ । ਇਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 16 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
T3 + T7 = 6
[a + (3 – 1)d] + [a + (7 – 1) d] = 6
|∵ Tn = a + (n – 1)d
a + 2d + a + 6d = 6
2a + 8d = 6
a + 4d = 3 …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
T3(T7) = 8
[a + (3 – 1) d] [a + (7 – 1) d] = 8
|∵ Tn = a + (n – 1) d
(a + 2d) (a + 6d) = 8
[3 – 4d + 2] [3 – 4d + 6d] = 8
[(1) ਤੋਂ a = 3 – 4d]
(3 – 2d) (3 + 2d) = 8
9 – 4d2 = 8
4d2 =9 – 8
d2 = \(\frac{1}{4}\)
d = ±\(\frac{1}{2}\)
ਸਥਿਤੀ I. ਜਦੋਂ d = \(\frac{1}{2}\)
d = \(\frac{1}{2}\) ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
a + 4\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 3
a + 2 = 3
a = 3 – 2 = 1
ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ \(\frac{n}{2}\) = [2a + (n – 1) d]
Sn = \(\frac{16}{2}\)[2(1) + (16 – 1)\(\frac{1}{2}\)]
= 8[2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8[latex]\frac{4+15}{2}[/latex]
= 8 × \(\frac{19}{2}\)
S16 = 76.
ਸਥਿਤੀ II. ਜਦੋਂ ਵੀ d = \(-\frac{1}{2}\)
d = \(-\frac{1}{2}\) ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 1
S16 = 20.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਦੇ ਲਗਾਤਾਰ ਡੰਡੇ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 25 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ ( ਡੰਡਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇਕ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਨਾਲ ਘੱਟਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 45 cm ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉਪਰਲੇ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 25 cm ਹੈ । ਜੇਕਰ ਉਪਰਲੇ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਡੰਡੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 2\(\frac{1}{2}\) m ਹੈ ਤਾਂ ਡੰਡਿਆਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੱਕੜੀ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ?
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 2
ਸੰਕੇਤ : ਡੰਡਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ = \(\frac{250}{25}\) + 1 ਹੈ ।
ਹਲ:
ਡੰਡਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਕੁਲ ਲੰਬਾਈ
= 2\(\frac{1}{2}\)m = \(\frac{5}{2}\)m
= (\(\frac{5}{2}\) × 100)m
= 250 cm
ਹਰੇਕ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 25 cm
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 3
= \(\frac{250}{25}\) = 10
ਪਹਿਲੇ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 45 cm
ਇੱਥੇ a = 45; l = 25 ; n = 10
ਡੰਡਿਆਂ ਦੇ ਲਈ ਲਕੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = S10
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{10}{2}\)[45 + 25]
= 5 (70)
= 350.
ਡੰਡਿਆਂ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਲਕੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 350 cm ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਇਕ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਮਕਾਨਾਂ ਨੂੰ ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਖਿਆਂ ਤੋਂ 49 ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ 1 ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਹੈ ਕਿ x ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਮਕਾਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਦੇ ਮਕਾਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਮਕਾਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ । | [ਸੰਕੇਤ : Sx-1= S49 – Sx ਹੈ ]
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ x’ ਕਿਸੇ ਮਕਾਨ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ।
ਇੱਥ a = T1 = 1; d = 1
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
Sx-1 = S49 – Sx
= \(\frac{x-1}{2}\)[2(1) + (x – 1 – 1) (1)]
= \(\frac{49}{2}\)[1 + 49] – \(\frac{x}{2}\)[2 (1) + (x -1)(1)]
[ਸੂਤਰ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
ਅਤੇ \(\frac{n}{2}\)(a + l) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 4
x2 = 1225
x = 35

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਵਿਚ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਚਬੂਤਰਾ ਹੈ | ਜਿਸ ਵਿਚ 15 ਪੌੜੀਆਂ ਬਣੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਪੌੜੀਆਂ ਵਿਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 50 m ਹੈ ਅਤੇ ਠੋਸ ਕੰਕਰੀਟ ਦੀ ਬਣੀ ਹੋਈ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਪੌੜੀ ਵਿੱਚ \(\frac{1}{4}\) m ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ \(\frac{1}{2}\) m ਦਾ ਫੈਲਾਵ (ਚੌੜਾਈ) ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਇਸ ਚਬੂਤਰੇ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਕੁਲ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
[ਸੰਕੇਤ : ਪਹਿਲੀ ਪੌੜੀ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਆਇਤਨ \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 m2ਹੈ ॥]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 5
ਹੱਲ :
ਪਹਿਲੀ ਪੌੜੀ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ
ਆਇਤਨ = (\(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m3
= \(\left(\frac{25}{4}\right)\) m3
ਦੂਸਰੀ ਪੌੜੀ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੀ ਕੰਕ੍ਰਿਟ ਦਾ ਆਇਤਨ
= (\(\frac{2}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m3
= \(\left(\frac{25}{2}\right)\) m3
ਤੀਸਰੀ ਪੌੜੀ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਆਇਤਨ
= (\(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m3
= \(\left(\frac{75}{4}\right)\) m3
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੋਂ 15 ਪੌੜੀਆਂ ਹਨ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 6
ਚਬੂਤਰਾ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੇ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਆਇਤਨ
= S15
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 7
∴ ਚਬੂਤਰਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋਂੜੀਦਾ ਦਾ ਕੰਕਰੀਟ = 750 m3

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.3

1. ਹੇਠ ਦਿੱਤੀਆਂ ਅੰਕ ਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2, 7, 12, … 10 ਪਦਾਂ ਤੱਕ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 2, 7, 12, …
ਇੱਥੇ = 2, d = 7 – 2 = 5, n = 10
ਸੂਤਰ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
∴ S10 = \(\frac{10}{2}\)[2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 45] = 95

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
– 37, – 33, – 29… 12 ਪਦਾਂ ਤੱਕ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 37, – 33, – 29…
ਇੱਥੇ a = – 37, d = – 33 + 37 = 4, n = 12
ਸੂਤਰ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
∴ S12 = \(\frac{12}{2}\)[2(-37) + (12 – 1) 4]
= 6 [-74 + 44]
= – 180

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
0.6, 1.7, 2.8, … 100 ਪਦਾਂ ਤੱਕ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ 0.6, 1.7, 2.8,….
ਇੱਥੇ a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1
n = 100
ਇੱਥੇ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) ] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
∴ S100 = \(\frac{100}{2}\)[2(0.6) + (100 – 1) 1.1]
= 50 [1.2 + 108.9]
= 5505

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ….. 11 ਪਦਾਂ ਤੱਕ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ :
\(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), …..
ਇੱਥੇ a = \(\frac{1}{15}\),
d = \(\frac{1}{12}\) – \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{5-4}{60}\)
= \(\frac{1}{60}\),
n = 11
ਸੂਤਰ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੋਂ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 1

2. ਹੇਠ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + … + 84
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ :
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + … + 84
ਇੱਥੇ a = 7, d = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = \(\frac{21}{2}\) – 7
= \(\frac{21-14}{2}\) = \(\frac{7}{2}\)
ਅਤੇ l = Tn = 84
a + (n – 1) d = 84
7 + (n – 1)\(\frac{7}{2}\) = 84
(n – 1)\(\frac{7}{2}\) = 84 – 7 = 77
n – 1 = 77 × \(\frac{2}{7}\) = 22
n = 22 + 1 = 23
ਹੁਣ S23 = \(\frac{23}{2}\)[7 + 84] |∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
\(\frac{23}{2}\) × 91 = 2093

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
34 + 32 + 30 + … + 10
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
34 + 32 + 30 +… + 10
a = 34, d = 32 – 34 = – 2 l = Tn = 10
a + (n – 1) d = 10
34 + (n – 1) (-2) = 10
– 2(n – 1) = 10 – 34 = – 24
n – 1 = \(\frac{24}{2}\) = 12
n = 12 + 1 = 13
S13 = \(\frac{13}{2}\)[34 + 10]
= \(\frac{13}{2}\) 44 |∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= 13 × 22 = 286

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
– 5 +(-8) + (-11) + ….. + (-230)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
– 5 + (-8) + (-11) + … +(- 230)
a = -5, d = – 8 + 5 = – 3
l = Tn = – 230
a + (n – 1) d = – 230
-5 + (n – 1) (-3) = – 230
– 3 (n – 1) = – 230 + 5 = – 225
n – 1 = \(\frac{225}{3}\) = 75
n = 75 + 1 = 76
S76 = \(\frac{76}{2}\)[-5 + (-230)] |∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= 38 (-235)
= – 8930

3. ਇੱਕ AP ਵਿੱਚ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
a = 5, d = 3 ਅਤੇ an = 50 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ Sn ਪਤਾ ਕਰੋ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 5, d = 3, an = 50
∵ an = 50
a + (n – 1) d = 50
5 + (n – 1) 3 = 50
3(n – 1) = 50 – 5 = 45
n – 1 = \(\frac{45}{3}\) = 15
n = 15 + 1 = 16
ਹੁਣ Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{16}{2}\)[5 + 50] = 8 × 55
= 440

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
a = 7 ਅਤੇ a13 = 35 ਦਿੱਤਾ ਹੈ ।d ਅਤੇ S13 ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 7, a13 = 35
a13 = 35
a + (n – 1) d = 35
7 + (13 – 1) d = 35
12d = 35 – 7 = 28
d = \(\frac{28}{12_{3}}\) = \(\frac{7}{3}\)
ਹੁਣ S13 = \(\frac{13}{2}\)[7 + 35] = |∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21
= 273

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
a12 = 37 ਅਤੇ d = 3 ਦਿੱਤਾ ਹੈ a ਜੀਵ S12 ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a12 = 37, d = 3
∵ a12 = 37
a + (n – 1) d = 37
a + (12 – 1) 3 = 37
a + 37 – 33 = 4
a + 33 = 37
a = 37 – 33 =4
S12 = \(\frac{12}{2}\)[4 + 37] |Sn = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= 6 × 41 = 246

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
a3 = 15 ਅਤੇ S10 = 125 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । d ਅਤੇ a10 ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a3 = 15, S10 = 125
∵ a3 = 15
a + (n – 1) d = 15
a + (3 – 1) d = 15
a + 2d = 15 …(1)
∵ S10 = 125
\(\frac{10}{2}\)[2n + (10 – 1) d] = 125
|∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
[24 + 9d] = 125
2a + 9d = \(\frac{125}{5}\) = 25
ਜਾਂ 2a +9d = 25 …(2)
‘a’ ਦਾ ਮੁੱਲ (2), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
2(15 – 2d) + 9d = 25
30 – 4d + 9d = 25
5d = 25 – 30
d = \(\frac{-5}{5}\) = -1
‘d’ ਦਾ ਮੁੱਲ (3) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a = 15 – 2(-1)
= 15 + 2 = 17
a10 = 17 + (10 – 1) (-1)
|∵ Sn = a + (n – 1) d
= 17 – 9 = 8

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
d = 5 ਅਤੇ S9 = 75, ਦਿੱਤਾ ਹੈ । a ਅਤੇ a9 ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : d = 5, S9 = 75
∵ S9 = 75
\(\frac{9}{2}\)[2a + (9 – 1) 5) = 75
|∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 2

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
a = 2, d = 8 ਅਤੇ Sn = 90 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ an ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 2, d = 8, Sn = 90,
∵ Sn = 90
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] = 90
\(\frac{n}{2}\)[2 × 2 + (n – 1) 8] = 90
n[2 + 4n -4] = 90
n(4n – 2) = 90
4n2 – 2n – 90 = 0
2n2 – n – 45 = 0
2n2 – 10n + 9n – 45 = 0
|S = – 2
|P = -45 × 2 = – 90
2n [n – 5] + 9 (n – 5) = 0
(2n + 9) (n – 5) = 0
2n + 9 = 0 or n – 5= 0
n = \(-\frac{9}{2}\) or n = – 5
∵ n ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ n = \(-\frac{9}{2}\) ਛਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ n = 5
ਹੁਣ an = a5 = a + (5 – 1) d
= 2 + (5 – 1)8
= 2 + 32 = 34

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
a = 8, an = 62 ਅਤੇ Sn = 210 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ d ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 8, an = 62, Sn = 210
∵ Sn = 210
\(\frac{n}{2}\)[a + an] = 210
\(\frac{n}{2}\)[8 + 6] = 210
\(\frac{n}{2}\) × 76 = 210
n = \(\frac{210}{35}\) = 6
an = 62
ਹੁਣ 8 + (6 – 1) d = 62
|∵ Tn = a + (n – 1) d
5d = 62 – 8 = 54
d = \(\frac{54}{5}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
an = 4, d = 2 ਅਤੇ Sn = – 14 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ a ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : an =4, d = 2, Sn = – 14
∵ an = 4
a + (n – 1) d = 4
a + (n – 1)2 = 4
a + 2n – 2 = 4
a = 6 – 2n …(1)
Sn = – 14
\(\frac{n}{2}\)[a + an] = -14
\(\frac{n}{2}\)[6 – 2n + 4] = -14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
\(\frac{n}{2}\)[10 – 2n] = – 14
5n – n2 + 14 = 0
n2 – 5n – 14 = 0 |S = – 5
n2 – 7n + 2n – 14 = 0 | P = 1 × – 14 = 14
n2 – 7n + 2n – 14 = 0
n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
(n – 7) (n + 2) = 0
n = 7 ਜਾਂ n =-2
∵ n ਹਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ
∴ n = -2 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ n = 7
n ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a = 6 – 2 × 7
= 6 – 14 = – 8

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ix).
a = 3, n = 8 ਅਤੇ S = 192 ਦਿੱਤਾ ਹੈ ।d ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 3, n = 8, S = 192
∵ S = 192
⇒ S8 = 192 [∵ n = 8]
\(\frac{8}{2}\) [2 × 3 + (8 – 1) d]=192
|∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
4 [6 + 7d] = 192
6 + 7d = \(\frac{192}{4}\) =48
7d = 48 – 6 = 42
d = \(\frac{42}{7}\) = 6

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (x).
l = 28, S = 144 ਅਤੇ ਕੁੱਲ 9 ਪਦ ਹਨ a ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : l= 28, S = 144
ਹੁਣ ਕੁੱਲ ਪਦ 9 ਹਨ ।
∴ n = 9 ; l = a9 = 28 ; S9 = 144
∵ a9 = 28
a + (9 – 1)d = 28
|∵ an = Tn = 9 + (n – 1)d
a + 8d = 28 …(1)
S9 = 144
\(\frac{9}{2}\)[a + 28] = 144 (∵ Sn = \(\frac{n}{2}\)(a + 1))
a + 28 = \(\frac{144×2}{9}\) = 32
a = 32 – 28 = 4.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
636 ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ A.P.: 9, 17, 25 … ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਲੈਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ A.P. 9, 17, 25, ……
ਜਿੱਥੇ a = 9, d = 17 – 9 = 8
ਕਿਉਂਕਿ Sn = 636
\(\frac{n}{2}\)[2a+(n – 1) d] = 636
\(\frac{n}{2}\)[2(9) + (n – 1) 8] = 636
\(\frac{n}{2}\)[18+ 8n – 8] = 636
n[4n + 5] = 636
4n2 + 5n – 636 = 0
a = 4, b = 5, c = – 636
D = (5)2 – 4 × 4 × (-636)
= 25 + 10176
= 10201
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 3
∵ n ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ।
n = \(-\frac{53}{4}\) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ।
∴ n = 12
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦੇ 12 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 636 ਹੈ ॥

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਕਿਸੇ AP. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 5, ਅੰਤਿਮ ਪਦ 45 ਅਤੇ ਜੋੜਫਲ 400 ਹਨ । ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = T1 = 5; l = an = 45
Sn = 400
∵ Tn = 45
a + (n – 1) d = 45
5 + (n – 1)d = 45
(n – 1)d = 45 – 5 = 40
(n – 1)d = 40
Sn = 400
\(\frac{n}{2}\)[a + an] = 400
\(\frac{n}{2}\)[5 + 45] = 400
25n = 400
n = \(\frac{400}{25}\) = 16
n ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
(16 – 1) d = 40
15d = 40
d = \(\frac{40}{15}\) = \(\frac{8}{3}\)
n = 16, d = \(\frac{8}{3}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਕਿਸੇ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਕੁਮਵਾਰ 17 ਅਤੇ 350 ਹਨ । ਜੇਕਰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 9 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = T1 = 17
l = an = 350, d = 9
∵ l = an = 350
a + (n -1) d = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
9 (n – 1) = 350 – 17 = 333
n – 1 = \(\frac{333}{9}\) = 37
n = 37 + 1 = 38
ਹੁਣ S38 = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{38}{2}\)[17 + 350]
= 19 × 367 = 6973
∵ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ 38 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6973 ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਉਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 22 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿਚ d = 7 ਹੈ ਅਤੇ 22ਵਾਂ ਪਦ 149 ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : d = 7; T22 = 149
n = 22
∵ T22 = 149
a + (n – 1) d = 149
a + (22 – 1) 7 = 149
a + 147 = 149
a = 149 – 147 = 2
ਹੁਣ S22 = \(\frac{n}{2}\)[a + T22]
= \(\frac{22}{2}\)[2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 22 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 1661 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਉਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 51 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦੇ ਦੁਸਰੇ ਅਤੇ ਤੀਸਰੇ ਪਦ ਕੁਮਵਾਰ 14 ਅਤੇ 18 ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ T2 = 14; T3 = 18
n = 51
∵ T2 = 14
a + (n – 1) d = 14
a + (2 – 1) d = 14
a + d = 14
a = 14 – d …(1)
T3 = 18
a + (n – 1) d = 18
a + (3 – 1) d = 18
a + 2d = 18
14 – d + 2d = 18
d = 18 – 14 = 4
d = 4
d ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a = 14 – 4 = 10
ਹੁਣ S51 = \(\frac{n}{2}\)[24 + (n – 1) d]
= \(\frac{51}{2}\)[2 × 10 + (51 – 1) 4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 + 200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220 = 51 × 110 = 5610
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 51 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 5610 ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 7 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 49 ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ 17 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 289 ਹੈ ; ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ॥ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
S7 = 49
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] = 49
\(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1) d] = 49
\(\frac{7}{2}\)[2a + 6d] = 49
\(\frac{7}{2}\)[2a + 6d]= 49
a + 3d = 7
a = 7 – 3d …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
S7 = 289
\(\frac{n}{2}\)[2a +(17 – 1) d] = 289
= \(\frac{17}{2}\)[2a + (17 – 1) d] = 289
a + 8d = \(\frac{289}{17}\) = 17
‘a’ ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
‘d’ ਦਾ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
a = 7 – 3 × 2
= 7 – 6 = 1
ਹੁਣ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1)2]
= n[1 + n – 1] = n × n
= n2
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ n2 ਹੈ ।

10. ਦਿਖਾਉ ਕਿ a1, a2, …an… ਤੋਂ ਇੱਕ A.P. ਬਣਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ an ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪ੍ਰਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
an = 3 + 4n
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ an = 3 + 4n …(1)
‘n’ ਦੇ ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a1 = 3 + 4 (1) = 7
a2 = 3 + 4 (2) = 11
a3 = 3 + 4 (3) = 15,
ਹੁਣ a2 – a1, a3 – a2 = 15 – 11 = 4
∵ a2 – a1 = 11 – 7 = 4
a3 – a2 = 4 = d (ਮੰਨ ਲਉ)
∴ ਇਹ ਇੱਕ A.P. ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = 7, d = 4 ਅਤੇ n = 15
∴ S15 = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{15}{2}\)[2(7) + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\)[14 + 56] = \(\frac{15}{2}\) × 70
= 15 × 35 = 525

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
an = 9 – 5n ਨਾਲ ਹੀ, ਹਰੇਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ 15 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ an = 9 – 5n …(1)
n ਦੇ ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਭਰਨ ‘ਤੇ
a1 = 9 – 5 (1) = 4
a2 =2 9 – 5(2) = -1
a3 = 9 – 5 (3) = – 6
ਹੁਣ a2 – a1 = -1 – 4 = – 5
ਇੱਥੇ a3 – a2 = – 6 + 1 = – 5
∴ a2 – a1 = a3 – a2 = -5 = d (ਮੰਨ ਲਉ)
∴ ਇਹ ਇਕ A.P. ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = 4, d = -5, n = 15
∴ S15 = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)a]
= \(\frac{15}{2}\)[2(4) + (15 – 1) (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 – 70] = \(\frac{15}{2}\)(-62)
= – 465

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 4n + n2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ (ਭਾਵ S1) ਕੀ ਹੈ ? ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਕੀ ਹੈ ? ਦੂਜਾ ਪਦ ਕੀ ਹੈ ? ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤੀਸਰਾ, 10ਵਾਂ ਅਤੇ ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ A.P. ਦੇ ‘n’ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਹੈ
Sn = 4n – n2 …(1)
n = 1 ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
S2 = 4(2) – (2)2 = 8 – 4
S2 = 4
T1 + T2 = 4
3 + T2 = 4
T2 = 4 – 3 = 1
n = 3 ਦਾ ਮੁਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
S3 = 4 (3) – (3)2 = 12 – 9 = 3
ਜਾਂ S2 + T3 = 3
4 + T3 = 3
T3 = 3 – 4 = -1
ਹੁਣ d = T2 – T1
= 1 – 3 = – 2
∴ T10 = a + (n – 1) d
= 3 (10 – 1) (-2)
T10 = 3 – 18 = -15
Tn = a + (n – 1) d
= 3 + (n – 1) (-2)
= 3 – 2n + 2
Tn = 5 – 2n

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਅਜਿਹੀਆਂ ਪਹਿਲੀਆਂ 40 ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ 6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
6, 12, 18, 24, 30, 36 42, …
ਇੱਥੇ a = T1 = 6, T2 = 12,
T3 = 18, T4 = 24
T2 – T1 = 12 – 6 = 6
T3 – T2 = 18 – 12 = 6
T4 – T3 = 24 – 18 = 6
∵ T2 – T1 = T3 – T2
= T4 – T3 = 6 = d (ਮੰਨ ਲਉ)
ਸੂਤਰ Sn = \(\frac{n}{2}\)[24 + (n – 1) d]
S40 = \(\frac{40}{2}\)[2(6) + (40 – 1) 6]
= 20 [12 + 234]
= 20 (246) = 4920
∴ 6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ 40 ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 4920 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
8 ਦੇ ਪਹਿਲੇ 15 ਗੁਜਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
8 ਦੇ ਗੁਣ ਹਨ : 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
ਇੱਥੇ a = T1 = 8; T2 = 16 ;
T3 = 24 ; T4 = 32
T2 – T1 = 16 – 8 = 8
T3 – T2 = 24 – 16 = 8
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = 8 = d (ਮੰਨ ਲਉ।)
ਸੂਤਰ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S15 = \(\frac{15}{2}\)[2(8) + (15 – 1)8]
= \(\frac{15}{2}\)[16 + 112]
= \(\frac{15}{2}\) × 128 = 960
∴ 8 ਦੇ ਪਹਿਲੇ 15 ਗੁਣਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 960 ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
0 ਅਤੇ 50 ਦੇ ਵਿਚ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
0 ਅਤੇ 50 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ 1, 3, 5, 7, 9, …, 49
ਇੱਥੇ a = T1 = 1; T2 = 3
T3 = 5 ; T4 = 7
l = Tn = 49
T2 – T1 = 3 – 1 = 2
T3 – T2 = 5 – 3 = 2
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = 1 d (ਮੰਨ ਲਉ)
l = Tn = 49
a + (n – 1)d = 49
1 + (n – 1) 2 = 49
2(n – 1) = 49 – 1 = 48
n – 1 = \(\frac{48}{2}\) = 24
n = 24 + 1 = 25
ਸੂਤਰ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S25 = \(\frac{25}{2}\)[2(1) + (25 – 1) 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
∴ 0 ਅਤੇ 50 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 625 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਨਿਰਮਾਣ ਕਾਰਜ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਤ ਕਿਸੇ ਠੇਕੇ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮਿਤੀ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਕੰਮ ਦੇਰੀ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਜ਼ੁਰਮਾਨਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ :
ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ ਦੇ ਲਈ ₹ 200, ਦੂਸਰੇ ਦਿਨ ਲਈ ₹ 250, ਤੀਸਰੇ ਦਿਨ ਲਈ ₹ 300 ਆਦਿ ਭਾਵ ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਦਿਨ ਦਾ ਜ਼ੁਰਮਾਨਾ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਠੀਕ ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ ਦੇ ਜੁਰਮਾਨੇ ਨਾਲੋਂ ₹ 50 ਵੱਧ ਹੈ । ਇੱਕ ਠੇਕੇਦਾਰ ਨੂੰ ਜੁਰਮਾਨੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਦੇਣੀ ਪਵੇਗੀ, ਜੇਕਰ ਉਹ ਇਸ ਕੰਮ ਵਿੱਚ 30 ਦਿਨ ਦੀ ਦੇਰੀ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲੇ, ਦੁਸਰੇ ਅਤੇ ਤੀਸਰੇ ਦਿਨ ਲਈ ਜ਼ੁਰਮਾਨਾਂ ਹੈ : ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300
ਜ਼ੁਰਮਾਨੇ ਵਿਚ ਅੰਤਰ ₹ 50 ਨਾਲ ਵੱਧਦਾ ਹੈ ।
∴ ਇਹ A.P. ਹੈ ।
₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350
ਇੱਥੇ a = T1 = 200 ; d = 50 ਅਤੇ n = 30
30 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਦੇਣਯੋਗ ਰਾਸ਼ੀ
S30 = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1l) d]
= \(\frac{30}{2}\)[2(200) + (30 -1) 50]
= 15 [400 + 1450]
= 15 (1850) = 27750
∴ ਠੇਕੇਦਾਰ ਨੂੰ ਇਹ ਰਾਸ਼ੀ ₹ 27,750 ਜ਼ੁਰਮਾਨੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਦੇਣੀ ਪਵੇਗੀ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਕਿਸੇ ਸਕੂਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੁੱਚੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਲਈ 7 ਨਕਦ ਇਨਾਮ ਦੇਣ ਲਈ ₹ 700 ਦੀ ਰਾਸ਼ੀ ਰੱਖੀ ਗਈ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਇਨਾਮ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਠੀਕ ਪਹਿਲੇ ਇਨਾਮ ਤੋਂ ₹ 20 ਘੱਟ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਇਨਾਮ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਪਹਿਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਇਨਾਮੀ ਦੀ ਰਾਸ਼ੀ = ₹ x
ਦੂਸਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰਾਸ਼ੀ = ₹ (x – 20)
ਤੀਸਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਰਾਸ਼ੀ
= ₹ [x – 20 – 20}
= ₹ (-40)
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ।
₹ x, ₹ (x – 20), ₹ (x – 40)
∴ ਇਹ A.P. ਹੈ ।
a = ₹ x, d = – ₹ 20 n = 7
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S7 = \(\frac{7}{2}\)[2(x) + (7 – 1) (-20)
S7 = \(\frac{7}{2}\)[2x – 120] = 7 (x – 60)
7 (x – 60) = 700
x – 60 = \(\frac{700}{7}\) = 100
x = 100 + 60.
x = 160
∴ 7 ਇਨਾਮ ਹਨ ₹ 160, ₹ 140, ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 17.
ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਹਵਾ ਪ੍ਰਦੂਸ਼ਣ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਸਕੂਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਬਾਹਰ ਪੌਦੇ ਲਗਾਉਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ । ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਹਰੇਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪੌਦੇ ਲਗਾਵੇਗਾ । ਉਦਾਹਰਣ ਦੇ ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈਕਸ਼ਨ 1 ਪੌਦਾ ਲਗਾਵੇਗਾ, ਸ਼੍ਰੇਣੀ II ਦਾ ਇੱਕ ਸੈਕਸ਼ਨ 2 ਪੌਦੇ ਲਗਾਵੇਗਾ, ਸ਼੍ਰੇਣੀ I ਦਾ ਇੱਕ ਸੈਕਸ਼ਨ 3 ਪੌਦੇ ਲਗਾਵੇਗਾ, ਆਦਿ, ਅਤੇ ਅਜਿਹਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ XII ਤੱਕ ਚਲਦਾ ਰਹੇਗਾ | ਹਰੇਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦੇ 3 ਸੈਕਸ਼ਨ ਹਨ । ਇਸ ਸਕੂਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ ?
ਹੱਲ:
ਸ਼੍ਰੇਣੀ I ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 1 = 3
ਸ਼੍ਰੇਣੀ II ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 2 = 6
ਸ਼੍ਰੇਣੀ III ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 3 = 9
……………………………………………..
……………………………………………..
……………………………………………..
ਸ਼੍ਰੇਣੀ XII ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 12 = 36
∴ ਲੌੜੀਂਦਾ A.P. ਹੈ 3, 6, 9,…, 36
ਇੱਥੇ a = T1 = 3 ; T2 = 6; T3 = 9
l = Tn = 36 ; n = 12
d = T2 – T1 = 6 – 3 = 3
ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ
= S12
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{12}{2}\)[3 + 36] = 6 × 39 = 234
∴ ਵਾਯੂ ਪ੍ਰਦੂਸ਼ਣ ਰੋਕਣ ਲਈ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੋਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ 234 ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 18.
ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਵਾਰੀ-ਵਾਰੀ ਨਾਲ | A ਅਤੇ B ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, …..ਵਾਲੇ ਲਗਾਤਾਰ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚ ਕੇ ਇਕ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਬਣਾਇਆ | ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਤੇਰਾਂ ਲਗਾਤਾਰ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਤੇ ਬਣੇ ਇਸ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਦੀ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ ਕੀ ਹੈ ? (π = \(\frac{22}{7}\) ਲਉ)
[ਸੰਕੇਤ : ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਕੇਂਦਰ A, B, A, B… ਵਾਲੇ ਅਰਧ ( ਚੱਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ l1, l2, l3, l4 ਹਨ ]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 4
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ l1 = ਪਹਿਲੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πr1 = π(0.5) = \(\frac{\pi}{2}\)
l2 = ਦੂਸਰੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πry = π(1) = π
l3 = ਤੀਸਰੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πr3 = π(1.5) = \(\frac{3 \pi}{2}\)
l4 = ਚੌਥੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πr4 = π(2) = 2π
∵ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਵਿਚ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇਕ A.P. ਬਣਦੀ ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = T1 = \(\frac{\pi}{2}\); T2 = π
T3 = \(\frac{3\pi}{2}\); T4 = 2π …. ਅਤੇ n = 13
d = T2 – T1 = π – \(\frac{\pi}{2}\)
\(\frac{2 \pi-\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਦੀ ਕੁਲ ਲੰਬਾਈ = S13
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 5
∴ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਦੀ ਕੁਲ ਲੰਬਾਈ = 143 ਸਮ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 19.
200 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ (Logs) ਦੀ ਢੇਰੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 20 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 19 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 18 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਆਦਿ (ਦੇਖੋ ਚਿਤਰ)। ਇਹ 200 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉਪਰਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਹਨ ?
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 6
ਹੱਲ:
ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 20
ਦੂਸਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ = 19
ਤੀਸਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ = 18
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵੀ ਹੈ
∴ ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਰੱਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ ਇਕ A.P. ਬਣਾਂਦੀ ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = T1 = 20 ;
T2 = 19 ; T3 = 18…
d = T2 – T1
= 19 – 20 = -1
ਮੰਨ ਲਓ Sn ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਕੁਲ ਸਿੱਖਿਆ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ।
∴ Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2(20) + (n – 1) (-1)]
= \(\frac{n}{2}\)[40 – n + 1]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{n}{2}\)[41 – n] = 200
41n – n2 = 400
-n2 + 41n – 400 = 0 | S = – 41
n2 – 41n + 400 = 0 |P = 400
n2 – 16n – 25n + 400 = 0
n (n – 16) – 25 (n – 16) = 0
(n – 16) (n – 25) = 0
n – 16 = 0 ਜਾਂ n – 25 = 0
n = 16, 25
ਸਥਿਤੀ I. ਜਦੋਂ n = 25
T25 = a + (n – 1) d
= 20 + (25 – 1) (-1)
= 20 – 24 = -4 ਜੋ ਅਸੰਭਵ ਹੈ।
∴ n = 25 ਛਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ।
ਸਥਿਤੀ II. ਜਦੋਂ n = 16
T16 = a + (n – 1) d
= 20 + (16 – 1) (-1)
= 20 – 15 = 5
∴ ਕੁੱਲ 16 ਕਤਾਰਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਉਪਰਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 5 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 20.
ਇੱਕ ਆਲੂ ਦੌੜ (potato race) ਵਿਚ ਆਰੰਭਿਕ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਲਟੀ ਰੱਖੀ ਹੋਈ ਹੈ । ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਆਲੂ ਤੋਂ 5 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਆਲੂਆਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੇਖਾ ਵਿਚ 3 m ਦੀ ਆਪਸੀ ਦੂਰੀ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਇਸ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 10 ਆਲੂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 7
ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਤਿਯੋਗੀ ਬਾਲਟੀ ਤੋਂ ਚਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਨਜਦੀਕ ਤੋਂ ਨਜਦੀਕ ਵਾਲੇ ਆਲੂ ਨੂੰ ਚੁੱਕਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਲੈਕੇ ਵਾਪਿਸ ਆ ਕੇ (ਦੌੜ ਕੇ) ਬਾਲਟੀ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਦੂਸਰਾ ਆਲੂ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਵਾਪਸ ਦੌੜਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਨੂੰ ਚੁੱਕ ਕੇ ਵਾਪਿਸ ਬਾਲਟੀ ਵਿਚ ਪਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਅਜਿਹਾ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਆਲੂ ਬਾਲਟੀ ਵਿੱਚ ਨਾ ਆ ਜਾਣ । ਇਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ ?
[ਸੰਕੇਤ : ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਆਲੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁੱਕ ਕੇ ਬਾਲਟੀ ਵਿਚ ਪਾਉਣ ਲਈ ਦੌੜੀ ਗਈ ਦੂਰੀ = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) ਹੈ ।]
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲਾ ਆਲੂ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 2(5) ਮੀ. = 10 ਮੀ.
ਪਹਿਲੇ ਆਲੂਆਂ ਵਿਚ ਦੁਰੀ = 3 ਮੀ.
∴ ਦੂਜੇ ਆਲੂ ਲਈ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= 2 (5 +3) ਸਮ = 16 ਮੀ.
ਤੀਸਰਾ ਆਲੂ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= 2 (5 + 3 + 3) ਮੀ.
= 22 ਮੀ.
ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਚਲਦੀ ਰਹੇਗੀ
∴ ਇਹ A.P. ਬਣ ਜਾਏਗੀ ।
10 ਮੀ., 16 ਮੀ., 22 ਮੀ., 28 ਮੀ., ……
a = T1 = 10; T2 = 16; T3 = 22, …
d = T2 – T1 = 16 – 10 = 6
n = 10
∴ ਕੁਲ ਜਿੰਨੀ ਦੌੜ ਲਗਾਉਣੀ ਪਵੇਗੀ = S10
= \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
= \(\frac{10}{2}\)[2(10) + (10 – 1) 6]
=5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370
∴ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀ ਨੂੰ ਕੁਲ 370 ਮੀ. ਦੀ ਦੁਰੀ ਦੌੜ ਕੇ ਤੈਅ ਕਰਨੀ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿਚ ਖ਼ਾਲੀ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋ, ਜਿੱਥੇ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ‘a’, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ‘d’ ਅਤੇ n ਵਾਂ ਪਦ an ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 1
ਹੱਲ:
(i) a = 7, d = 3, n = 8
∵ an = a + (n – 1) d
∴ a8 = 7 + ( 8 – 1) 3
= 7 + 21 = 28

(ii) a = – 18, n = 10, an = 0
∵ an = a + (n – 1) d
∴ a10 = – 18 + (10 – 1)d
0 = – 18 + 9d
9d = 18
d = \(\frac{18}{9}\) = 2

(iii) d = -3, n= 18, an = -5
∵ an = a + (n – 1) d
∴ a18 = a + (18 – 1) (-3)
-5 = a – 51
a = – 5 + 51 = 46

(iv) a = – 18.9, d = 2.5, an = 3.6
∵ an = a + (n – 1) d
∴ 3.6 = – 18. 9 + (n – 1) 2.5
3.6 + 18.9 = (n – 1) 2.5
(n – 1) 2.5 = 22.5
n – 1 = \(\frac{22.5}{2.5}\) = 9
n = 9 + 1 = 10

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105
∵ an = + (n – 1) d
∴ an = 3.5 + (105 – 1) 0
an = 3.5 + 0 = 3.5

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

2. ਹੇਠ ਦਿੱਤਿਆਂ ਵਿਚੋਂ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਕਾਰਣ ਦੱਸੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
AP: 10, 7, 4……., ਦਾ 30 ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ :
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ : 10, 7, 4, …..
T1 = 10, T2 = 7, T3 = 4
T2 – T1 = 7 – 10 = – 3
T3 – T2 = 4 – 7 = -3
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = – 3 = d
∴ Tn = a + (n – 1) d
T30 = 10 + (30 – 1) (-3)
= 10 – 87 = -77
∴ ਸਹੀ ਉੱਤਰ (C) ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
AP: -3, \(-\frac{1}{2}\), 2, …, ਦਾ 11 ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ :
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -48\(\frac{1}{2}\)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ : 3, \(-\frac{1}{2}\), 2, …
T1 =-3, T2 = \(-\frac{1}{2}\), T3 = 2, …
T2 – T1 = \(-\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{-1+6}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
T3 – T2 = 2 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{4+1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = \(\frac{5}{2}\) = d (ਮੰਨ ਲਓ)
∴ Tn = a + (n – 1) d
T11 = – 3 + (11 – 1)\(\frac{5}{2}\)
= -3 + 10 × \(\frac{5}{2}\) = – 3 + 25
= 22
∴ ਸਹੀ ਉੱਤਰ (B) ਤੇ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਹੇਠ ਦਿੱਤੀਆਂ ਅੰਕ ਗਾਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ (A.P.) ਵਿੱਚ ਖ਼ਾਲੀ ਖ਼ਾਨਿਆਂ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ :
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 2
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d ਹੈ !
(i) ਇੱਥੇ , T1 = a = 2
T3 = a + 2d = 26
2 + 2d = 26
2d = 26 – 2 = 24
d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ T2 = a + d
= 2 + 12 = 14

(ii) ਇੱਥੇ T2 = a + d = 13 …(1)
T4 = a + 3d = 3 …(2)
(2) – (1) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 3
d ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a – 5 = 13
a = 13 + 5 = 18
∴ T1 = a = 18
T2 = a + 2d = 18 + 2 (-5)
18 – 10 = 8

(iii) ਇੱਥੇ T1 = a = 5
T4 = a + 3d = 9\(\frac{1}{2}\)
a + 3d = \(\frac{19}{2}\),
5 + 3d = \(\frac{19}{2}\)
3d = \(\frac{19}{2}\) – 5
3d = \(\frac{19-10}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
d = \(\frac{9}{2}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{3}{2}\)
T2 = a + d = 5 + \(\frac{3}{2}\)
= \(\frac{10+3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
T3 = a + 2d = 5 + 2\(\left(\frac{3}{2}\right)\)
= 5 + 3 = 8

(iv) ਇੱਥੇ T1 = a = -4
T6 = a + 5d = 6
-4 + 5d = 6
5d = 6 + 4
5d = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
T2 = a + d = -4 + 2 = -2
T3 = a + 2d = -4 + 2(2)
= -4 + 4 = 0
T4 = a + 3d = -4 + 3 (2)
= -4 + 6 = 2
T5 = a + 4d = -4 + 4 (2)
= – 4 + 8 = 4

(v) ਇੱਥੇ T2 = a + d = 38 …(1)
T6 = a + 5d = – 22 …(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 4
d ਦਾ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਭਰਨ ‘ਤੇ
a + (-15) = 38
a = 38 + 15 = 53
∴ T1 = a = 53
T3 = a + 2d = 53 + 2 (-15)
= 53 – 30 = 23
T4 = a + 3d = 53 + 3 (15)
= 53 – 45 = 8
T5 = a + 4d = 53 + 4 (-15)
=53 – 60 = -7

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
A.P.: 3, 8, 13, 18,….ਦਾ ਕਿੰਨਵਾਂ ਪਦ 78 ਹੈ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ: 3, 8, 13, 18, …..
T1 = 3, T2 = 8, T3 = 13, T4 = 18
T2 – T1 = 8 – 3 = 5
T3 – T2 = 13 – 8 = 5
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = 5 = d
Tn = a + (n – 1)d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
78 = 3 + (n – 1) 5
5(n -1) = 78 – 3
n – 1 = \(\frac{75}{5}\) = 15
n = 15 + 1 = 16
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ 16ਵਾਂ ਪਦ 78 ਹੈ ।

5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਹਨ ?

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
7, 13, 19,…, 205
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 7, 13, 19,…
T1 = 7, T2 = 13, T3 = 19
T2 – T1 = 13 – 7 = 6
T3 – T2 = 19 – 13 = 6
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = 6 = d.
ਸੂਤਰ Tn = a + (n – 1) d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
205 = 7+ (n – 1)6
(n – 1)6 = 205 – 7
(n – 1) = \(\frac{196}{6}\)
n – 1 = 33
n = 33 + 1 = 34
∴ 34ਵਾਂ ਪਦ 205 ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
18, 15\(\frac{1}{2}\), 13,…….., – 47
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13,…
T1 = 18, T2 = 15\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{31}{2}\), T3 = 13
T2 – T1 = \(\frac{31}{2}\) – 18 = \(\frac{31-36}{2}\) = \(-\frac{5}{2}\)
T3 – T1 = 13 – \(\frac{31}{2}\) = \(\frac{26-31}{2}\) = \(-\frac{5}{2}\)
T2 – T1 = T3 – T2 = \(-\frac{5}{2}\) = d
ਸੂਤਰ Tn = a + (n – 1) d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
-47 = 18 + (n – 1)\(\left(\frac{-5}{2}\right)\)
(n – 1)\(\left(\frac{-5}{2}\right)\) = -47 – 18
(n – 1)\(\left(\frac{-5}{2}\right)\) = -65
n – 1 = -65 × \(-\frac{2}{5}\)
n – 1 = 26
n = 26 + 1 = 27
∴ 27 ਵਾਂ ਪਦ -47 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਕੀ A.P. 11, 8, 5, 2…. ਦਾ ਇੱਕ ਪਦ -150 ਹੈ ? ਕਿਉਂ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
11, 8, 5, 2…..
T1 = 11, T2 = 8, T3 = 5, T4 = 2
T2 – T1 = 8 – 11 = -3
T3 – T2 = 5 – 8 = – 3
T4 – T3 = 2 – 5 = -3
∵ T2 – T1 = T3 – T2
= T4 – T3 = -3 = d
ਮੰਨ ਲਉ -150 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਇਕ ਪਦ ਹੈ !
Tn = -150
a + (n – 1) d = -150
11 + (n – 1) (-3) = – 150
(n – 1) (-3) =- 150 – 11 = -161
n – 1 = \(\frac{161}{3}\)
n = \(\frac{161}{3}\) + 1 = \(\frac{161+3}{3}\)
n = \(\frac{164}{3}\) = 54\(\frac{2}{3}\)
ਜੋ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
∴ -150 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਉਸ A.P. ਦਾ 31ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ 11ਵਾਂ ਪਦ 38 ਹੈ ਅਤੇ 16ਵਾਂ ਪਦ 73 ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
T11 = 38
a + (11 – 1) d = 38
[∵ Tn = a + (n – 1) d]
a + 10 d = 38 …(1)
ਅਤੇ T16 = 73
a + (16 – 1) d = 73
[∵ Tn = a + (n – 1) d]
a + 15 d = 73 …(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 5
d ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ .
a+ 10 (7) = 38
a + 70 = 38
a = 38 – 70 = -32
ਹੁਣ T31 = a + (31 – 1) d = -32 + 30 (7)
= -32 + 210 = 178

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ A.P. ਵਿੱਚ 50 ਪਦ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਤੀਸਰਾ ਪਦ 12 ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ 106 ਹੈ । ਇਸ ਦਾ 29ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ । ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T3 = 12
a + (3 – 1) d = 12
|∵ Tn = a + (n – 1)d
a + 2d = 12 …..(1)
∴ ਅੰਤਿਮ ਪਦ = T50 = 106
a + (50 – 1) d = 106
|∵ Tn = a+ (n – 1) d
a + 49 d = 106 …(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 6
d ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a + 2(2) = 12
a + 4 = 12
a + 12 – 4 = 8
ਹੁਣ T29 = a + (29 – 1) d
= 8 + 28 (2)
= 8 + 56 = 64

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ A.P.ਦਾ ਤੀਸਰਾ ਅਤੇ 9ਵਾਂ ਪਦ ਕੁਮਵਾਰ 4 ਅਤੇ – 8 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਿੰਨਵਾਂ ਪਦ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਕੁਮਵਾਰ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T3 = 4
a + (3 – 1) d = 4
|∵ Tn = a + (n – 1) d
a + 2d = 4
ਅਤੇ T9 = – 8
a + (9 – 1) d = – 8
|∵ Tn = a + (n – 1) d
a + 8d = – 8 …(2)
ਹੁਣ (2) -(1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 7
d ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a + 2 (-2) = 4
a – 4 = 4
a = 4 + 4 = 8
ਹੁਣ Tn = 0
a + (n – 1) d = 0
8 + (n – 1) (-2) = 0
-2 (n – 1) = – 8
n – 1 = 4
n = 4 + 1 = 5
∴ A.P. ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਕਿਸੇ A.P. ਦਾ 17ਵਾਂ ਪਦ ਉਸਦੇ 10ਵੇਂ ਪਦ ਤੋਂ 7 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ । ਇਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d ਕੁਮਵਾਰ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਹੁਣ T17 = a (17 – 1)d
= a + 16d
T10 = a + (10 – 1) d
= a + 9d
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
T17 – T10 = 7
(a + 16d) – (a + 9d) = 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
d = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 1 ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
A.P.:3, 15, 27, 39,.. ਦਾ ਕਿੰਨਵਾ ਪਦ ਉਸਦੇ 54ਵੇਂ ਪਦ ਤੋਂ 132 ਵੱਧ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਕੁਮਵਾਰ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ : 3, 15, 27, 39, …
T1 = 3, T2 = 15,
T3 = 27, T4 = 39
T2 – T2 = 15 – 3 = 12
T3 – T2 = 27 – 15 = 12
∴ d = T2 – T1 = T3 – T2 = 12
T54 = a + (54 – 1) d
= 3 + 53 (12)
= 3 + 636 = 639
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ
Tn = T54 + 132
a + (n – 1) d = 639 + 132
3 + (n – 1) (12) = 771
(n – 1) 12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
n = 64 + 1 = 65
∴ A.P. ਦਾ 65ਵਾਂ ਪਦ ਉਸਦੇ 54ਵੇਂ ਪਦ ਤੋਂ 132 ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਦੋ ਅੰਕ ਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹਨਾਂ ਦੇ 100ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 100 ਹੈ ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਦੇ 1000ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ “a’ ਅਤੇ ‘d’ ਪਹਿਲੀ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
‘A’ ਅਤੇ ‘d’ ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ
[ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ T100] – ਪਹਿਲੀ A.P. ਦਾ T100] = 100
[A+ (100 – 1)d] – [a + (100 – 1)d] = 100
A + 99 d – a – 99 d = 100
A – a = 100 …(1)
ਹੁਣ [ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ T1000] – [ਪਹਿਲੀ A.P. ਦਾ T1000]
= [A + (1000 – 1) d] – a + (1000 – 1) d]
= A + 999d – a – 999 d
= A – a
= 100 [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਤਿੰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 7 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
7 ਨਾਲ ਵੰਡੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਅੰਕਾਂ , ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ।
105, 112, 119,…., 994 .
a = T1 = 105,
T2 = 112, T3 = 119
Tn = 994
T2 – T1 = 112 – 105 = 7
T3 – T2 = 119 – 112 = 7
∴ d = T2 – T1
= T3 – T2 = 7
ਦਿੱਤਾ ਹੈ Tn = 994
a + (n – 1) d = 994
105 + (n – 1) 7 = 994
(n – 1) 7 = 994 – 105
(n – 1) 7 = 889
n – 1 = \(\frac{889}{7}\) = 123
n = 123 + 1 = 124.
∴ ਤਿੰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੀ 124 ਸੰਖਿਆਵਾਂ 7 ਨਾਲ ਵੰਡੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
10 ਅਤੇ 250 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 4 ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣ ਹਨ ?
ਹੱਲ:
10 ਅਤੇ 250 ਦੇ ਵਿਚ 4 ਦੇ ਗੁਣਜ ਹਨ
12, 16, 20, 24, … 248
a = T1 = 12,
T2 = 16, T3 = 20
Tn = 248
T2 – T1 = 16 – 12 =4
T3 – T2 = 20 – 16 = 4
∴ d = T2 – T1 = T3 – T2 = 4
ਦਿੱਤਾ ਹੈ Tn = 248
a + (n – 1)d = 248
12 + (n – 1) 4 = 248
4 (n – 1) = 248 – 12 = 236
n – 1 = \(\frac{236}{4}\) = 59
n = 59 + 1 = 60
∴ 10 ਅਤੇ 250 ਦੇ ਵਿਚ 4 ਦੇ ਗੁਣਜ 60 ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
n ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਲਈ, ਦੋਵੇਂ ਅੰਕ ਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ 63, 65, 67… ਅਤੇ 3, 10, 17… ਦੇ ਵੇਂ ਪਦ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ 63, 65, 67…….
ਇੱਥੇ a = T1 = 63,
T2 = 65, T3 = 67
T2 – T1 = 65 – 63 = 2
T3 – T2 = 67 – 65 =2
∴ d = T2 – T1 = T3 – T2 = 2
ਦੁਸਰੀ A.P. ਹੈ 3, 10, 17, ….
ਇੱਥੇ a = T1 = 3, T2 = 10, T3 = 17
T2 – T1 = 10 – 3 = 7
T3 – T2 = 17 – 10 = 7
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
[ਪਹਿਲੀ A.P ਦਾ ਵਾਂ ਪਦੀ] = [ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ ਸਵਾਂ ਪ]
63 + (n – 1) 2 = 3 + (n – 1)7
63 + 2n – 2 = 3 + 7n -7
61 + 2n = 7n – 4
2n – 7n = -4 – 61
-5n = – 65
n = \(\frac{65}{5}\) = 13

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਉਹ A.P. ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਤੀਜਾ ਪਦ 16 ਹੈ ਅਤੇ 7ਵਾਂ ਪਦ 5ਵੇਂ ਪਦ ਨਾਲੋਂ 12 ਵੱਧ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾਂ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T3 = 16
a + (3 – 1) d = 16
a + 2d = 16 …(1)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ T7 – T5 = 12.
a + (7 – 1) d – [a + (5 – 1) d] = 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12
d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a + 2 (6) = 16
a = 16 – 12 =4
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ 4, 10, 16, 22, 28,……

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 17.
A.P. : 3, 8, 13…, 253 ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਤੋਂ 20 ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ 3, 8, 13, …, 253
ਇੱਥੇ a = T1 = 3, T2 = 8, T3 = 13
Tn = 253
T2 – T1 = 8 – 3 = 5
T3 – T2 = 13 – 8 = 5
∴ d = T2 – T1 = T3 – T2 = 5
ਹੁਣ Tn = 253
3 + (n – 1) 5 = 253
(n – 1) 5 = 250
n – 1 = \(\frac{250}{5}\) = 50 |∵ Tn = a + (n – 1)d
n – 1 = \(\frac{250}{5}\) = 50
(n – 1) = 50
n = 50 + 1 = 51
∴ AP ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਤੋਂ 20ਵਾਂ ਪਦ
= (ਪਦਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ) – 20 +1
= 51 – 20 + 1 = 32ਵਾਂ ਪਦੇ
∴ AP ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਤੋਂ 20ਵਾਂ ਪਦ
= ਸ਼ੁਰੂ ਤੋਂ 32ਵਾਂ ਪਦ
= 3 + (32 – 1) 5 |∵ T = a + (n – 1) d
= 3 + 31 × 5
= 3 + 155 = 158

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 18.
ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ 8ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 4 ਹੈ ਅਤੇ 6ਵੇਂ ਅਤੇ 10ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 4 ਹੈ । ਇਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d` ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
T4 + T8 = 24
a + (4 – 1) d + a + (8 – 1) d = 24
|∵ Tn = a + (n – 1)d
2a + 3d + 7d = 24
2a + 10d = 24
a + 5d = 12 …..(1)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
T6 + T10 = 44
a + (6 – 1)d + a + (10 – 1)d = 44
|∵ Tn = a + (n – 1) d
2a + 5d + 9d = 44 ….(2)
2a + 14d = 4
a + 7d = 22
(2) – (1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 8
‘d’ ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ..
a + 5 (5) = 12
a + 25 = 12
a = 12 – 25 = – 13
T1 = a = -13
T2 = a + d
= – 13 + 5 = – 8
T2 = a + 2d = – 13 + 2 (5)
= -13 + 10 = -3
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ – 13, – 8, -3,…

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 19.
ਸੁਬਾ ਰਾਓ ਨੇ 1995 ਵਿੱਚ ₹ 5000 ਪ੍ਰਤਿ ਮਹੀਨਾ ਤਨਖਾਹ ‘ਤੇ ਕੰਮ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਸਾਲ ₹ 200 ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ । ਕਿਹੜੇ ਸਾਲ ਉਸਦੀ ਤਨਖਾਹ ₹ 7000 ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ ?
ਹੱਲ:
ਸੂਬਾ ਰਾਓ ਦੀ ਅਰੰਭਿਕ ਤਨਖ਼ਾਹ = ₹ 5000
ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧਾ = ₹ 200 ਮੰਨ
ਲਉ ‘n’ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
∴ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = a = ₹ 5000
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = ₹ 200
ਅਤੇ Tn = ₹ 7000
ਹੁਣ 5000 + (n – 1) 200 = 7000
|∵ Tn = a + (n – 1) d
(n – 1) 200 = 7000 – 5000
(n – 1) 200 = 2000
n – 1 = \(\frac{2000}{200}\) = 10
n – 1 = 10
n = 10+1
= 11
ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
1995, 1996, 1997, …
ਇੱਥੇ a = 1995, d= 1 n = 11
∴ Tn = 1995 + (11 – 1) 1
= 1995 + 10 = 2005
ਇਸ ਲਈ 2005 ਵਿਚ ਸੂਬਾ ਰਾਵ ਦੀ ਤਨਖ਼ਾਹ ₹ 7000 ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 20.
ਰਾਮਕਲੀ ਨੇ ਕਿਸੇ ਸਾਲ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ₹ 5 ਦੀ ਬੱਚਤ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਪਣੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਬੱਚਤ ₹ 1.75 ਵਧਾਉਂਦੀ ਗਈ । ਜੇਕਰ ਵੇਂ ਹਫਤੇ ਵਿਚ ਉਸ ਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਬੱਚਤ ₹ 20.75 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ‘n’ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਪਹਿਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਬੱਚਤ = ₹ 5
ਹਰੇਕ ਹਫ਼ਤੇ ਦੀ ਬਚਤ ਵਿਚ ਵਾਧਾ = ₹ 1.75
∴ ਇਹ A.P. ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਦ ਹਨ
T1 = 5, d = 1.75
∴ T2 = 5 + 1.75 = 6.75
T3 = 6.75 + 1.75 = 8.50
Tn = 20. 75 (ਦਿੱਤਾ ਹੈ)
5 + (n -1) 1.75 = 20.75
[∵ Tn = a + (n – 1) d]
(n – 1) 1.75 = 20.75 – 5
(n – 1) 1.75 = 15.75
(n – 1) = \(\frac{1575}{100}\) \(\frac{100}{175}\)
n – 1 = 9
n = 9 + 1 = 10
∴ 10ਵੇਂ ਹਫ਼ਤੇ ਰਾਮਕਲੀ ਦੀ ਬੱਚਤ 20.75 ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.1

1. ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ A.P. ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਉਂ ?

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਹਰੇਕ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦੇ ਬਾਅਦ ਟੈਕਸੀ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਲਈ ਕਿਰਾਇਆ ₹ 15 ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਾਧੂ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ
₹ 8 ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਟੈਕਸੀ ਦਾ ਵੇਂ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ Tn ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
T1 = 15 ਕਿ.ਮੀ. ; T2 = 15 + 8 = 23 ;
T3 = 23 + 8 =31………
ਹੁਣ T3 – T2 = 31 – 23 = 8
T2 – T1 = 23 – 15 = 8
ਇੱਥੇ T3 – T2 = T2 – T1 = 8
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਕਿਸੇ ਬੇਲਨ (cylinder) ਵਿਚ ਹਵਾ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਹਵਾ ਕੱਢਣ ਵਾਲਾ ਪੰਪ ਹਰੇਕ ਵਾਰ ਬੇਲਨ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਹਵਾ ਦਾ \(\frac{1}{4}\) ਹਿੱਸਾ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਬੇਲਨ ਵਿਚ ਭਰੀ ਹਵਾ ਨੂੰ Tn ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1 1
ਇੱਥੇ T3 – T2 ≠ T2 – T1
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਹਰੇਕ ਮੀਟਰ ਦੀ ਖੁਦਾਈ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇੱਕ ਖੂਹ | ਪੁਟੱਣ ਦੀ ਲਾਗਤ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਮੀਟਰ ਖੁਦਾਈ ਦੀ ਲਾਗਤ ₹ 150 ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿ | ਮੀਟਰ ਖੁਦਾਈ ਦੀ ਲਾਗਤ ₹ 50 ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਖੂਹ ਪੁੱਟਣ ਦੇ ਵੇਂ ਮੀਟਰ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨੂੰ Tn ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
T1 = ₹150
T2 = ₹(150 + 50)
= ₹ 200
T3 = ₹ (200 + 50)
= ₹ 250
ਹੁਣੌ T3 – T2 = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
T2 – T1 = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
ਇੱਥੇ T3 – T2 = T2 – T1 = 50
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈਸਥਿਥੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸਾਲ ਦਾ ਮਿਸ਼ਰਧਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ₹ 10000 ਦੀ ਰਕਮ 8 ਸਾਲਾਨਾ ਦਰ ‘ਤੇ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਵਿਆਜ ‘ਤੇ ਜਮਾਂ ਕਰਵਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘n’ਵੇਂ ਸਾਲ ਦਾ ਮਿਸ਼ਰਧਨ Tn ਹੈ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
T1 = ₹ 10,000
T2 = ₹ \(\left[\frac{10,000 \times 8 \times 1}{100}\right]\)
= ₹ 10,000 + ₹ 800 = ਤ₹ 10,800
T3 = ₹ \(\left[\frac{10,800 \times 8 \times 1}{100}\right]\)
= ₹ 10,800 + ₹ 864
= ₹11,640 ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵੀ
ਹੁਣ T3 – T2= ₹ (11,640 – 10,800)
= ₹ 840
T2 – T1= ₹ (10,800 – 10,000)
= ₹ 800 fent
ਇੱਥੇ T3 – T2 6 T2 – T1
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਥਿਤੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

2. ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਲਿਖੋ, ਜਦੋਂ | ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ dਹੇਠ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
a = 10, d= 10
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a = 10
ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 10
∴ T1 = a = 10 ;
T2 = a + d
= 10 + 10 = 20
T3 = a + d = 10 + 2 × 10
= 10 + 20 == 30 ;
T4 = a + 3d = 10 + 3 × 10
= 10 + 30 = 40
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
10, 20, 30, 40….

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
a = -2, d = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = a = -2
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 0
∴ T1 = a = -2 ;
T2 = a + d = -2 + 0 = -2
T3 = a + d = -2 + 2 × 0 = – 2
T4 = a + 3d
– 2 + 3 × 0 = – 2
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ – 2, – 2, — 2, – 2,…………

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
a = 4, d = -3
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = 4 =4
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d = -3
∴ T1 = a = 4 T2 = a + d = 4 – 3 = 1
T3 = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 – 6 = -2
T4 = a + 3d = 4 + 3 (-3) = 4 – 9 = – 5
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
4, 1, – 2, – 5,……….

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ, = a = – 1
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d =\(\frac{1}{2}\)
T1 = a = -1; T2 = a + d
= -1 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
T3 = a + 2d = -1 + 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= -1 + 1 = 0
T 4= a + 3d = -1 + 3\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{-2+3}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
-1, \(\frac{-1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\), ……

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
a = – 1.25, d = – 0.25
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = a = – 1.25
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d = – 0.25
∴ T1 = a = – 1.25;
T2 = a + d = – 1.25 – 0.25 – 1.50
T3 = a + 2d = – 1.25 + 2(0.25)
=- 1.25 – 0.50
= – 1.75
T4 = a + 3d = – 1.25 + 3 (0.25)
– 1.25 – 0.75 = – 2
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
– 1.25, – 1.50, – 1.75, -2, ……..

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

3. ਹੇਠਾਂ ਹਰੇਕ AP. ਦੇ ਲਈ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
3, 1, -1, -3, ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ, 3, 1, – 1, – 3, ….
ਇੱਥੇ T1 = 3, T2 = 1,
T3 = -1, T4 = -3
ਪਹਿਲਾ ਪਦ T1 = 3
ਹੁਣ, T2 – T1 = 1 – 3 = -2
T3 – T2 = – 1 – 1 = -2
T4 – T3 = -3 + 1 = -2
∴ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = -2
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = – 2 ਅਤੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = 3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
-5, -1, 3, 7, ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
-5, – 1, 3, 7, …
ਇੱਥੇ T1 = -5, T2 = -1,
T3 = 3, T4 = 7
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = T1 = -5
T2 – T1 – 1 + 5 = 4
T3 – T2 = 3 + 1 = 4
T4 – T3 = 7 – 3 = 4
∴ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = 4
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = 4
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = – 5

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
\(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), ……
ਇੱਥੇ T1 = \(\frac{1}{3}\), T2 = \(\frac{5}{3}\)
T3 = \(\frac{9}{3}\), T4 = \(\frac{13}{3}\)
ਪਹਿਲਾ ਪਦ T1 = \(\frac{1}{3}\)
ਹੁਣ, T2 – T1 = \(\frac{5}{3}\) – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{5-1}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)
T3 – T2 = \(\frac{9}{3}\) – \(\frac{5}{3}\) = \(\frac{9-5}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)
T4 – T3 = \(\frac{13}{3}\) – \(\frac{9}{3}\) = \(\frac{13-9}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)
∴ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = \(\frac{4}{3}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = \(\frac{4}{3}\)
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = \(\frac{1}{3}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
0.6, 1.7, 28, 39, …..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
0.6, 1.7, 2.8, 3.9,…
ਇੱਥੇ T1 = 0.6, T2 = 1.7,
T3 = 2.8, T4 = 3.9
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = T1 = 0.6
ਹੁਣ T2 – T1 = 1.7 – 0.6 = 1.1
T3 – T2 = 2.8 – 1.7 = 1.1
T4 – T3 = 3.9 – 2.8 == 1.1
∴ T2 = T1 = T3 = T2 = T4 = T3 = 1.1
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = 1.1
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = 0.6

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

4. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ-ਕਿਹੜੇ A.P. ਹਨ ? ਜੇਕਰ ਕੋਈ A.P ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਲਿਖੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2, 4, 8, 16…..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : 2, 4, 8, 16…
ਇੱਥੇ T1 = 2, T2 = 4, T3 = 8, T4 = 16
T2 – T1 = 4 – 2 = 2
T3 – T2 = 8 – 4 = 4
∵ T2 – T1 ≠ T3 – T2
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), ………..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\) …
ਇੱਥੇ T1 = 2, T2 = \(\frac{5}{2}\), T3 = 3, T4 = \(\frac{7}{2}\)
T2 – T1 = \(\frac{5}{2}\) – 2 = \(\frac{5-4}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
T3 – T2 = 3 – \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}\)
T4 – T3 = \(\frac{7}{2}-3=\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}\)
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = \(\frac{1}{2}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = \(\frac{1}{2}\)
ਹੁਣ, T5 = a + 4d = 2 + 4\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 4
T6 = a + 5d = 2 + 5\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}\)
T7 = a + 6d = 2 + 6\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 2 + 3 = 5.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
– 1.2, – 3.2, – 5.2, -7.2 , …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ।
– 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, …
ਇੱਥੇ T1 = – 1.2, T2 = – 3.2,
T3 – 5.2, T4 = – 7.2
T2 – T1 = -3.2 + 1.2 = -2
T3 – T2 = – 5.2 + 3.2 = – 2
T4 – T3 = -7.2 + 5.2 = – 2
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = -2
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = -2
ਹੁਣ, T5 = a + 4d
= – 1.2 + 4(-2)
= -1.2 – 8 = -9.2
T6 = a + 5d = – 1.2 + 5 (-2)
= – 1.2 – 10 = – 11.2
T7 = a + 6d = – 1.2 + 6 (-2)
= -1.2 – 12 = -13.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
– 10, – 6, – 2, 2, ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
– 10, -6, -2, 2, ….
ਇੱਥੇ T1 = – 10, T2 = -6,
T3 = -2, T4 = 2
T2 – T1 = – 6 + 10 = 4
T3 – T2 = – 2 + 6 = 4
T4 – T3 = 2 + 2 = 4
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = 4
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 4
ਹੁਣ, T5 = a + 4d = – 10 + 4 (4)
= – 10 + 16 = 6
T6 = a + 5d = – 10 + 5 (4)
= -10 + 20 = 10
T7 = a + 6d = – 10 + 6(4)
= -10 + 24 = 14

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
3, 3 + \(\sqrt {2}\), 3 + 2\(\sqrt {2}\), 3 + 3\(\sqrt {2}\) , …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ
T1 = 3, T2 = 3 + \(\sqrt {2}\),
T3 = 3 + 2\(\sqrt {2}\), T4= 3 + 3\(\sqrt {2}\)
ਇੱਥੇ T2 – T1 = 3 + \(\sqrt {2}\) – 3 = \(\sqrt {2}\)
T2 – T3 = 3 + 2\(\sqrt {2}\) – (3 + \(\sqrt {2}\))
= 3 + 2\(\sqrt {2}\) – 3 – \(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
T4 – T3 = 3 + 3\(\sqrt {2}\) – (3 + 2\(\sqrt {2}\))
= 3 + 3\(\sqrt {2}\) – 3 – 2\(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
∵ T2 -T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = \(\sqrt {2}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = \(\sqrt {2}\)
ਹੁਣ, T5 = a +4d = 3 + 4 (\(\sqrt {2}\) )
= 3 + 4\(\sqrt {2}\)
T6 = a + 5d = 3 + 5\(\sqrt {2}\)
T7 = a + 6d = 3 + 6\(\sqrt {2}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
T1 = 0.2, T2 = 0.22,
T3 = 0.222,
T4 = 0.2222.
T2 – T1 = 0.22 – 0.2 = 0.02
T3 – T2 = 0.222 – 0.22 = 0.002
T2 – T1 ≠ T3 – T2
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
0, -4, – 8, – 12, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
0, -4, – 8, — 12, ….
ਇੱਥੇ T1, = 0, T2 = -4,
T3 =- 8, T4 = – 12
T2 -T1 = -4 – 0 = -4
T3 – T2 = -8 + 4 = -4
T4 – T3 = – 12 + 8 = -4.
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = -4
ਹੁਣ, T5 = a + 4d = 0 + 4 (-4) = -16
T6 = a + 5d = 0 + 5(-4) = -20.
T7 = a + 6d = 0 + 6(4) = – 24

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
\(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), ……..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
\(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), ……….
ਇੱਥੇ T1 = \(-\frac{1}{2}\), T2 = –\(\frac{1}{2}\)
T3 = \(-\frac{1}{2}\), T4 = \(-\frac{1}{2}\)
T2 – T1 = \(-\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
T3 – T2 = \(-\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
T3 – T2 = \(-\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) =0
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = 0
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = 0 (∵ a = \(\frac{1}{2}\), d = 0)
ਹੁਣ T5 = T6 = T7 = \(-\frac{1}{2}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ix).
1, 3, 9, 27, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : 1, 3, 9, 27
T1 = 1, T2 = 3, T3 = 9, T4 = 27
T2 – T1 = 3 – 1 = 2
T3 – T2 = 9 – 3 = 6
∵ T2 – T2 + T3 – T2
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (x).
a, 2a, 3a, 4a, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : a, 2a, 3a, 4a, …
T1 = a, T2 = 2a, T3 = 3a, T1 = 4a
T2 – T1 = 2a – a = a
T3 – T2 = 3a – 2a = a
T4 – T3 = 4a – 3a = a
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = a
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = a
ਇੱਥੇ T5 = a + 4d = a + 4 (a) = a + 4a = 5a
T6o = a + 5d = a + 5a = 6a
T7 = a + 6d = a + 6d = 7a

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xi).
a, a2, a3, a4, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ a, a2, a3, a4, …
T1 = a, T2 = a, T3 = a2, T4 = a3, T = a4
T2 – T1 = a2 – a
T3 – T2 = a3 – a2
∵ T2 – T1 ≠ T3 – T2
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xii).
\(\sqrt {2}\), \(\sqrt {8}\), \(\sqrt {18}\), \(\sqrt {32}\), ………
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ \(\sqrt {2}\) , \(\sqrt {8}\) , \(\sqrt {18}\) , \(\sqrt {32}\) ,…
ਇੱਥੇ T1 = \(\sqrt {2}\), T2 = \(\sqrt {8}\) ,
T3 = \(\sqrt {18}\) , T4 = \(\sqrt {32}\)
ਜਾਂ T1 = \(\sqrt {2}\), T2 = 2\(\sqrt {2}\),
T3 = 3\(\sqrt {2}\), T4 = 4\(\sqrt {2}\)
T2 – T1 = 2\(\sqrt {2}\) – \(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
T3 – T2 = 3\(\sqrt {2}\) – 2\(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
T4 – T3 = 4\(\sqrt {2}\) – 3\(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = \(\sqrt {2}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = \(\sqrt {2}\)
ਇੱਥੇ T5 = a + 4d = \(\sqrt {2}\) + 4\(\sqrt {2}\) = 5\(\sqrt {2}\)
T6 = a + 5d = \(\sqrt {2}\) + 5\(\sqrt {2}\) = 6\(\sqrt {2}\)
T7 = a + 6d = \(\sqrt {2}\) + 6\(\sqrt {2}\) = 7\(\sqrt {2}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xiii).
\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {6}\), \(\sqrt {9}\), \(\sqrt {12}\), …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ
\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {6}\), \(\sqrt {9}\), \(\sqrt {12}\),…
ਇੱਥੇ T1 = \(\sqrt {3}\), T2 = \(\sqrt {6}\),
T3 = \(\sqrt {9}\), T4 = \(\sqrt {12}\)
ਜਾਂ T1 = \(\sqrt {3}\), T2 = \(\sqrt {6}\),
T3 = 3, T4 = 2\(\sqrt {3}\)
T2 – T1 = \(\sqrt {6}\) – \(\sqrt {3}\)
ਹੁਣ, T23 – T2 = 3 – \(\sqrt {6}\)
∵ T2 – T1 ≠ T3 – T2
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xiv).
12, 32, 52, 72, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ 12, 32, 52, 72……
T1 = 12, T2 = 32, T3 = 52, T4 = 72
ਜਾਂ T1 = 1, T2 = 9, T3 = 25, T4 = 49
T2 – T1 = 9 – 1= 8
T3 – T2 = 25 – 9 = 16
∵ T2 – T1 ≠ T3 – T2
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xv).
12, 52, 72, 73, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ 12, 52, 72, 73, ….
T1 = 12, T2 = 52, T3 = 72, T4 = 73
ਜਾਂ T1 = 1, T2 = 25, T23 = 49, T4 = 73
T2 – T1 = 25 – 1 = 24
T3 – T2 = 49 – 25 = 24
T4 – T3 = 73 – 49 = 24
∵ T2 – T1 = T3 – T2 = T4 – T3 = 24
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 24
T5 = a + 4d = 1 + 4 (24) = 1 + 96 = 97
T6 = a + 5d = 1 + 5 (24) = 1 + 120 = 121
T7 = a + 6d = 1 + 6 (24) = 1 + 144 = 145

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.4

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਤੀ ਪਤਾ ਲਗਾਉ । ਜੇਕਰ ਮੂਲ ਸੰਭਵ ਹੋਣ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2x2 – 3x + 5 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ।
2x2 – 3x + 5 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 2, b = – 3, c = 5
D = b2 – 4ac
= (-3)2 – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= – 31 < 0
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
3x2 – 4\(\sqrt {3}\) x + 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
3x2 – 4\(\sqrt {3}\)x + 4 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ
∴ a = 3, b = -4\(\sqrt {3}\), c = 4
D = b2 – 4ac
= (-4\(\sqrt {3}\)x)2 -4 x 3 x 4
= 48 – 48 = 0
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਮੂਲ ਹਨ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4 1
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) ਅਤੇ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
2x2 – 6x + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 – 6x + 3 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ
∴ a = 2, b = – 6, c = 3
D = b2 – 4ac
= (-6)2 – 4 × 2 × 3
= 36 – 24
= 12 > 0
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੂੰ ਅਤੇ ਅਲਗ-ਅਲਗ ਮੂਲ ਹਨ :
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4 2
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\) ਹਨ ।

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿਚ k ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸ ਦੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਮੂਲ ਹੋਣ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2x2 + kx + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 + kx + 3 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 2, b = k, c = 3
∵ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ
∴ D = 0
b2 – 4ac = 0
(k)2 – 4 × 2 × 3 = 0
k2 – 24 = 0 .
k2 = 24
k2 = ±\(\sqrt {24}\)
k = ±2\(\sqrt {6}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
kx (x – 2) + 6 = 0.
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
kx(x – 2) + 6 = 0
kx2 – 2kx + 6 = 0
ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = k, b = -2k, c = 6
∵ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਬਰਾਬਰ | ਹਨ।
∴ D = 0
b2 – 4ac = 0
(-2k)2 – 4 × k × 6 = 0
4k2 – 24k = 0
4k [k – 6] = 0
ਭਾਵ 4k = 0 ਜਾਂ k – 6 = 0
k = 0 ਜਾਂ . k = 6
∴ k = 0, 6

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਕੀ ਅਜਿਹਾ ਅੰਬਾਂ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਲਗਾਉਣਾ | ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 800 m ਹੋਵੇ । ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੈ ਤਾਂ ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x m
ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 2x m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਲੰਬਾਈ × ਚੌੜਾਈ
= [x × 2x] ਮੀ.2
= 2x2 ਮੀ.2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ,
2x2 = 800
x2 = \(\frac{800}{2}\) = 400
x = ±\(\sqrt {400}\)
x = ±20
∵ ਬਾਗ਼ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ।
∴ ਅਸੀਂ x = 20 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 20
∴ ਬਾਗ਼ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 20 m
ਬਾਗ਼ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= (2 × 20) m = 40 m

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਕੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਥਿਤੀ ਸੰਭਵ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਹਾਂ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ । ਦੋ ਮਿੱਤਰਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 20 ਸਾਲ ਹੈ । ਚਾਰ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 48 ਸੀ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਦੂਸਰੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = (20 – x) ਸਾਲ
ਚਾਰ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ :
ਪਹਿਲੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = (x – 4) ਸਾਲ
ਦੂਸਰੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = (20 – x – 4) ਸਾਲ
= (16 – x) ਸਾਲ
ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x2 – 64 + 4x
= -x2 + 20x – 64
ਪ੍ਰਸ਼ਨੇ ਅਨੁਸਾਰ,
-x2 + 20x – 64 = 48
-x2 + 20x – 64 – 48 = 0
-x2 + 20x – 112 = 0
x2 – 20x + 12 = 0 …(1)
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = – 20, c = 112
D = b2 – 4ac
= (-20)2 – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= – 48 < 0
∵ ਮੂਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ
∴ ਦਾ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਥਿਤੀ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਕੀ ਪਰਿਮਾਪ 80 m ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ 400 m2 ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਰਕ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ? ਜੇਕਰ ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x ਮੀ.
ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = y ਮੀ.
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ =2 (x + y) ਮੀ.
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = xy ਮੀ.2
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
2 (x + y) = 80
x + y = \(\frac{80}{2}\) = 40
y = 40 – x …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
xy = 400
x(40 – x) = 400 [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ]
ਜਾਂ 40x – x2 = 400
ਜਾਂ 40x – x2 – 400 = 0
ਜਾਂ x2 – 40x + 400 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + b + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = -40, c = 400
D = b2 – 4ac
= (-40)2 – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600 = 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4 3
ਹੁਣ x = 20, ਤਾਂ (1) ਤੋਂ
y = 40 – 20 = 20
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਦਾ | ਮਾਪ 20 m ਬਰਾਬਰ ਹੈ ।
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਸੰਭਵ ਹੈ । ਇਹ ਵਰਗ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.3

1. ਜੇਕਰ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਸੰਭਵ ਹੋਣ ਤਾਂ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਰਾਹੀਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2x2 – 7x + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 – 7x + 3 = 0
ਜਾਂ 2x2 – 7x = – 3
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 1
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 2
ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ 3, \(\frac{1}{2}\) ਹਨ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x2 + x – 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 + x – 4 = 0
ਜਾਂ 2x2 + x = 4
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 3
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 4
ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ: \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) ਅਤੇ \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
4x2 + 4\(\sqrt {3}\) x + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
4x2 + 4\(\sqrt {3}\)x + 3 = 0
ਜਾਂ 4x2 + 4\(\sqrt {3}\)x = – 3
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 5
ਜਾਂ x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
ਜਾਂ x = \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ :
\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
2x2 + x + 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 + x + 4 = 0
ਜਾਂ 2x2 + x = -4
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 6
∵ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ।
∴ (x + \(\frac{1}{4}\))2, x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ।
∴ ਇੱਥੇ x ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ।
∴ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਉਪਰੋਕਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨ (1) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ ਘਾਤੀ | ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਲਗਾਉ ॥
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 – 7x + 3 = 0
ਇਸਦੀ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਤੇ ।
a = 2, b = – 7, c = 3
ਹੁਣ b2 – 4ac = (-7) – 4 × 2 × 3
= 49 – 24
= 25 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 7
∴ 3 ਅਤੇ \(\frac{1}{2}\)ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

(ii) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 + x – 4 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = 1, c = – 4
ਹੁਣ b2 – 4ac = (1)2 – 4 × 2 × (-4)
= 1 + 32
= 33 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 8
ਇਸ ਲਈ \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) ਅਤੇ \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

(iii) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
4x2 + 4\(\sqrt {3}\) + 3 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ :
∴ a = 4, b = 4\(\sqrt {3}\) , c = 3
ਹੁਣ b2 – 4ac = (4\(\sqrt {3}\))2 – 4 × 4 × 3
= 48 – 48 = 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 9
\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

(iv) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 + x + 4 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + 0 = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 2, b = 1, c = 4
ਹੁਣ b2 – 4ac = (1)2 – 4 × 2 × 4
= 1 – 32 = – 31 < 0
∴ x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
ਕਿਉਂਕਿ ਇਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ । ਇਸ ਲਈ x ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੂਲ ਹੀਂ ਹੈ !
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
ਉਪਰ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੁਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵਾਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤਾ ਹੈ । ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ, ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

3. ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
x – \(\frac{1}{x}\) = 3
ਜਾਂ \(\frac{x^{2}-1}{x}\) = 3
ਜਾਂ x2 – 1 = 3x
ਜਾਂ x2 – 3x – 1 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 3, c = – 1
ਹੁਣ b2 – 4ac = (-3)2 – 4. 1 (-1)
= 9 + 4 = 13 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 10
ਇਸ ਲਈ \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
\(\frac{1}{x+4}\) – \(\frac{1}{x-7}\) = \(\frac{11}{30}\), x ≠ -4, 7
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
\(\frac{1}{x+4}\) – \(\frac{1}{x-7}\) = \(\frac{11}{30}\)
ਜਾਂ \(\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}\) = \(\frac{11}{30}\)
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 11
ਜਾਂ -11 × 30 = 11 (x2 – 3x – 28)
ਜਾਂ x2 – 3x – 28 + 30 = 0
ਜਾਂ x2 – 3x + 2 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 3, c = 2
ਹੁਣ, b2 – 4ac = (-3)2 – 4 × 1 × 2
= 9 – 8
= 1 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 12
∴ 2 ਅਤੇ 1 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
3 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਉਮਰ (ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਅਤੇ ਹੁਣ ਤੋਂ ਪੰਜ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਉਲਟਮਾਂ ਦਾ ਜੋੜ \(\frac{1}{3}\) ਹੈ । ਉਸ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
3 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਉਮਰ = (x – 3) ਸਾਲ
ਹੁਣ ਤੋਂ 5 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 5) ਸਾਲ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{1}{x-3}\) + \(\frac{1}{x+5}\) = \(\frac{1}{3}\)
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 13
ਜਾਂ 6x + 6 = x2 + 2x – 15
ਜਾਂ x2 + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
ਜਾਂ x2 – 4x – 21 = 0, ਜੋ ਕਿ 1 ਵਿਚ ਦੋ ਘਾਤ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 4, c = – 21
ਹੁਣ b2 – 4ac = (-4)2 – 4 × 1 × (21)
= 16 + 84
= 100 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 14
= 7 ਅਤੇ – 2
∵ ਉਮਰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ
∴ x = – 3 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 7
∴ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ x = 7 ਸਾਲ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਟੈਸਟ ਵਿਚ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 30 ਹੈ । ਜੇਕਰ ਉਸ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਵਿਚ 2 ਅੰਕ ਵੱਧ ਅਤੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਵਿਚ 3 ਅੰਕ ਘੱਟ ਮਿਲੇ ਹੁੰਦੇ ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 20 ਹੁੰਦਾ । ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਦੋਵੇਂ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਨੇ ਗਣਿਤ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਅੰਕ = x
∴ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ = 30 – x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਵਿਚ ਅੰਕ = x + 2
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਅੰਗੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਅੰਕ
= 30 – x – 3
= 27 – 1
∴ ਉਸਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (x + 27) (27 – x)
= 27x – x2 + 54 – 2x
= -x2 + 25x + 54
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
-x2 + 25x + 54 = 210
ਜਾਂ -x2 + 25x + 54 – 210 = 0
ਜਾਂ -x2 + 25x – 156 = 0
ਜਾਂ x2 – 25x + 156 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = – 25, c = 156
ਹੁਣ b2 – 4ac = (-25)2 – 4 × 1 × 156
= 625 – 624
= 1 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 15
= 13 ਅਤੇ 12
ਸਥਿਤੀ I.
ਜਦੋਂ x = 13
∴ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਅੰਕ = 13
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਦੇ ਅੰਕ = 30 – 13 = 17
ਸਥਿਤੀ II.
ਜਦੋਂ = 12
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਅੰਕ = 12
ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਦੇ ਅੰਕ = 30 – 12 = 18
∴ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਦੋ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੇ ਅੰਕ ਹਨ : 13 ਅਤੇ 17 ਜਾਂ 12 ਅਤੇ 18

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦਾ ਵਿਕਰਣ ਉਸਦੀ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ ਤੋਂ 60 m ਲੰਬਾ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਵੱਡੀ ਭੁਜਾ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ ਤੋਂ 30 m ਵੱਧ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਖੇਤ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ
= AD = x m
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 16
ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਵੱਡੀ ਭੁ
= AB = (x + 30) m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦਾ ਵਿਕਰਣ
= DB = (x+ 60) m
ਇਕ ਆਇਤ ਵਿਚ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ } ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
∴ ∠AB = 90°
ਹੁਣ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ DAB ਵਿਚ
ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ
(DB)2 = (AD)2 + (AB)2
(x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2
ਜਾਂ x2 + 3600 + 120x
= x2 + x2 + 900 + 60x
ਜਾਂ x2 + 3600 + 120x – 2x2 – 900 – 60x = 0
ਜਾਂ -x2 + 6x + 2700 = 0
ਜਾਂ x2 – 60x – 2700 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਣਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 60, c = – 2700
ਅਤੇ b2 – 4ac = (-60)2 – 4 . 1. (-2700)
= 3600 + 10800
= 14400 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 17
= 90 ਅਤੇ -30
∵ ਕਿਸੇ ਖੇਤ ਦੀ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ ਅਸੀਂ x = -30 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 90
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ
= 90 m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਭੁਜਾ
= (9) + 30)
= 120 m

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 180 ਹੈ । ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ, ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅੱਠ ਗੁਣਾ ਹੈ । ਦੋਵੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ = 1
ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ =y ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x2 – y2 = 180 ….(i)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
2 = 8z …(ii)
(i) ਅਤੇ (ii) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x2 – 8x = 180
ਜਾਂ x2 – 8x – 180 = 0
ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = – 8, c = – 180
ਅਤੇ b2 – 4ac = (-8)2 – 4 × 1 × (-180)
= 64 + 720
= 784 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 18
= 18 ਅਤੇ – 10
ਜਦੋਂ x = – 10 ਤਾਂ, (ii) ਤੋਂ
y2 = 8 (-10) = – 80, ਜੋ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ
∴ ਅਸੀਂ x = – 10 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
ਜਦੋਂ x = 18, ਤਾਂ (2) ਤੋਂ,
y2 = (18) 8 = 144
ਜਾਂ y = ±\(\sqrt {144}\)
ਜਾਂ y = ±12
∴ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ 18 ਅਤੇ 12 ਜਾਂ 18 ਅਤੇ – 12

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ ਰੇਲਗੱਡੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ 360 km ਦਾ ਸਫ਼ਰ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹ ਚਾਲ 5 km/h ਵੱਧ ਹੁੰਦੀ ਤਾਂ ਉਹ ਉਸੇ ਸਫ਼ਰ ਲਈ 1 ਘੰਟਾ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ । ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਇਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ = x km/h
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 360 km
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 19
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਵੱਧੀ ਹੋਈ ਚਾਲ = (x + 5) km/h
∴ ਵੱਧੀ ਹੋਈ ਚਾਲ ਨਾਲ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲੱਗਿਆ ਸਮਾਂ
= \(\frac{360}{x+5}\)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{360}{x}\) – \(\frac{360}{x+5}\) = 1
\(\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}\) = 1
\(\frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}\) = 1
1800 = x2 + 5x
x2 + 5x – 1800 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = 5, c = – 1800
ਅਤੇ b2 – 4ac = (5)2 – 4 × 1 × (-1800)
= 25 + 7200
= 7225 > 0.
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 20
= 40 ਅਤੇ – 45
∴ ਕਿਸੇ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ਅਸੀਂ x = – 45 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 40
∴ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = 40 km/h

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਦੋ ਟੁੱਟੀਆਂ ਮਿਲਕੇ ਇੱਕ ਹੌਜ ਨੂੰ 9\(\frac{3}{8}\) ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ । ਵੱਡੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਟੁੱਟੀ, ਘੱਟ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਟੁੱਟੀ ਤੋਂ 10 ਘੰਟੇ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਟੁੱਟੀ ਦੁਆਰਾ ਹੌਜ਼ ਨੂੰ ਭਰਨ ਲਈ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ | ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਵੱਡੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿਚ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ = x
ਘੰਟੇ ਛੋਟੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਲੈਂਦੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ = (x + 10)
ਘੰਟੇ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
ਵੱਡੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰ ਸਕਦੀ ਹੈ = \(\frac{1}{x+10}\)
∴ ਵੱਡੀ ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ
= \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{x+10}\) ….(1)
ਪਰ ਦੋਵੇਂ ਟੁੱਟੀਆਂ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿਚ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂ ਲੈਣਗੀਆਂ
= 9\(\frac{3}{8}\) ਘੰਟੇ = \(\frac{75}{8}\) ਘੰਟੇ
ਹੁਣ ਦੋਵੇਂ ਟੁੱਟੀਆਂ ਇਕ ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਹੌਜ਼ ਭਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ
= \(\frac{8}{75}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 21
75 (2x + 10) = 8(x2 + 10x)
150x + 750 = 8x2 + 80x
ਜਾਂ 8x2 + 80 – 150x – 750 = 0
8x2 – 70x – 750 = 0
4x2 – 35x – 375 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ ,
∴ a = 4, b = – 35, c = – 375
ਅਤੇ b2 – 4ac = (-35)2 –4 × 4 × (375)
= 1225 + 6000
= 7225 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 22
∵ ਸਮਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ x = \(\frac{-25}{4}\)ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 15
ਇਸ ਲਈ ਵੱਡੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿਚ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ = 15 ਘੰਟੇ
ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ
= (15 + 10) ਘੰਟੇ
= 25 ਘੰਟੇ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਮੈਸਰ ਅਤੇ ਬੰਗਲੌਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 132 km ਦਾ ਸਫ਼ਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈੱਸ ਰੇਲਗੱਡੀ, ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਤੋਂ 1 ਘੰਟਾ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ । ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਸਟੇਸ਼ਨਾਂ ਤੇ ਰੁਕਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਾ ਰੱਖਿਆ । ਜਾਵੇ) ਜੇਕਰ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ, ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ ਤੋਂ 11 km/h ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਰੇਲਗੱਡੀਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= x km/h
ਐਕਸਪ੍ਰੈੱਸ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= (x + 11) km/h
ਮੈਸੂਰ ਅਤੇ ਬੰਗਲੌਰ ਵਿਚ ਦੂਰੀ
= 132 ਕਿ.ਮੀ.
ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਸਮਾਂ = \(\frac{132}{x}\) ਘੰਟੇ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 23
1452 = x2 + 11x
ਜਾਂ x2 + 11x – 1452 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax2 + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = 11, c = – 1452
ਅਤੇ b2 – 4ac = (11)2 – 4 × 1 × (- 1452)
= 121 + 5808
= 5929 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 24
= \(\frac{66}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{-88}{2}\)
= 33, – 44
∵ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ x = 33
∴ ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= 33 km/h.
ਅਤੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈੱਸ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= (33 + 11) km/h
= 44 km/h

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 48 m2 ਹੈ । ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਰਿਮਾਪਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 24 m ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਵਰਗਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲਾਂ ਵੱਡੇ ਵਰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ
ਮੰਨ ਲਓ ਵਰਗ ਦੀ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x m
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = x2 m2
ਵਰਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 4x m
ਛੋਟੇ ਵਰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ
ਮੰਨ ਲਓ ਵਰਗ ਦੀ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= y m
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = y2
ਵਰਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 4y m
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
x2 + y2 = 468 …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
4x – 4y = 24
4(x – y) = 24
x – y = 6
ਜਾਂ x = 6 + y ….(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
(6 + y)2 + y2 = 468
36 + y2 + 12y + y2 = 468
2y2 + 12y + 36 – 468 = 0
2y2 + 12y – 432 = 0
y2 + 6y – 216 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ay2 + by + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = 6, c = – 216
ਅਤੇ b2 – 4ac = (6)2 – 4 × 1 × (216)
= 36 + 864
= 900 > 0
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 25
= 12 ਅਤੇ – 18
∵ ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ ਅਸੀਂ y = – 18 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ y = 12
(2) ਤੋਂ, x = 6 + 12 = 18
∴ ਦੋਵੇਂ ਵਰਗਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ
12 m ਅਤੇ 18 m ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.2

1. ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਰਾਹੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੁਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x2 – 3x – 10 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
x2 – 3x – 10 = 0 | S = – 3
x2 – 5x + 2x – 10 = 0 | P = – 10
x(x – 5) + 2 (x – 5) = 0
(x – 5) (x + 2) = 0
ਭਾਵ x – 5 = 0 ਜਾਂ x + 2 = 0
x = 5 ਜਾਂ x = – 2
∴ 5 ਅਤੇ – 2 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x2 + x – 6 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
2x2 + x – 6 = 0 |S = 1
ਜਾਂ 2x2 + 4x – 3x – 6 = 0 |P = – 6 × 2 = -12
2x (x + 2) – 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2x – 3) = 0
ਭਾਵ x + 2 = 0 ਜਾਂ 2x – 3 = 0
x = – 2 ਜਾਂ x = \(\frac{3}{2}\)
ਭਾਵ – 2 ਅਤੇ \(\frac{3}{2}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\sqrt {2}\) x2 + 7x + 5\(\sqrt {2}\) = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
\(\sqrt {2}\)x2 + 7x + 5\(\sqrt {2}\) = 0 |S = 7
|P = \(\sqrt {2}\) × \(\sqrt {5}\)
= 10
ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x2 + 2x + 5x + 5\(\sqrt {2}\) = 0
ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x(x + \(\sqrt {2}\)) + 5(x +\(\sqrt {2}\)) = 0
ਜਾਂ (x + \(\sqrt {2}\)) (\(\sqrt {2}\)x + 5) = 0
ਭਾਵ x + \(\sqrt {2}\) = 0 ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x + 5 = 0
x = \(-\sqrt {2}\) x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)
ਇਸ ਲਈ, \(\sqrt {2}\) ਅਤੇ \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
2x2 – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x2 – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
ਜਾਂ \(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
S = – 8
|P = 16 × 1 = 16
16x2 – 8x + 1= 0,
16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1 (4x – 1) = 0
ਜਾਂ (4x – 1) (4x – 1) = 0
ਭਾਵ 4x – 1 = 0
ਜਾਂ 4x – 1 = 0
4x = 1 4x = 1
x =\(\frac{1}{4}\) ਜਾਂ x = \(\frac{1}{4}\)
ਇਸ ਲਈ \(\frac{1}{4}\) ਅਤੇ \(\frac{1}{4}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
100x2 – 20x + 1 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
100x2 – 20x + 1 = 0
100x2 – 10x – 10x + 1 = 0 | S = – 20
| P = 100 × 1
= 100
ਜਾਂ 10x (10x – 1) – (10x – 1) = 0
ਜਾਂ (10x – 1) (10x – 1) = 0
ਭਾਵ 10x – 1 = 0 ਜਾਂ 10x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{10}\) ਜਾਂ x = \(\frac{1}{10}\)
ਇਸ ਲਈ \(\frac{1}{10}\) ਅਤੇ \(\frac{1}{10}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

2. ਉਦਾਹਰਣ 1 ਵਿਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕਥਨ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਜਾਂਨ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੋਹਾਂ ਕੋਲ ਕੁੱਲ 45 ਬੰਦੇ ਹਨ । ਦੋਵੇਂ ਪੰਜ-ਪੰਜ ਬੰਟੇ ਗੁਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 124 ਹੈ । ਅਸੀਂ ਜਾਨਣਾਂ ਚਾਹਾਂਗੇ ਕਿ | ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ-ਕਿੰਨੇ ਬੰਟੇ ਸਨ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਜਾਂਨ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = x
ਰੇਖਾ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 45 – x
ਜਾਂਨ ਦੇ 5 ਬੰਟੇ ਗੁਆਉਣ ਪਿਛੋਂ ਗਿਣਤੀ = x – 5
ਰੇਖਾ ਦੇ 5 ਬੰਟੇ ਗੁਵਾਉਣ ਪਿਛੋਂ ਗਿਣਤੀ
= 45 – x – 5
= 40 – x
ਇਸ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= – x2 + 45x – 200
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
-x2 + 45x – 200 = 124
-x2 + 45x – 324 = 0 |S = – 45,
ਜਾਂ x2 – 45x + 324 = 0 | P = 324
x2 – 36x – 9x + 324 = 0
ਜਾਂ x(x – 36) – 9 (x – 36) = 0
ਜਾਂ (x – 36) (x – 9) = 0
ਭਾਵ x – 36 = 10 ਜਾਂ x – 9 = 0
x = 36 ਜਾਂ x = 9
∴ x = 36, 9
ਇਸ ਲਈ, ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਸੀ 36 ਅਤੇ 9 ਜਾਂ 9 ਅਤੇ 36 ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਇਕ ਘਰੇਲੂ ਉਦਯੋਗ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਕੁਝ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ ਮੁੱਲ (₹ ਵਿਚ) 55 ਵਿਚੋਂ | ਇੱਕ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਟਾਉਣ ਉਪਰੰਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦਿਨ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਉਣ ‘ਤੇ ਕੁੱਲ ਖਰਚ ਤੇ 750 ਸੀ । ਅਸੀਂ ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹਾਂਗੇ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਉਸ ਦਿਨ ਨਿਰਮਾਣ ਕੀਤੇ ਖਿਡੌਣੇ = x
ਉਸ ਦਿਨ ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ (₹ ਵਿੱਚ) = 55 – x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x (55 – x) = 750
ਜਾਂ 55x – x2 = 750
ਜਾਂ -x2 + 55x – 750 = 0 | S = – 33,
ਜਾਂ x2 – 55x + 750 = 0 | P = 750
ਜਾਂ x2 – 30x – 25x + 750 = 0
ਜਾਂ x (x – 30) – 25 (x – 30) = 0
ਜਾਂ (x – 30) (x – 25) = 0
ਭਾਵ x – 30 = 0 ਜਾਂ x – 25 = 0
x = 30 ਜਾਂ x = 25
∴ x = 30, 25
ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 30 ਅਤੇ 25 ਜਾਂ 25 ਅਤੇ 30 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 27 ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ 182 ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ = 1
ਦੂਸਰੀ ਸੰਖਿਆ = 27 – x
ਇਸ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = x (27 – x)
= 27x -x2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
27x – x2 = 182
ਜਾਂ x2 + 27x – 182 = 0 | S = – 27
ਜਾਂ x2 – 27x + 182 = 0 | P = 182
ਜਾਂ x2 – 13x – 14x + 182 = 0
ਜਾਂ x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
ਜਾਂ (x – 13) (x – 14) = 0
ਭਾਵ x – 13 = 0 ਜਾਂ x – 14 = 0
x = 13 ਜਾਂ x = 14
∴ x = 13, 14
ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 13 ਅਤੇ 14 ਜਾਂ 14 ਅਤੇ 13 ਹਨ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 365 ਹੋਵੇ
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = x
ਦੂਸਰੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = x + 1
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
(x)2 + (x + 1)2 = 365
ਜਾਂ , x2 + x2 + 1 + 2x = 365
ਜਾਂ 2x2 + 2x + 1 – 365 = 0
ਜਾਂ 2x2 + 2x – 364 = 0
ਜਾਂ x2 + x – 182 = 0
ਜਾਂ x2 + 14x – 13x – 182 = 0
ਜਾਂ x(x + 14) – 13 (x + 14) = 0
ਜਾਂ (x + 14) (x – 13) = 0
ਭਾਵ x + 14 = 0 , ਜਾਂ x – 13 = 0
x = – 14 ਜਾਂ x = 13
∵ ਸਾਨੂੰ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਇਸ ਲਈ x =- 14 ਨਹੀਂ ਹੈ ।
∴ x = 13
∴ ਪਹਿਲੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = 13
ਦੂਸਰੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = 13 + 1 = 14
ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 13 ਅਤੇ 14

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਇਸ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੋਂ 7 cm ਘੱਟ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਕਰਣ 13 cm ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਦੋ । ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = x cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (ਲੰਬ) = x – 7 cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਕਰਣ = 13 cm ……(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਪਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ,
(ਅਧਾਰ)2 + (ਲੰਬ)2 = (ਕਰਣ)2
(x)2 + (x – 7)2 = (13)2
ਜਾਂ x2 + x2 + 49 – 14x = 169
ਜਾਂ 2x2 – 14x + 49 – 169 = 0
2x2 – 14x – 120 = 0
ਜਾਂ 2 [x2 – 7x – 60] = 0
ਜਾਂ x2 – 7x – 60 = 0 | S = 7
ਜਾਂ x2 – 12x + 5x – 60 = 0 | P = – 60
ਜਾਂ x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
ਜਾਂ (x – 12) (x + 5) = 0
ਭਾਵ x – 12 = 0 ਜਾਂ x + 5 = 0
x = 12 ਜਾਂ x = – 5
ਇਸ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ x = -5 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 12
∴ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = 12 cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (ਲੰਬ) = (12 – 7) cm
= 5 cm

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇਕ ਘਰੇਲੂ ਉਦਯੋਗ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਕੁਝ ਬਰਤਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਇੱਕ ਦਿਨ ਇਹ ਵੇਖਿਆ ਗਿਆ ਕਿ ਹਰੇਕ | ਨਗ ਦੀ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ (ਰੁਪਇਆਂ ਵਿਚ) ਉਸ ਦਿਨ | ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ 3 ਵੱਧ ਸੀ । ਜੇਕਰ ਉਸ ਦਿਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ ₹ 90 ਸੀ | ਤਾਂ ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨਗ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਇਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = x
ਹਰੇਕ ਨਗ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹ (2x + 3)
∴ ਇਕ ਦਿਨ ਤੇ ਕੁਲ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ
= ₹ [x (2x + 3)]
= ₹ (2x2 + 3x)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
2x2 + 3x = 90
| S = 3,
P = 2 × -90
= – 180
2x2 + 3x – 90 = 0
ਜਾਂ 2x2 – 12x + 15x – 90 = 0
ਜਾਂ 2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
ਜਾਂ (x – 6) (2x + 15) = 0
ਭਾਵ x – 6 = 0 ਜਾਂ 2x + 15 = 0
x = 6 ਜਾਂ x = \(\frac{-15}{2}\)
∵ ਨਗਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ।.
∴ ਅਸੀਂ x = \(\frac{-15}{2}\) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 6
∴ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਦਿਨ ਨਗਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 6
ਹਰੇਕ ਨਗ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹(2 × 6 + 3)
= ₹15