Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.1

1. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਘਾਤੀ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
(x + 1)² = 2 (x – 3)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x + 1)² = 2 (x – 3)
ਜਾਂ x² + 1 + 2x = 2x – 6
ਜਾਂ x² + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
ਜਾਂ x² + 7 = 0
x² + 0x + 7 = 0
ਜੋ ਕਿ x² + bx + 0 = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
x² – 2x = (-2) (3 – x)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
x² – 2x = (-2) (3 – x)
x² – 2x = – 6 + 2x
ਜਾਂ x² – 2x + 6 – 2x = 0
ਜਾਂ x² – 4x + 6 = 0
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + 0 = 0; a ≠ 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ |
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
ਜਾਂ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
ਜਾਂ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
ਜਾਂ x² – x – 2 – x² – 2x + 3 =0
– 3x + 1 = 0,
ਜਿਸ ਵਿਚ x² ਦਾ ਕੋਈ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
ਜਾਂ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
ਜਾਂ 2x² – 5x – 3 – x² – 5 = 0
ਜਾਂ x² – 10x – 3 = 0
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
ਜਾਂ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
ਜਾਂ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x + 5 = 0
x² – 11x + 8 = 0
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + x = 0, a ≠ 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
ਜਾਂ x² + 3x + 1 = x² + 4 – 4x
ਜਾਂ x² + 3x + 1 – x² – 4 + 4x = 0
ਜਾਂ 7x – 3 = 0
ਜਿਸ ਵਿੱਚ x² ਦਾ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
(x + 2)² = 2x(x² – 1)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
ਜਾਂ x³ + (2)³ + 3(x)²2 + 3x (2)²
= 2x³ – 2x
ਜਾਂ x³ + 8 + 6x² + 12x = 23x³ – 2x
ਜਾਂ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0
ਜਾਂ – x³ + 6x² + 14x – 8 = 0
ਇੱਥੇ x ਦੀ ਉੱਚਤਮ ਘਾਤ 3 ਹੈ ।
ਇਹ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ।
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
ਜਾਂ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – (2)³ + 3 (x)² (-2) + 3 (x) (- 2)²
ਜਾਂ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x
ਜਾਂ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 8 + 6x² – 12x = 0
ਜਾਂ 2x² – 13x + 9 = 0.
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਬਦਲੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 528 m² ਹੈ । ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ । ਅਸੀਂ ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = x m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = (2x + 1) m
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= [x (2 + 1)] m²
= (2x² + x) m²
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ 2x² + x = 528
|S = 1
P = – 528 × 2
= – 1056
ਜਾਂ 2x² + x – 528 = 0
2x² – 32x + 33x – 528 = 0
2x (x – 16) + 33 (x – 16) = 0
(x – 16) (2x + 33) = 0
ਭਾਵ x – 16 = 0 ਜਾਂ 2x + 33 = 0
x = 16 ਜਾਂ x = \(\frac{-33}{2}\)
∴ ਕਿਸੇ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ \(\frac{-33}{2}\) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 16
ਪਲਾਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 16 m
ਲੰਬਾਈ = (2 × 16 + 1) = 33 m
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ।
2x² + x – 528 = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 306 ਹੈ | ਅਸੀਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨੀਆਂ ਹਨ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ x ਅਤੇ x + 1 ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
ਸੰਪੁਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = x (x + 1)
= x² + x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x² + x = 306
ਜਾਂ x² + x – 306 = 0
| S = 1,
| P = – 306
x² + 18 – 17x – 306 = 0
x(x + 18) – 17 (x + 18) = 0
(x + 18) (x – 17) = 0
x = – 18 ਜਾਂ x = 17
∵ ਅਸੀਂ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨੀਆਂ ਹਨ ।
∴ ਅਸੀਂ x = -18 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 17
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
17, 17 + 1 = 18
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
x² + x – 306 = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਉਸ ਨਾਲੋਂ 26 ਸਾਲ ਵੱਡੀ ਹੈਂ । ਹੁਣ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਉਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 360 ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ ਅਸੀਂ ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 26) ਸਾਲ
3 ਸਾਲ ਬਾਅਦ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 3) ਸਾਲ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 26 + 3) ਸਾਲ
= (x + 29) ਸਾਲ
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
= (x + 3) (x + 29)
= x² + 29x + 3x + 87
= x² + 32x + 87
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x² + 32x + 87 = 360
x² + 32x + 87 – 360 = 0
x² + 32x – 273 = 0
|S = 32,
|P = – 273
x² + 39x – 7x – 273 = 0
x(x + 39) – 7(x + 39) = 0
(x + 39) (x – 7) = 0
ਭਾਵ x + 39 = 0 ਜਾਂ x – 7 = 0
x = – 39 ਜਾਂ x = 7
∵ ਕਿਸੇ ਆਦਮੀ ਦੀ ਉਮਰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਅਸੀਂ x = – 39 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 7
ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = 7 ਸਾਲ
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ :
x² + 32x – 273 = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਇਕ ਰੇਲਗੱਡੀ 480 km ਦੀ ਦੂਰੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਸਦੀ ਚਾਲ 8 km/h ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਤਾਂ ਉਹ ਉਸ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ 3 ਘੰਟੇ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ | ਅਸੀਂ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ = x ਘੰਟੇ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 480 km

ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਨਵਾਂ ਸਮਾਂ = (x + 3) ਘੰਟੇ
ਦੁਰੀ = 480 km
ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ

ਜਾਂ -8x² + 456x + 1440 – 480x = 0
-8x² – 24x + 1440 = 0
-8[x² + 3x – 180] = 0
x² + 3x – 180 = 0
x² + 15x – 12x – 180 = 0
x(x + 15) – 12(x + 15) = 0
(x + 15) (x – 12) = 0
ਭਾਵ x + 15 = 0 ਜਾਂ x – 12 = 0
x = – 15 ਜਾਂ x = 12
∵ ਸਮਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ x = – 15 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 12
ਹੁਣ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਸਮਾਂ = 12 ਘੰਟੇ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਦੂਰੀ = 480 km/h
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = \(\left(\frac{480}{12}\right)\)km/h
= 40 km/h
∴ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = 40 km/h
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
x² + 3x – 180 = 0

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.2

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਬਣਾਉ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫੀ (ਆਲੇਖੀ) ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਜਮਾਤ X ਦੇ 10 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਭਾਗ ਲਿਆ । ਜੇਕਰ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਲੜਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ 4 ਵੱਧ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਭਾਗ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਲੜਕੇ ਅਤੇ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ – ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = x
ਅਤੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = y
ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ ਭਾਗ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਕੁੱਲ ਵਿਦਿਆਰਥੀ = 10
∴ x + y = 10
ਜਾਂ x + y – 10 = 0
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
y = x + 4
ਜਾਂ x = y – 4
ਹੁਣ, ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ,
x + y = 10
ਅਤੇ x – y + 4 = 0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ ।
x + y = 10
ਜਾਂ x = 10 – y …..(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 10 – 0 = 10
y = 7 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 10 – 7 = 3
y = 10 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 10 – 10 = 0 .
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (10, 0), B (3, 7), C (0, 10) ਨੂੰ ਆਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + y = 10 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x – y + 4 = 0
ਜਾਂ x = y – 4 ….(2)
y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 0 – 4 = -4
y = 7 ਨੂੰ (2) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
x = 7 – 4 = 3
y = 4 ਨੂੰ (2) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
x = 4 – 4 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ D (-4, 0), B (3, 7), E (0, 4) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x – y + 4 = 0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਆਲੇਖ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ | ਬਿੰਦੂ B (3, 7) ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ ।
∴ ਬਿੰਦੂ B (3, 7) ਆਲੇਖੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ।
ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 3
ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 7

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
5 ਪੈਨਸਿਲਾਂ ਅਤੇ 7 ਕਲਮਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ₹ 50 ਹੈ, ਜਦ ਕਿ 7 ਪੈਨਸਿਲਾਂ ਅਤੇ 5 ਕਲਮਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ₹ 46 ਹੈ । ਇਕ ਪੈਨਸਿਲ ਅਤੇ ਇਕ ਕਲਮ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ 1 ਪੈਨਸਿਲ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 2
ਅਤੇ 1 ਕਲਮ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
5x + 7y = 50
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
7x + 5y = 46
∴ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
ਹੁਣ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿੱਚੋ !
5x + 7y = 50
ਜਾਂ 5x = 50 – 7y
ਜਾਂ x = \(\frac{50-7 y}{5}\) …(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਬਿੰਦੁਆਂ A (10, 0), B (3, 5), C (0.2, 7) ਨੂੰ । ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 5x + 7y =50 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
7x + 5y = 46
ਨੂੰ 7x = 46 – 5y

ਬਿੰਦੂਆਂ E (6.5, 0), B (3, 5), F (9.5, – 4) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 7x + 5y = 46 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਬਿੰਦੂ B (3, 5) ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ ।
∴ ਬਿੰਦੂ B (3, 5) ਆਲੇਖੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ।
ਇਕ ਪੈਨਸਿਲ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 3
ਇਕ ਕਲਮ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 5

2. ਅਨੁਪਾਤਾਂ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ਅਤੇ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ’ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ਜਾਂ ਸੰਪਾਤੀ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 4
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
5x – 4y + 8 = 0
ਅਤੇ 7x + 6y – 9 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 5, b₁ = – 4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = – 9

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) ≠ \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
9x + 3y + 12 = 0
ਅਤੇ 18x + 6y + 24 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਪਾਤੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
6x – 3y + 10 = 0,
ਅਤੇ 2x – y + 9 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ । ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ ।

3. ਅਨੁਪਾਤਾਂ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ਅਤੇ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਸੰਗਤ ਹਨ ਜਾਂ ਅਸੰਗਤ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
3x + 2y = 5
ਅਤੇ 2x – 3y = 7
ਜਾਂ 3x + 2y – 5 = 0
ਅਤੇ 2x – 3y – 7 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = – 5
a₂ = 2, b₂ = – 3, c₂ = – 7

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x – 3y = 8
ਅਤੇ 4x – 6y = 9
ਜਾਂ 2x – 3y – 8 = 0
4x – 6y – 9 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = – 3, c₁ = – 8
a₂ = 4, b₂ = – 6, c₂ = -9

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
ਅਤੇ 9x – 10y = 14
ਜਾਂ \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y – 7 = 0
ਅਤੇ 9x – 10y – 14 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = \(\frac{3}{2}\), b₁ = \(\frac{5}{3}\), c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = – 10, c₂ = – 14

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
5x – 3y = 11; -10x + 6y = – 22
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
5x – 3y = 11
ਅਤੇ -10x + 6y = – 22
ਜਾਂ 5x – 3y – 11 = 0
ਅਤੇ -10x + 6y + 22 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ = – 11
a₂ = – 10, b₂ = 6, c₂ = 22

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8 ਅਤੇ 2x + 3y = 12
ਅਤੇ \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0
ਜਾਂ 2x + 3y – 12 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = \(\frac{4}{3}\), b₁ = 2, c₁ = -12 .
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = – 12

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਅਸੰਗਤ ਜੇਕਰ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ਤਾਂ ਆਲੇਖੀ (ਫੀ) ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x + y = 5, 2x + 2y = 10
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x + y = 5
ਅਤੇ 2x + 2y = 10
ਜਾਂ x + y – 5 = 0
2x + 2y – 10 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = – 10

∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਆਲੇਖ | ਖਿੱਚੋ
x + y = 5
x = 5 – y …..(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 0 = 5
y = 3 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 3 = 2
y = 5 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 5 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (5, 0), B (2, 3), C (0, 5) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + y = 5 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
2x + 2y = 10 ਜਾਂ 2 (x + y) = 10
ਜਾਂ x + y = 5
ਜਾਂ x = 5 – …(2)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 0 = 5
y = 2 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 2 = 3

ਬਿੰਦੂਆਂ A (5, 0), D (3, 2), C (0, 5) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 2y = 10 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਪਾਤੀ, ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅਨੇਕ ਹੱਲ ਹਨ !

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
x – y = 8, 3x – 3y = 16
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x – y = 8
ਅਤੇ 3x – 3y = 16
ਜਾਂ x – y – 8 = 0
ਅਤੇ 3x – 3y – 16 = 0
ਇੱਥੇ a₁ =1, b₁ = -1 , c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16
y = 5 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 5 = 0
ਸਾਰਣੀ


ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਮੀਕਣਾਂ ਦਾ ਹੋ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x + y – 6 = 0
ਅਤੇ 4x – 2y – 4 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = 6
a₂ = 4, b₂ = -2, c₂ = -4

∴ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ :
2x + y – 6 = 0
ਜਾਂ 2x = 6 – y
ਜਾਂ y = \(\frac{6-y}{2}\) ….(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6-0}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3
y = 2 ਨੂੰ (1), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6-2}{2}\)
= \(\frac{4}{2}\) = 2
y = -2 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6-(-2)}{2}\) = \(\frac{6+2}{2}\)
= \(\frac{8}{2}\) = 4
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (3, 0), B (2, 2), C (4, – 2) ਨੂੰ ਆਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਮੀਕਰਣ 2x +y – 6 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
4x – 2y – 4 = 0
ਜਾਂ 2[2x – y – 2] = 0
ਜਾਂ 2x – y – 2 = 0
ਜਾਂ 2x = y + 2
ਜਾਂ x = \(\frac{y+2}{2}\) …(2)
y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{0+2}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
y = 2 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{2+2}{2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
y = -2 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸ਼ਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{-2+2}{2}\)
= \(\frac{0}{2}\) = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (1, 0), B (2, 2), E (0, -2) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 4x – 2y -4 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਬਿੰਦੂ B (2, 2) ਉੱਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x – 2y – 2 = 0
ਅਤੇ 4x – 4y – 5 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = – 2, c₁ = – 2
a₂ = 4, b₂ = – 4, c₂ = – 5

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ, ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ 4 ਮੀ. ਵੱਧ ਹੈ, ਦਾ ਅਰਧ ਪਰਿਮਾਪ 36 ਮੀ. ਹੈ । ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ :
ਮੰਨ ਲਓ ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = y ਮੀ.
ਬਾਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 2 [x + y] ਮੀ.
ਬਾਗ ਦਾ ਅਰਧ ਪਰਿਮਾਪ = (x + y) ਮੀ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x = y + 4
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + y = 36
∴ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x = y + 4
ਅਤੇ x + y = 36
x = y + 4 …(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 0 + 4 = 4
y = -4 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = – 4 + 4 = 0
y = 16 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 16 + 4 = 20
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A (4, 0), B (0, – 4), C (20, 16) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x = y + 4 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x + y = 36
x = 36 – y …..(2)
y = 12 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 36 – 12 = 24

ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਬਿੰਦੂ C (20, 16) ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
∴ C (20, 16) ਭਾਵ x = 20 ਅਤੇ y = 16 ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ ।
∴ ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 20 ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 16 ਮੀ. ||
y = 24 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 36 – 24 = 12
y = 16 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 36 – 16 = 20
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (24, 12), E ( 12, 24), C (20, 16) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + y = 36 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿੱਧੀ
ਮੰਨ ਲਉ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = x ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = (x + 4) ਮੀ.
ਬਾਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 2 ਲੰ: + ਚੌ:]
= 2 [x + x + 4] ਮੀ.
= 2 [2x + 4] ਮੀ.
∴ ਬਾਗ ਦਾ ਅਰਧ ਪਰਿਮਾਪੁ = (2x + 4)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
2x + 4 = 36
ਜਾਂ 2x = 36 – 4
ਜਾਂ 2x = 32
ਜਾਂ x = \(\frac{32}{2}\) = 16
∴ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 16 ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = (16 + 4) ਮੀ.
= 20 ਮੀ.

6. ਇਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3y – 8 = 9 ਦਿੱਤੀ ਗਈ । ਹੈ । ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਲਿਖੋ ਤਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੋੜੇ ਦਾ ਜਿਮਾਇਤੀ ਰੂਪ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਕੱਟਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋਣ ।
ਉੱਤਰ:
ਸਥਿਤੀ (i) ਕੱਟਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
2x + 3y – 8 = 0 ….(1)
ਇੱਥੇ ਕਾਟਵੀਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨੇਕ ਮੁੱਲ ਹਨ ।
ਭਾਵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) ≠ \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ ।
3x – 2y – 6 = 0 ….(2)
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ( 1 ) ਅਤੇ (2) ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿੱਚੋ ।
2x + 3y – 8 = 0
ਜਾਂ 2x = 8 – 3y
ਜਾਂ x = \(\frac{8-3y}{2}\) …… (3)
y = 0 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{8-30}{2}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4
y = – 2 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{8-3(-2)}{2}\) = \(\frac{14}{2}\) = 7
y = 2 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{8-3×2}{2}\) = \(\frac{8-6}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A (4, 0), B (7, – 2), C (1, 2) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3y – 8 = 9 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
3x – 2y – 6 = 0
ਜਾਂ 3x = 6 + 2y
ਜਾਂ x = \(\frac{6+2y}{3}\) …(4)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6+2×0}{3}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2
y = – 3 ਨੂੰ (4) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6+2(-3)}{3}\)
= \(\frac{6-6}{3}\) = 0
y = 3 ਨੂੰ (4) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6+2×3}{3}\) = \(\frac{6+6}{3}\)
= \(\frac{12}{3}\) = 4

ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (2, 0), E (0, -3), F (4, 3) ਨੂੰ ਆ ਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ’ 3x – 2y – 6 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ !
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਬਿੰਦੂ G ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋਣ ।
ਉੱਤਰ:
ਸਥਿਤੀ (ii) ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
2x + 3y – 8 = 9 …(1)
ਇੱਥੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋਰ ਵੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਹੋ
ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਭਾਵ
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ ।
2x + 3y – 5 = 0 ….(2)
ਹੁਣ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ( 1 ) ਅਤੇ (2) ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿੱਚੋ । ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3 – 8 = 0 ਲਈ ਆਲੇਖ ਹੈ :
ਸਾਰਣੀ

2x + 3y – 5 = 0
ਜਾਂ 2x = 5 – 3y
ਜਾਂ x = \(\frac{5-3y}{2}\) …(3)
y = 0 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{5-3×0}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) = 2.5

ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ G (2.5, 0), H (- 2, 3), I (7, – 3) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3y – 5 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
y = 3 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
y = \(\frac{5-3×3}{2}\) = \(\frac{5-9}{2}\) = \(\frac{-4}{2}\) = -2
y = -3 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{5-3(-3)}{2}\) = \(\frac{5+9}{2}\) = \(\frac{14}{2}\)
= 7

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਸੰਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋਣ ।
ਉੱਤਰ:
ਸਥਿਤੀ (iii) ਸੰਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲਈ
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ
2x + 3y – 8 = 0 ….(1)
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਹੋਰ ਵੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸੰਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹੋਣ ।
ਭਾਵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) = \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ ।
6x + 9y – 24 = 0 ….(2)

ਹੁਣ ਰੇਖੀ (1) ਅਤੇ (2) ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਲਉ ॥
6x + 9y – 24 = 0
ਜਾਂ 3 [2x + 3y – 8] = 0
ਜਾਂ 2 + 3y – 8 = 0
∴ ਦੋਵਾਂ ਵਿਚ ਬਿੰਦੂ ਇਕ ਸਮਾਨ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਇਕ ਹੀ ਰੇਖਾ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਸਮੀਕਰਣਾਂ x – y + 1 = 0 ਅਤੇ 3x + 2y – 12 = 0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ । x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਤਿਭੁਜ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਛਾਇਆ-ਅੰਕਿਤ (Shade) ਕਰੋ ।
ਹੱਲ :
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ ।
x – y + 1 = 0
ਅਤੇ 3x + 2y – 12 = 0
x – y + 1 = 0
ਜਾਂ x = y – 1 ……(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 0 – 1 = – 1
y = 3 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 3 – 1 = 2
y = 1 ਨੂੰ ( 3 ) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 1 – 1 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A -1, 0), B (2, 3), C (0, 1) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x – y + 1 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਜਾਂ 3x + 2y – 12 = 0
3x = 12 – 2y
x = \(\frac{12-2y}{3}\) …….(2)

y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{12-2×0}{3}\) = \(\frac{12}{3}\) = 4
y = 3 ਨੂੰ (2), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{12-2×3}{3}\) = \(\frac{12-6}{3}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2
y = 6 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{12-2×6}{3}\) = \(\frac{12-12}{3}\) = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (4, 0), B (2, 3), E (0, 6) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 3x +2y – 12 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰਾਂ ਦੇ ਆਲੇਖ ਨੂੰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
∴ △ABD ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਬਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।
△ABD ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਹਨ : A (-1, 0), B (2, 3) ਅਤੇ D (4, 0).
ਹੁਣ, ਅਧਾਰ AD ਦੀ ਲੰਬਾਈ = AO + OD
= 1+ 4 = 5 ਇਕਾਈਆਂ
ਲੰਬ BF ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 3 ਇਕਾਈਆਂ
∴ △ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × AD × BF
= (\(\frac{1}{2}\) × 5 × 3)
ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ |
= \(\frac{15}{2}\) = 7.5
ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.7

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੋ ਦੋਸਤਾਂ ਹਨੀ ਅਤੇ ਸੰਨੀ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿਚ 3 ਸਾਲ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ । ਹਨੀ ਦੇ ਪਿਤਾ ਹਰਮਿੰਦਰ ਦੀ ਉਮਰ ਹਨੀ ਦੀ ਉਮਰ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਨੀ ਦੀ ਉਮਰ ਆਪਣੀ ਭੈਣ ਨੂੰ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੈ । ਗੁਨੂੰ ਅਤੇ ਹਰਮਿੰਦਰ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ 30 ਸਾਲ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ । ਹਨੀ ਅਤੇ ਸੰਨੀ ਦੀ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਹਨੀ ਦੀ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਅਤੇ ਸੰਨੀ ਦੀ ਉਮਰ = y ਸਾਲ
ਹਰਮਿੰਦਰ ਦੀ ਉਮਰ = 2x ਸਾਲ
ਗੁਨੂੰ ਦੀ ਉਮਰ = \(\frac{1}{2}\)y ਸਾਲ
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
ਹਨੀ ਦੀ ਉਮਰ – ਸੰਨੀ ਦੀ ਉਮਰ = 3 ਸਾਲ
x – y = 3 …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
ਹਰਮਿੰਦਰ ਦੀ ਉਮਰ – ਗਨੂੰ ਦੀ ਉਮਰ = 30 ਸਾਲ
2x – \(\frac{y}{2}\) = 30
ਜਾਂ \(\frac{4x-y}{2}\) = 30
ਜਾਂ 4x – y = 60 ….(2)
ਹੁਣ, (2) – (1) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
19 – y = 3
ਜਾਂ -y = 3 – 19
ਜਾਂ -y = – 16
ਜਾਂ y = 16
ਹਨੀ ਦੀ ਉਮਰ = 19 ਸਾਲ
ਸੰਨੀ ਦੀ ਉਮਰ =16 ਸਾਲ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਇਕ ਮਿੱਤਰ ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ, “ਜੇਕਰ | ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਇੱਕ ਸੌ ਰੁਪਏ ਦੇ ਦਿਉ ਤਾਂ ਮੇਰੇ ਕੋਲ ਤੁਹਾਡੇ ਨਾਲੋਂ ਦੋ ਗੁਣਾ ਪੈਸੇ ਹੋ ਜਾਣਗੇ | ਦੂਸਰਾ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ | ‘‘ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ₹ 10 ਦੇ ਦਿਉ ਤਾਂ ਮੈਂ ਤੁਹਾਡੇ ਤੋਂ ਛੇ ਗੁਣਾ ਅਮੀਰ ਹੋ ਜਾਵਾਂਗਾ ” ਪਤਾ ਕਰੋ ਉਹਨਾਂ ਕੋਲ ਕੁਮਵਾਰ ਕਿੰਨੇ ਪੈਸੇ ਹਨ ? (ਭਾਸ਼ਕਰ II ਦੇ ਬੀਜ ਗਣਿਤ ਤੋਂ)
[ਸੰਕੇਤ : x + 100 = 2(y – 100),
y + 10 = 6 (x – 10)].
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਇਕ ਮਿੱਤਰ ਕੋਲ ਪੈਸੇ = ₹ x
ਦੂਸਰੇ ਮਿੱਤਰ ਕੋਲ ਪੈਸੇ = ₹ y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + 100 = 2 (y – 100)
ਜਾਂ x + 100 = 2y – 200
ਜਾਂ x – 2y = – 200 – 100
ਜਾਂ x – 2y = – 300 ….(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
y + 10 = 6 (x – 10)
ਜਾਂ y + 10 = 6x – 60
ਜਾਂ 6x – y = 10 + 60
ਜਾਂ 6x – y = 70 ….(2)
(1) ਨੂੰ 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
6x – 12y = – 1800 …(3)
ਹੁਣ (3) – (2) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

y ਨੂੰ (2) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
6x – 170 = 70
ਜਾਂ 6x = 70 + 170
ਜਾਂ 6x = 240
ਜਾਂ x = \(\frac{240}{6}\) = 40
ਪਹਿਲੇ ਮਿੱਤਰ ਕੋਲ ਪੈਸੇ : ₹ 40
ਦੁਸਰੇ ਮਿੱਤਰ ਕੋਲ ਪੈਸੇ : ₹ 170 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਰੇਲਗੱਡੀ ਕੁੱਝ ਦੂਰੀ ਇਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਗੱਡੀ ਦੀ ਗਤੀ 10 km/h ਵਧਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਉਹ ਉੱਨੀ ਦੂਰੀ ਲਈ 2 ਘੰਟੇ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲਵੇਗੀ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਗਤੀ 10 km/h ਘਟਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਉਹ ਉੱਨੀ ਦੂਰੀ ਲਈ 3 ਘੰਟੇ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲਵੇਗੀ 1 ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = x ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ = y ਘੰਟਾ
∴ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= ਚਾਲ × ਸਮਾਂ
= (xy) ਕਿਮੀ
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
(x + 10) (y – 2) = xy
ਜਾਂ y – 2x + 10y – 20 = xy
ਜਾਂ – 2x + 10y – 20 = 0
ਜਾਂ x – 5y + 10 = 0 ……(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
(x – 10) (y + 3) = xy
ਧੀ xy + 3x – 10y – 30 = xy
ਜਾਂ 3x – 10y – 30 = 0 …(2)
(1) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3x – 15y + 30 = 0 ….(3)
ਹੁਣ, (3) – (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x – 5 × 12 + 10 = 0
ਜਾਂ x – 60 + 10 = 0
ਜਾਂ x – 50 = 0
ਜਾਂ x = 50
∴ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = 50 ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ = 12 ਬੰਟੇ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= (50 × 12) ਕਿ.ਮੀ.
= 600 ਕਿ.ਮੀ.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਇਕ ਜਮਾਤ ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਪੰਗਤੀਆਂ ਵਿਚ ਖੜਾ ਕਰਨਾ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਪੰਗਤੀਆਂ ਵਿਚ 3 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਵੱਧ ਹੁੰਦੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਪੰਗਤੀ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ । ਜੇਕਰ ਪੰਗਤੀ ਵਿਚ 3 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ 2 ਪੰਗਤੀਆਂ ਵੱਧ ਬਣਦੀਆਂ ਜਮਾਤ ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਹਰ ਇੱਕ ਪੰਗਤੀ ਵਿਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = x
ਅਤੇ ਪੰਗਤੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = y
ਜਮਾਤ ਵਿਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = xy
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
(x + 3) (y – 1) = xy
ਜਾਂ xy – x + 3y – 3 = xy
ਜਾਂ -x + 3y – 3 = 0
ਜਾਂ x – 3y + 3 = 0 …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
(x – 3) (y + 2) = xy
ਜਾਂ xy + 2x – 3y – 6 = xy
ਜਾਂ 2x + 3y – 6 = 0 …(2)
ਹੁਣ, (2) – (1) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
9 – 3y + 3 = 0
ਜਾਂ -3y + 12 = 0
ਜਾਂ -3y = – 12
ਜਾਂ y = \(\frac{12}{3}\) = 4
∴ ਹਰ ਇੱਕ ਪੰਗਤੀ ਵਿਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 9
ਪੰਗਤੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 4
ਜਮਾਤ ਵਿਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
= 9 × 4 = 36

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ △ABC ਵਿੱਚ ∠C = 3 ∠B = 2 (∠A + ∠B) ਹੈ ।ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਤਿੰਨੋਂ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਇਕ △ABC ਵਿੱਚ
∠C = 3∠B = 2 (∠A + ∠B)
I II III
II ਅਤੇ III, ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3∠B = 2 (∠A + ∠B)
ਜਾਂ 3∠B = 2∠A + 2∠B
ਜਾਂ 3∠B – 2∠B = 2∠A
ਜਾਂ ∠B = 2∠A
I ਅਤੇ II, ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
∠C = 3∠B
ਜਾਂ ∠C = 3(2∠A)
[(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ ]
ਜਾਂ ∠C = 6∠A …..(2)
ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਤਿੰਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 180° ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।.
∠A + ∠B + ∠C = 180°
ਜਾਂ ∠A + 2∠A + 6∠A = 180°
ਜਾਂ 9∠A = 180°
ਜਾਂ ∠A = \(\frac{180^{\circ}}{9}\) = 20°
∠A = 20°; ∠B = 2 × 20° = 40°
∠C = 6 × 20° = 120°.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਸਮੀਕਰਣਾਂ 5r – y = 5 ਅਤੇ 3x – y = 3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ । ਇਹਨਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣੇ ਤਿਭਜ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਅਤੇ ਤਿਭੁਜ ਦ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
5x – y = 5 ਅਤੇ 3x – y = 3
5x – y = 5
ਜਾਂ 5x = 5 + y
ਜਾਂ x = \(\frac{5+y}{5}\) …(1)
y = 0 ਨੂੰ (1), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ’ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{5+0}{5}\) = \(\frac{5}{5}\) = 1
y = -5 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{5-5}{5}\) = \(\frac{0}{5}\) = 0
y = 5 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{5+5}{5}\) = \(\frac{10}{5}\) = 2
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A (1, 0); B (0, – 5); C (2, 5) ਦੇ ਗਾਫ਼ ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 5x – y = 5 ਦੀ ਰੇਖਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
ਅਤੇ 3x – y = 3
ਜਾਂ 3x = 3 + y
ਜਾਂ x = \(\frac{3+y}{3}\) ….(2)
y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{3+0}{3}\) = \(\frac{3}{3}\) = 1
y = -3 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{3-3}{3}\) = \(\frac{0}{3}\) = 0
y = 3 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{3+3}{3}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2

ਬਿੰਦੁਆਂ A (1, 0); D (0, – 3); E (2, 3) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੇਪਰ ਤੇ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 3x – y = 3 ਦੀ ਰੇਖਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦਿੱਤੀਅ ਹੋਈ ਹਥਾਵਾਂ -A (1, 0) ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ।y- ਧੂਰੇ ਤੇ ਬਣੀ △ABD ਨੂੰ ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ । △ABD ਦੇ ਸਿਖ਼ਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ : A (1, 0); B (0, – 5) ਅਤੇ D (0, – 3)
ਸਾਰਣੀ

7. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
px + qy = p – q
qx – py = p + q
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
px + qy = p – q ..(1)
ਅਤੇ qx – py = p + q …(2)
(1) ਨੂੰ q ਨਾਲ ਅਤੇ (2) ਨੂੰ p ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਜਾਂ y = -1
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ | ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
px + q(-1) = p – qx
ਜਾਂ px – q = p – q
ਜਾਂ px = p – q + q
ਜਾਂ px = p
ਜਾਂ x = 1
∴ x = 1 ਅਤੇ y = – 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ax + by = c
bx + ay = 1 + c
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
ax + by = c
ਅਤੇ bx + ay = 1 + c
ਜਾਂ ax + by – c = 0
ਅਤੇ bx + ay – (1 + c) = 0

I ਅਤੇ III ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{x}{a}\) – \(\frac{y}{b}\) =0
ax + by = a² + b²
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{x}{a}\) – \(\frac{y}{b}\) = 0
ਜਾਂ \(\frac{bx-ay}{ab}\) = 0
ਜਾਂ bx – ay = 0 ….(1)
ਅਤੇ ax + by = a² + b²
ਜਾਂ ax + by = (a² + b²) = 0 …..(2)
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ

I ਅਤੇ III ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
\(\frac{x}{a}\) = \(\frac{1}{1}\) ⇒ x = a
II ਅਤੇ III ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
\(\frac{y}{b}\) = \(\frac{1}{1}\) ⇒ y = b
x = a ਅਤੇ y = b

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
(a – b)x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x + y) = a² + b²
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
(a – b)x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
ਜਾਂ ax – bx + ay + by = a² – 2ab – b² …(1)
ਅਤੇ (a + b) (x + y) = a² + b²
ਜਾਂ ax + bx + ay + by = a² + b² …(2)
ਹੁਣ (1) – (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
(a – b) (a + b) + (a + b) y = a² – 2ab – b²
ਜਾਂ a² – b² + (a + b) y = a² – 2ab – b²
ਜਾਂ (a + b) y = a² – 2ab – b² – a² + b²
ਜਾਂ (a + b) y = – 2ab
ਜਾਂ y = \(\frac{-2ab}{a+b}\)
x = a + b ਅਤੇ y = \(\frac{-2ab}{a+b}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
152x – 378y = -74
– 378x + 152y =- 604
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
152x – 378y = – 74
ਅਤੇ – 378x + 152y = – 604
ਜਾਂ 76x – 189y + 37 = 0
ਅਤੇ – 189x + 76y + 302 = 0
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ

⇒ y = 1
x = 2 ਅਤੇ y = 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ABCD ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ । ਇਸ ਚੱਕਰੀ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰੀ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਵਿੱਚ
∠A = (4y + 20); ∠B = 3y – 5;
∠C = 4x ਅਤੇ ∠D = 7x + 5
∠C = 4x = 4 x 15 = 60°
∠D = 7x + 5 = 7 x 15 + 5 = 110°
∠A = 120°, ∠B = 70°; ∠C = 60°
ਅਤੇ ∠D = 110°
∴ ∠A + ∠C = 180°,
ਜਾਂ 4y + 20 + (4x) = 180°
ਜਾਂ 4x + 4y = 180° – 20°
ਜਾਂ 4x + 4y = 160
ਜਾਂ x + y = 40
ਜਾਂ y = 40 – x ….(1)
ਅਤੇ ∠B + ∠D = 180°
ਜਾਂ 3y – 5 + (7x + 5) = 180°
ਜਾਂ 3y – 5 + 7x + 5 = 180°
ਜਾਂ 7x + 3y = 180° …(2)
(1) ਤੋਂy ਦਾ ਮੁੱਲ (2) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
7x + 3 (40 – x) = 180°
ਜਾਂ 7x + 120 – 3x = 180
ਜਾਂ 4x = 180 – 120
ਜਾਂ 4x = 60
ਜਾਂ x = \(\frac{60}{4}\) = 15
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ !
y = 40 – 15 = 25
∴ ∠A = 4y + 20 = 4 × 25 + 20
= 120°
∠B = 3y – 5 = 3 × 25 – 5 = 70°
∠C = 4x = 4 × 15 = 60°
∠D = 7x + 5 = 7 × 15 + 5 = 110°
∴ ∠A = 120°, ∠B = 70°; ∠C = 60°
ਅਤੇ ∠D = 110°

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.6

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
\(\frac{1}{2x}\) + \(\frac{1}{3y}\) = 2
\(\frac{1}{3x}\) + \(\frac{1}{2y}\) = \(\frac{13}{6}\)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ
\(\frac{1}{2x}\) + \(\frac{1}{3y}\) = 2
ਮਤੇ \(\frac{1}{3x}\) + \(\frac{1}{2y}\) = \(\frac{13}{6}\)
\(\frac{1}{x}\) = u, \(\frac{1}{v}\) = v ਮਤੇ ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ

(1) ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਅਤੇ (2) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
6u + 4v = 24 …(3)
ਅਤੇ 6u + 9v = 39 …(4)
ਹੁਣ, (4) – (3) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

v ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3u + 2 (3) = 12
ਜਾਂ 3u + 6 = 12
ਜਾਂ 3u = 12 – 6 = 6
ਜਾਂ u = \(\frac{6}{3}\) = 2

x = \(\frac{1}{2}\) ਮਤੇ y = \(\frac{1}{3}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
\(\frac{2}{\sqrt{x}}\) + \(\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2
\(\frac{4}{\sqrt{x}}\) – \(\frac{9}{\sqrt{y}}\) = -1
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{2}{\sqrt{x}}\) + \(\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 ਅਤੇ \(\frac{4}{\sqrt{x}}\) – \(\frac{9}{\sqrt{y}}\) = -1
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = u ਅਤੇ \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = v ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ
2u + 3v = 2 ….(1)
ਅਤੇ 4u – 9y = – 1 …(2)
(1) ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
4u + 6v = 4 …(3)
ਹੁਣ (2) – (3) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।

v ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
2u + 3\(\left(\frac{1}{3}\right)\) = 2
ਜਾਂ 2u + 1 = 2
ਜਾਂ 2u = 2 – 1 = 1
ਜਾਂ u = \(\frac{1}{2}\)

x = 4 ਅਤੇ y = 9

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{4}{x}\) + 3y = 14
\(\frac{3}{x}\) – 4y = 23
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{4}{x}\) + 3y = 14 ਅਤੇ \(\frac{3}{x}\) – 4y = 23
\(\frac{1}{x}\) = v ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ
4v + 3y = 14 …(1)
ਅਤੇ 3v – 4y = 23 …(2)
(1) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ (2) ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
12v + 9y = 42 ….(3)
ਅਤੇ 12v – 16y = 92 …..(4)
ਹੁਣ, (4) – (3) ਤੋਂ

y ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
ਜਾਂ 4v + 3 (-2) = 14
ਜਾਂ 4v – 6 = 14
ਜਾਂ 4v = 14 + 6 = 20
ਪਰ \(\frac{1}{x}\) = v
ਜਾਂ x = \(\frac{1}{v}\) = \(\frac{1}{5}\)
x = \(\frac{1}{5}\) ਅਤੇ y = – 2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{5}{x-1}\) + \(\frac{1}{y-2}\) = 2
\(\frac{6}{x-1}\) – \(\frac{3}{y-2}\) = 1
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{5}{x-1}\) + \(\frac{1}{y-2}\) = 2 ਅਤੇ \(\frac{6}{x-1}\) – \(\frac{3}{y-1}\) = 1
\(\frac{1}{x-1}\) = u ਅਤੇ \(\frac{1}{y-2}\) = v ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ
5u + v = 2 …(1)
ਅਤੇ 6u – 3v = 1 …(2)
(1) ਨੂੰ 3 ਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
15u + 3v = 6 …….3)
ਹੁਣ, (3) + (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
15u + 3v = 6
6u – 3v = 1
21u = 7
u = \(\frac{7}{21}\) = \(\frac{1}{3}\)
u ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ | ਮਿਲਦਾ ਹੈ :
5 x \(\frac{1}{3}\) + v = 2
ਜਾਂ v = 2 – \(\frac{5}{3}\) = \(\frac{6-5}{3}\)
ਜਾਂ v = \(\frac{1}{3}\)

x = 4 ਅਤੇ y = 5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
\(\frac{7x-2y}{xy}\) = 5
\(\frac{8x+7y}{xy}\) = 15
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :

\(\frac{1}{x}\) = u ਅਤੇ \(\frac{1}{y}\) = v, ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ
– 2u + 7v = 5 …..(1)
ਅਤੇ 7u + 8 = 15 …(2)
(1) ਨੂੰ 7 ਨਾਲ ਅਤੇ (2) ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
-14v + 49u = 35 ……(3)
ਅਤੇ 14v + 16u = 30 ……..(4)
ਹੁਣ (3) + (4) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
-14v + 49u = 35
14v + 16u = 30
65u = 65
u = \(\frac{65}{65}\) = 1
u ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
-2 (1) + 7v = 5
ਜਾਂ 7v = 5 + 2
ਜਾਂ 7v = 7
ਜਾਂ v = \(\frac{7}{7}\) = 1

x = 1 ਅਤੇ y = 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :

\(\frac{1}{x}\) = u ਅਤੇ \(\frac{1}{y}\) = v, ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ
u + 2v = 2 …(1)
ਅਤੇ 4u + 2y = 5 ……(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ

u ਜਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ
1 + 2v = 2
ਜਾਂ 2v = 2 – 1 = 1
ਜਾਂ v = \(\frac{1}{2}\)

ਹੁਣ x = 1 ਅਤੇ y = 2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
\(\frac{10}{x+y}\) + \(\frac{2}{x-y}\) = 4
\(\frac{15}{x+y}\) – \(\frac{5}{x-y}\) = -2
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{10}{x+y}\) + \(\frac{2}{x-y}\) = 4 ਅਤੇ \(\frac{15}{x+y}\) – \(\frac{5}{x-y}\) = -2
\(\frac{1}{x+y}\) = u ਅਤੇ \(\frac{1}{x-y}\) = v ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
10u + 2v = 4 ਜਾਂ 5u + v = 2 …(1)
15u – 5v = -2 …(2)
(1) ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
25u + 5y = 10 …(3)
(3) + (2) ਤੋਂ

u ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
5\(\left(\frac{1}{5}\right)\) + v = 2
ਜਾਂ 1 + v = 2
ਜਾਂ v = 1

ਹੁਣ (4) + (5) ਤੋਂ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ

x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (4) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3 + y = 5
y = 5 – 3 = 2
x = 3 ਅਤੇ y = 2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
\(\frac{1}{3x+y}\) + \(\frac{1}{3x-y}\) = \(\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}\) – \(\frac{1}{2(3 x-y)}\) = \(\frac{-1}{8}\)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :

ਹੁਣ (1) + (2) ਤੋਂ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
4u + 4v = 3
4u – 4v = – 1
8u = 2
u = \(\frac{8}{2}\) = \(\frac{1}{4}\)
u ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
4\(\left(\frac{1}{4}\right)\) + 4v = 3
ਜਾਂ 4v = 2
ਜਾਂ v = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)

ਹੁਣ (3) + (4) ਤੋਂ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ’ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3x + y = 4
3x – y = 2
6x = 6
x = 1
x ਦਾ ਮੁੱਲ (3) ਵਿਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3 (1) + y = 4
ਜਾਂ 3 + y = 4
y = 4 – 3 = 1
x = 1 ਅਤੇ y = 1

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਰਿਤੂ ਧਾਰਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 20 ਕਿ.ਮੀ. ਤੈਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਧਾਰਾਂ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਉਲਟ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 4 ਕਿ.ਮੀ. ਤੇਰ ਸਕਦੀ ਹੈ । ਉਸਦੀ ਖੜੇ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਤੈਰਨ ਦੀ ਚਾਲ · ਗਤੀ) ਅਤੇ ਧਾਰਾਂ ਦੀ ਚਾਲ ਗਤੀ) ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਸਥਿਰ ਪਾਣੀ ਵਿਚ ਰਿਤੂ
ਦੀ ਚਾਲ = x ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ
ਅਤੇ ਧਾਰਾ ਦੀ ਚਾਲ = y ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
∴ ਧਾਰਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਉਲਟ ਚਾਲ = (x – y) ਕਿ.ਮੀ.
ਧਾਰਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚ ਚਾਲ = (x + y) ਕਿ.ਮੀ.
ਰਿਤੂ ਧਾਰਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚ 2 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਜਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ ।
= ਚਾਲ × ਸਮਾਂ
= (x + y) × 2 ਕਿ.ਮੀ.
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
2 (x + y) = 20
x + y = 10 …..(1)
ਰਿਤੂ ਧਾਰਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚ 2 ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਜਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ = ਚਾਲ × ਸਮਾਂ
= 2 (x – y) ਕਿ.ਮੀ.
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
2 (x – y) = 4
x – y = 2 …(2)
ਹੁਣ, (1) + (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x + y = 10
x – y = 2
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\) = 6
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ
6 + y = 10
y = 10 – 6 = 4
ਰਿਤੂ ਦੀ ਸਥਿਰ ਪਾਣੀ ਵਿਚ ਚਾਲ = 6 ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
ਪਾਣੀ ਦੀ ਚਾਲ = 4 ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2 ਇਸਤਰੀਆਂ ਅਤੇ 5 ਆਦਮੀ ਇਕ ਕਸੀਦੇ ਦੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ 4 ਦਿਨ ਵਿਚ ਪੂਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਦ ਕਿ 3 ਇਸਤਰੀਆਂ ਅਤੇ 6 ਆਦਮੀ ਇਸਨੂੰ 3 ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਪੂਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ । ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਕੰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕੱਲੀ ਇਸਤਰੀ ਕਿੰਨੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਾ ਕਰੇਗੀ ? ਇਸ ਕੰਮ ਨੂੰ ਇਕੱਲਾ ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਕਿੰਨੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਾ ਕਰੇਗਾ ?
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਇੱਕ ਇਸਤਰੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ = x ਦਿਨ
ਆਦਮੀ ਕੰਮ ਖ਼ਤਮ ਕਰਦਾ ਹੈ = y ਦਿਨ
ਇਸਤਰੀ ਦਾ ਇਕ ਦਿਨ ਦਾ ਕੰਮ = \(\frac{1}{x}\)
ਆਦਮੀ ਦਾ ਇਕ ਦਿਨ ਦਾ ਕੰਮ = \(\frac{1}{y}\)
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{2}{x}\) + \(\frac{5}{y}\) = \(\frac{1}{4}\) …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{3}{x}\) + \(\frac{6}{y}\) = \(\frac{1}{3}\) …..(2)
\(\frac{1}{x}\) = u ਅਤੇ \(\frac{1}{y}\) = v ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

(3) ਨੂੰ 9 ਨਾਲ ਅਤੇ (4) ਨੂੰ 8 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
72u + 180v = 9 …(5)
ਅਤੇ 72u + 144v = 8 …(6)
ਹੁਣ, (5) – (6) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

v ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ (4) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
9u + 18\(\left(\frac{1}{36}\right)\) = 1
ਜਾਂ 9u + \(\frac{1}{2}\) = 1
ਜਾਂ 9u = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2-1}{2}\)
ਜਾਂ 9u = \(\frac{1}{2}\)
ਜਾਂ u = \(\frac{1}{2×9}\) = \(\frac{1}{18}\)

ਇੱਕ ਇਸਤਰੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਇੱਕਲੇ-ਇੱਕਲੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 18 ਦਿਨ ਅਤੇ 36 ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਪੂਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਦੀਪਿਕਾ 300 km ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਆਪਣੇ ਘਰ ਜਾਣ ਦੇ ਲਈ ਕੁੱਝ ਦੂਰੀ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਕੁੱਝ ਦੂਰੀ ਬੱਸ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਉਹ 60 km ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਬੱਸ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ 4 ਘੰਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ । ਜੇਕਰ ਉਹ 100 km ਦੁਬਾਰਾ ਰੇਲਗੱਡੀ ਰਾਹੀਂ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਯਾਤਰਾ ਬੱਸ ਦੁਆਰਾ ਕਰੇ ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ 10 ਮਿੰਟ ਵੱਧ ਲੱਗਦੇ ਹਨ | ਰੇਲਗੱਡੀ ਅਤੇ ਬੱਸ ਦੀ ਕੁਮਵਾਰ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਰੇਲ ਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = x ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
ਅਤੇ ਬੱਸ ਦੀ ਚਾਲ = y ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ = 300 ਕਿ.ਮੀ.
ਸਥਿਤੀ I
60 ਕਿ.ਮੀ. ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ

ਬੱਸ ਦੁਆਰਾ(= 300 – 60) 240 ਕਿ.ਮੀ. ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨ ਵਿਚ ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ

ਸਥਿਤੀ II
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ 100 ਕਿ.ਮੀ. ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨ ਵਿਚ ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ = \(\frac{100}{x}\)
ਬਸ ਦੁਆਰਾ 200 ਕਿ.ਮੀ. ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨ ਵਿਚ
ਲਗਾ ਸਮਾਂ = (300 – 100) = \(\frac{200}{y}\) ਘੰਟੇ
∴ ਕੁੱਲ ਸਮਾਂ = (\(\frac{100}{x}\) + \(\frac{200}{y}\))ਘੰਟੇ
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ

\(\frac{1}{x}\) = u ਅਤੇ \(\frac{1}{y}\) = v ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਨ :
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
15u + 60v = 1
ਅਤੇ 24u + 48v = 1
ਜਾਂ 15u + 60v – 1 = 0
24u + 48v – 1 = 0
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿਧੀ ਰਾਹੀਂ :

I ਅਤੇ III ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਰੇਲ ਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਅਤੇ ਬੱਸ ਦੀ ਚਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 60 ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ ਅਤੇ 80 ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.5

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸ | ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਹੈ, ਕਿਸ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ | ਜਾਂ ਕਿਸਦੇ ਅਸੀਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਨੇਕ ਹੱਲ ਹਨ । ਇੱਕ ਹੱਲ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਉਸਨੂੰ ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x – 3y – 3 = 0
ਅਤੇ 3x – 9y – 2 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 1, b₁ = -3, c₁ = – 3
a₂ = 3, b₂ = – 9, c₂ = – 2

∴ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x + y = 5
3x + 2y = 8
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x + y = 5
ਅਤੇ 3x + 2y = 8
ਜਾਂ 2x + y – 5 = 0
ਅਤੇ 3x + 2y – 8 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = – 8

∴ ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਹੈ

∴ x = 2 ਅਤੇ y = 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
3x – 5y = 20
6r – 10y = 40
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
3x – y = 20
ਅਤੇ 6x – 10y = 40
ਜਾਂ 3x – 5y – 20 = 0
ਅਤੇ 6 – 10y – 40 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 3, b₁ = -5, c₁ = – 20
a₂ = 6, b₂ = – 10, c₂ = – 40


ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਦੇ ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿਚ ਅਨੇਕ ਹਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x – 3y – 7 = 0
ਅਤੇ 3x – 3y – 15 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 1, b₁ = – 3, c₁ = -7
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 15

I ਅਤੇ III ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
\(\frac{x}{24}\) = \(\frac{1}{6}\) ⇒ x = \(\frac{1}{6}\) × 24 = 4
II ਅਤੇ III ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
\(\frac{y}{-6}\) = \(\frac{1}{6}\) ⇒ y = \(\frac{1}{6}\) × -6 = -1
ਇੱਥੇ x = 4, y = – 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
(i) a ਅਤੇ b ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੇ ਅਪਰਿਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿਚ ਅਨੇਕ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ ?
2x + 3y = 7
(a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2 + 3y = 7
ਅਤੇ (a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
ਜਾਂ 2x + 3y – 7 = 9
ਜਾਂ (a – b)x + (a + b) y – (3a + b – 2) = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7.
a₂ = a – b, b₂ = a + b,
c₂ = – (3a + b – 2)
∴ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਦੇ ਅਸੀਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿਚ ਅਨੇਕ ਹੱਲ ਹਨ ।

ਜਾਂ 6a + 2b – 4 = 7a – 7b
ਜਾਂ -a + 9b – 4 = 0
ਜਾਂ a = 9b – 4 ……(1)
II ਅਤੇ III ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
\(\frac{3}{a+b}\) = \(\frac{7}{3a+b-2}\)
ਜਾਂ 9a + 3b – 6 = 7a + 7b
ਜਾਂ 2a – 4b – 6 = 0
ਜਾਂ a – 2b – 3 = 0 .
ਸਮੀਕਰਣ (1) ਤੋਂ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਪਰੋਕਤ ਵਿਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
ਜਾਂ 9b – 4 – 2b – 3 = 0
ਜਾਂ 7b – 7 = 0
ਜਾਂ 7b = 7
ਜਾਂ b = 1
b ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
a = 9 × 1 – 4 = 9 – 4
a = 5
∴ a = 5 ਅਤੇ b = 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
k ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ?
3x + y = 1
(2k – 1) + (k – 1) y = 2 + 1
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
3x + y = 1
ਅਤੇ 2k – 1 x + (k -11) y = 2k + 1
ਜਾਂ 3x + y – 1 = 0
ਅਤੇ (2k – 1) x + (k – 1) y – (2k + 1) = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = -1
a₂ = (2k – 1), b₂ = k – 1, c₂ = – (2k + 1)
∴ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

⇒ 4k ≠ – 4
⇒ k ≠ \(-\frac{4}{4}\)
⇒ k ≠ -1
I ਅਤੇ II ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
\(\frac{3}{2k-1}\) = \(\frac{1}{k-1}\) ⇒ 3k – 3 = 2k – 1
⇒ k = 2
∴ k = 2 ਅਤੇ k ≠ -1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਅਤੇ ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿੱਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ । ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਵੱਧ ਢੁਕਵੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹੋ ?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
8x + 5y = 9 ……(1)
3x + 2y = 4 …(2)
ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ
(2) ਤੋਂ 2y = 4 – 3x
y = \(\frac{4-3x}{2}\) …(3)
y ਦਾ ਮੁੱਲ (1), ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
8x + 5[latex]\frac{4-3x}{2}[/latex] = 9
ਜਾਂ \(\frac{16x+20-15x}{2}\) = 9
ਜਾਂ x + 20 = 18
ਜਾਂ x = 18 – 20 = – 2
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
y = \(\frac{4-3(-2)}{2}\) = \(\frac{4+6}{2}\)
= \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ x = – 2 ਅਤੇ y = 5
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
8x + 5y – 9 = 0
ਅਤੇ 3x + 2y – 4 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = – 9
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -4
ਹੁਣ, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{8}{3}\); \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) = \(\frac{5}{2}\);

∴ x = – 2 ਅਤੇ y = 5

4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਜੋੜੇ ਬਣਾਉ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਹੋਂਦ ਹੋਵੇ) ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਇਕ ਹੋਸਟਲ (Hostel) ਦੇ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਖਰਚ ਦਾ ਇੱਕ ਭਾਗ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਇਸ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੇ ਕਿੰਨੇ ਦਿਨ ਭੋਜਨ ਕੀਤਾ ਹੈ । ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ A ਜਿਸਨੇ 20 ਦਿਨ ਭੋਜਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ₹ 1000 ਹੋਸਟਲ (Hostel) ਦੇ ਖਰਚ ਲਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੂਸਰਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ B 26 ਦਿਨ ਭੋਜਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ₹ 1180 ਖਰਚ ਦਿੰਦਾ ਹੈ । ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਖਰਚ ਅਤੇ ਹਰ ਇੱਕ ਦਿਨ ਦੇ ਭੋਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਹੋਸਟਲ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮਾਸਿਕ ਕਿਰਾਇਆ = ₹ x
ਪ੍ਰਤੀਦਿਨ ਭੋਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + 20y = 1000
⇒ x + 26y – 1180 = 0 ………(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ. .
x + 26y = 1180
⇒ x + 26y – 1180 = 0 …..(2)
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿਧੀ ਨਾਂਲ (1) ਅਤੇ (2) ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :

ਹੋਸਟਲ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮਾਸਿਕ ਕਿਰਾਇਆ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਭੋਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੁਮਵਾਰ ₹ 400 ਅਤੇ ₹ 30 ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚੋਂ 1 ਘਟਾਉਣ ਨਾਲ ਉਹ \(\frac{1}{3}\) ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ 8 ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਉਹ \(\frac{1}{4}\) ਜਾਂਦੀ ਹੈ । ਭਿੰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਭਿੰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ = x
ਭਿੰਨ ਦਾ ਹਰ = y
∴ ਭਿੰਨ = \(\frac{x}{y}\)
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{x-1}{y}\) = \(\frac{1}{3}\)
ਜਾਂ 3x – 3 = y
ਜਾਂ 3x – y – 3 = 0 …..(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{x}{y+8}\) = \(\frac{1}{4}\)
ਜਾਂ 4x = y + 8
ਜਾਂ 4x – y – 8 = 0 …(2)
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਡਿੱਬੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਣਾਂ (1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਯਸ਼ਪਾਲ ਨੇ ਇੱਕ ਟੈਸਟ ਵਿਚੋਂ 40 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ, ਜਦੋਂ ਉਸਨੂੰ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਦੇ 3 ਅੰਕ ਮਿਲੇ ਅਤੇ ਗ਼ਲਤ ਉੱਤਰ ਤੇ 1 ਅੰਕ ਦੀ ਕਟੌਤੀ ਕੀਤੀ ਗਈ । ਜੇਕਰ ਉਸ ਨੂੰ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਦੇ 4 ਅੰਕ ਮਿਲਣ ਅਤੇ ਗ਼ਲਤ ਉੱਤਰ ਦੇ 2 ਅੰਕ ਕਟੇ ਜਾਣ ਤਾਂ ਉਹ 50 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ । ਟੈਸਟ ਵਿਚ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਸਨ ?
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਯਸ਼ਪਾਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਸਹੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ = x
ਯਸ਼ਪਾਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗ਼ਲਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨ = y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
3x – y = 40
ਜਾਂ 3x – y – 40 = 0 …….(1)
ਦੂਜੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
4x – 2y = 50
ਜਾਂ 4x – 2y – 50 = 0 …(2)
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਣਾਂ (1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :


⇒ y = 5
∴ ਸਹੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 15
ਗ਼ਲਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 5
ਕੁਲ ਪ੍ਰਸ਼ਨ = ਸਹੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ + ਗ਼ਲਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨ
=15 + 5 = 20

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਇੱਕ ਰਾਜਮਾਰਗ ‘ਤੇ ਦੋ ਸਥਾਨ A ਅਤੇ B, 100 ਕਿ.ਮੀ. ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹਨ । ਇਕ ਕਾਰ A ਤੋਂ ਅਤੇ ਦੂਸਰੀ ਕਾਰ B ਤੋਂ ਇੱਕੋ ਤੋਂ ਹੀ ਸਮੇਂ ‘ਤੇ ਚਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ । ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਾਰਾਂ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਚਾਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ 5 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਮਿਲ ਜਾਣਗੀਆਂ | ਦੋਵਾਂ ਕਾਰਾਂ ਦੀ ਗਤੀ (ਚਾਲ) ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਸਥਾਨ A ਵਾਲੀ ਕਾਰ ਦੀ ਚਾਲ = 1 ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
ਅਤੇ ਸਥਾਨ B ਵਾਲੀ ਕਾਰ ਦੀ ਚਾਲ = y ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ
A ਅਤੇ B ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ = 100 ਕਿ.ਮੀ.
5 ਘੰਟੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ
ਕਾਰ A ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ = 5 ਕਿ.ਮੀ.
[∵ ਦੂਰੀ = ਚਾਲ × ਸਮਾਂ]
ਕਾਰ B ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ = 5y ਕਿ.ਮੀ.
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
5x – 5y = 100
ਜਾਂ x – y = 20
ਜਾਂ x – y – 20 = 0 …..(1)
ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ
ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ = 1 ਕਿ.ਮੀ.
[∵ ਦੂਰੀ = ਚਾਲ × ਸਮਾਂ]
ਕਾਰ B ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = y ਕਿ.ਮੀ.
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + y = 10 ,
ਜਾਂ x + y – 100 = 00 …..(2)
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿੱਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :

ਬਿੰਦੂ A ਅਤੇ B ਤੋਂ ਚੱਲਣ ਵਾਲੀ ਕਾਰਾਂ ਦੀ ਚਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 60 ਕਿ.ਮੀ./ਘੰਟਾ ਅਤੇ 40 ਕਿ.ਮੀ. /ਘੰਟਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਘਟਾ ਦੇਈਏ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਵਧਾ ਦੇਈਏ ਤਾਂ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 9 ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਲੰਬਾਈ । 6 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਵਧਾ ਦੇਈਏ ਤਾਂ ਖੇਤਰਫਲ 67 ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x ਇਕਾਈਆਂ
ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = y ਇਕਾਈਆਂ
∴ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = xy ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
(x – 5) (y + 3) = xy – 9
ਜਾਂ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
ਜਾਂ 3x – 5y – 6 = 0 ….(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
(x + 3) (y + 2) = xy + 67
ਜਾਂ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
ਜਾਂ 2x + 35 – 61 = 0 …(2)
ਤਿਰਛੀ ਗੁਣਾ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਣਾਂ (1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਕੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ,

ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 17 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ 9 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.4

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਵਿਲੋਪਣ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵੱਧ ਉਚਿਤ ਹੈ ?

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x + y = 5 ਅਤੇ 2x – 3y = 4
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x + y = 5 ….(1)
ਅਤੇ 2x – 3y = 4 ….(2)
ਵਿਲੋਪਣ ਵਿਧੀ
(1) ਨੂੰ 2, ਨਾਲ ਗੁਣਾਂ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
2x + 2y = 10 ….(3)
ਹੁਣ, (3) – (2) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਭਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ
x + \(\frac{6}{5}\) = 5
ਜਾਂ x = 5 – \(\frac{6}{5}\)
= \(\frac{25-6}{5}\) = \(\frac{19}{5}\)
ਹੁਣ, x = \(\frac{19}{5}\) ਅਤੇ \(\frac{6}{5}\)
ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ
(2) ਤੋਂ 2x = 4 + 3y
ਜਾਂ x = \(\frac{4+3y}{2}\) ….(4)
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ | ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
\(\frac{4+3y}{2}\) + y = 5
ਜਾਂ \(\frac{4+3y+2y}{2}\) = 5
ਜਾਂ 4 + 5y = 10
ਜਾਂ 5y = 10 – 4 = 6
ਜਾਂ y =\(\frac{6}{5}\)
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (4) ਵਿਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ : ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਇਸ ਲਈ x = \(\frac{19}{5}\) ਅਤੇ y = \(\frac{6}{5}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
3x + 4y = 10 ਅਤੇ 2x – 2y = 2
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
3x + 4y = 10 …….(1)
ਅਤੇ 2x – 2y = 2 ……..(2)
ਵਿਲੋਪਣ ਵਿਧੀ
ਸਮੀਕਰਣ (2) ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
4x – 4y = 4 …(3)
ਹੁਣ, (3) + (1) ਤੋਂ

x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3 (2) + 4y = 10
ਜਾਂ 6 + 4y = 10
ਜਾਂ 4y = 10 – 6
ਜਾਂ 4y = 4
ਜਾਂ y = \(\frac{4}{4}\) = 1
∴ x = 2 ਅਤੇ y = 1
ਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ
(2) ਤੋਂ
2x = 2 + 2y
ਜਾਂ x = y + 1 . . …(3)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3 (y + 1) + 4y = 10
ਜਾਂ 3y + 3 + 4y = 10
ਜਾਂ 7y = 10 – 3
ਜਾਂ 7y = 7
ਜਾਂ y = 1
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 1 + 1 = 2
∴ x = 2 ਅਤੇ y = 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
3x – 5y – 4 = 0 ਅਤੇ 9x = 2y + 7
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
3x – 5y – 4 = 0 …(1)
ਅਤੇ 9x = 2y + 7
ਜਾਂ 9x – 2y – 7 = 0 ….(2)
ਵਿਲੋਪਣ ਵਿਧੀ
(1) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
9x – 15y – 12 = 0 …(3)
ਹੁਣ, (3) – (2) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।

y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ
(2) ਤੋਂ, x = \(\frac{2y+7}{9}\) …(4)
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਜਾਂ -13y – 5 = 0
ਜਾਂ -13y = 5
ਜਾਂ y = \(-\frac{5}{13}\)
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (4) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{x}{2}\) + \(\frac{2y}{3}\) -1 ਅਤੇ x – \(\frac{y}{3}\) = 3
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{x}{2}\) + \(\frac{2y}{3}\) = 1
ਜਾਂ \(\frac{3x+4y}{6}\) = -1
ਜਾਂ 3x + 4y = – 6 …(1)
x – \(\frac{y}{3}\) = 3
ਜਾਂ \(\frac{3x-y}{3}\) = 3
ਜਾਂ 3x – y = 9 …(2)
ਵਿਲੋਪਣ ਵਿਧੀ ।
(1) – (2) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ |
3x + 4(-3) = – 6
ਜਾਂ 3x – 12 = – 6
ਜਾਂ 3x = -6 + 12
ਜਾਂ 3x = 6
ਜਾਂ x = \(\frac{6}{3}\) = 2
∴ x = 2, y = -3
ਤਿਸਬਾਪਨ ਵਿਧੀ :
(2) ਤੋਂ, y = 3x – 9 …..(4)
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3x + 4 (3x – 9) = – 6
ਜਾਂ 3x + 12x – 36 = – 6
ਜਾਂ 15x = – 6 + 36
ਜਾਂ 15x = 30
ਜਾਂ x = \(\frac{30}{15}\) = 2
x ਦਾ ਮੁੱਲ (4) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
y = 3 (2) – 9
= 6 – 9 = – 3
∴ x = 2, y = – 3

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਬਣਾਉ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਜੇਕਰ ਉਸਦੀ ਹੋਂਦ ਹੋਵੇ) ਵਿਲੋਪਣ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਵਿਚ 1 ਜੋੜ ਦੇਈਏ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਘਟਾ ਦੇਈਏ ਤਾਂ ਭਿੰਨ 1ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਸਿਰਫ ਹਰ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਦੇਈਏ ਤਾਂ ਇਹ \(\frac{1}{2}\) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ । ਭਿੰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਭਿੰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ = x
ਭਿੰਨ ਦਾ ਹਰ = y
∴ ਭਿੰਨ = \(\frac{x}{y}\)
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{x+1}{y-1}\) = 1
ਜਾਂ x + 1 = y – 1
ਜਾਂ x – y + 2 = 0
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{x}{y+1}\) = \(\frac{1}{2}\)
ਜਾਂ 2x = y + 1
ਜਾਂ 2x – y – 1 = 0 …..(2)
ਹੁਣ, (2) – (1) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਜਾਂ x = 3
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
2 × 3 – y – 1 = 0
ਜਾਂ 6 – y – 1 = 0
ਜਾਂ 5 – y = 0
ਜਾਂ y = 5
∴ ਭਿੰਨ = \(\frac{3}{5}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਪੰਜ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਨੂਰੀ ਦੀ ਉਮਰ, ਸੋਨੂੰ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਸੀ । ਦਸ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਨੂਰੀ ਦੀ | ਉਮਰ ,ਸੋਨੂ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਦੋ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ । ਨੂਰੀ ਅਤੇ ਸੋਨੂ ਦੀ ਉਮਰ ਕਿੰਨੀ ਹੈ ?
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਨੂਰੀ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਸੋਨੂ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = y ਸਾਲ
ਪੰਜ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ
ਨੂਰੀ ਦੀ ਉਮਰ = (x – 5) ਸਾਲ
ਸੋਨੂ ਦੀ ਉਮਰ = (y – 5) ਸਾਲ
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x – 5 = 3 (y – 5)
ਜਾਂ x – 5 = 3y – 15
ਜਾਂ x – 3y + 10 = 0 …(1)
ਦਸ ਸਾਲ ਬਾਅਦ
ਨੂਰੀ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 10) ਸਾਲ
ਸੋਨੁ ਦੀ ਉਮਰ = (y + 10) ਸਾਲ
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + 10 = 2 (y + 10)
ਜਾਂ x + 10 = 2y + 20
ਜਾਂ x – 2y – 10 = 0 ……(2)
ਹੁਣ (1) – (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਜਾਂ – y = – 20
ਜਾਂ y = 20
y ਦਾ ਮੁੱਲ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ’ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x – 2 (20) – 0 = 0
ਜਾਂ – 40 – 10 = 0 .
ਜਾਂ x = 50
∴ ਨੂਰੀ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = 50 ਸਾਲ
ਸੋਨੂ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = 20 ਸਾਲ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਦੋ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 9 ਹੈ । ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ 9 ਗੁਣਾ, ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ ਬਣੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ 2 ਗੁਣਾ ਹੈ । ਸੰਖਿਆ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਇਕਾਈ ਅੰਕ = x
ਦਹਾਈ ਅੰਕ = y
∴ ਲੋੜੀਂਦੀ ਸੰਖਿਆ = 10y + x
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + y = 9 ….(1)
ਉਲਟਾਉਣ ਤੇ
ਇਕਾਈ ਅੰਕ = y
ਦਹਾਈ ਅੰਕ = x
∴ ਸੰਖਿਆ = 10x + y
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
9 [10y + x] = 2[10x + y]
ਜਾਂ 90y + 9x = 20x + 2y
ਜਾਂ 90y + 9x – 20x – 2y = 0
ਜਾਂ -11x + 88y = 0
ਜਾਂ x – 8y = 0
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

y = 1
y ਦਾ ਮੁੱਲ (2) ਵਿੱਚ ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x – 8 × 1 = 0
ਜਾਂ x = 8
∴ ਸੰਖਿਆ = 10y + x
= 10 × 1 + 8 = 18

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਮੀਨਾ ₹2000 ਕਢਵਾਉਣ ਇੱਕ ਬੈਂਕ ਵਿੱਚ ਗਈ । ਉਸਨੇ ਖਜਾਨਚੀ ਨੂੰ ₹ 50 ਅਤੇ 100 ਦੇ ਨੋਟ ਦੇਣ ਲਈ ਕਿਹਾ | ਮੀਨਾ ਨੇ ਕੁੱਲ 2s ਨੋਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ । ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸਨੇ ₹ 50 ਅਤੇ ₹ 100 ਦੇ ਕਿੰਨੇ-ਕਿੰਨੇ ਨੋਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ?
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਮੀਨਾ ਨੂੰ ਮਿਲੇ ਤੋਂ 50 ਦੇ ਨੋਟਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = x
ਮੀਨਾ ਨੂੰ ਮਿਲੇ ਤੋਂ 100 ਦੇ ਨੋਟਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + y = 25 ……..(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
50x + 100y = 2000
ਜਾਂ x + 2y = 40 …(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

y ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x + 15 = 25
ਜਾਂ x = 25 – 15 = 10
ਮੀਨਾ ਨੂੰ ਮਿਲੇ ₹ 50 ਅਤੇ ₹ 100 ਦੇ ਨੋਟਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 10 ਅਤੇ 15 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
ਕਿਰਾਏ ‘ ਤੇ ਪੁਸਤਕਾਂ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਲਾਇਬਰੇਰੀ । ਦਾ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਦਿਨ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਾਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਹਰ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਦਿਨ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ ਅਲੱਗ ਹੈ । ਸਰਿਤਾ ਨੇ ਸੱਤ ਦਿਨ ਤੱਕ ਇੱਕ ਪੁਸਤਕ ਰੱਖਣ ਲਈ ₹ 27 ਦਿੱਤੇ, ਜਦਕਿ ਮੰਜੂ ਨੇ ਇੱਕ ਪੁਸਤਕ ਪੰਜ ਦਿਨ ਰੱਖਣ ਲਈ ₹ 21 ਦਿੱਤੇ । ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਾਇਆ ਅਤੇ ਹਰ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਦਿਨ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਦਿਨਾਂ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਾਇਆ = ₹ 1
ਹਰ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਦਿਨ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ = ₹ y
ਸਰਿਤਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
x + 4y = 27 ….(1)
ਮੰਜੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
x + 2y = 21 ……(2)
ਹੁਣ, (1) – (2) ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ | ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x + 2 (3) = 21
ਜਾਂ x + 6 = 21
ਜਾਂ x = 21 – 6 = 15
ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਦਿਨਾਂ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਾਇਆ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਾਧੂ ਦਿਨ ਦਾ ਅਲਗ ਕਿਰਾਇਆ ਕੁਮਵਾਰ ₹ 15 ਅਤੇ ₹ 3 ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.3

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x + y = 14
x – y = 4
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x + y = 14 …(1)
ਅਤੇ x – y = 4 …(2)
(2) ਤੋਂ , x = 4 + y ……(3)
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ | ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
4 + y + y = 14
ਜਾਂ 2y = 14 – 4
ਜਾਂ 2y = 10
ਜਾਂ y = \(\frac{10}{2}\) = 5
y ਦਾ ਮੁੱਲ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 4 + 5 = 9
x = 9 ਅਤੇ y = 5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
s – t = 3
\(\frac{s}{3}\) + \(\frac{t}{2}\) = 6
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
s – t = 3 …(1)
ਅਤੇ \(\frac{s}{3}\) + \(\frac{t}{2}\) = 6
ਜਾਂ \(\frac{2s+3t}{6}\) = 6
ਜਾਂ 2s + 3t = 36 …….(2)
(1) ਤੋਂ, s = 3 + t ….(3)
s ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
2 (3 + t) + 3t = 36
ਜਾਂ 6 + 2t + 3t = 36
ਜਾਂ 6 + 5t = 36
ਜਾਂ 5t = 36 – 6
ਜਾਂ 5t = 30
ਜਾਂ t = \(\frac{30}{5}\) = 6
t ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (3) ਵਿੱਚ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
s = 3 + 6 = 9
∴ s = 9 ਅਤੇ t = 6

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
3x – y = 3
9x – 3y = 9
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
3x – y = 3 …(1)
ਅਤੇ 9x – 3y = 9 …(2)
(1) ਤੋਂ,
3x – 3 = y
ਜਾਂ y = 3x – 3 …(3)
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ।
9x – 3(3x – 3) = 9
ਜਾਂ 9x – 9x + 9 = 9
ਜਾਂ 9 = 9
∴ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਹੈ ।
ਫਿਰ ਵੀ ਅਸੀਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮੁੱਲ ਹੱਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ । ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ y ਦਾ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ । ਇਹ ਸਥਿਤੀ ਇਸ ਲਈ ਪੈਦਾ ਹੋਈ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਹਨ !
∴ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਅਤੇ (2) ਦੇ ਅਸੀਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਨੇਕ ਹੱਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
0.2x + 0.3y = 1.3
ਜਾਂ \(\frac{2}{10}\)x + \(\frac{3}{10}\)y = \(\frac{13}{10}\)
2x + 3y = 13 ….(1)
0.4x + 0.5y = 2.3
ਜਾਂ \(\frac{4}{10}\)x + \(\frac{5}{10}\)y = \(\frac{23}{10}\)
ਜਾਂ 4x + 5y = 23 ….(2)
(1) ਤੋਂ, 2x = 13 – 3y
ਜਾਂ x = \(\frac{13-3y}{2}\) …..(3)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2), ਵਿਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
4\(\frac{13-3y}{2}\) + 5y = 23
26 – 6y + 5y = 23
– y = 23 – 26 = – 3
y = 3
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{13-3×3}{2}\)
= \(\frac{13-9}{2}\)
= \(\frac{4}{2}\)
= 2
∴ x = 2 ਅਤੇ y = 3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
\(\sqrt {2}\)x + \(\sqrt {3}\) y = 0
\(\sqrt {3}\)x – \(\sqrt {8}\) y = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\sqrt {2}\)x + \(\sqrt {3}\)y = 0 ….(1)
ਅਤੇ \(\sqrt {3}\)x – \(\sqrt {8}\)y = 0 ..(2)
(2) ਸ਼ੇ, \(\sqrt {3}\)x = \(\sqrt {8}\)y
(3) x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)y ….(3)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\) × 0 = 0
∴ x = 0 ਅਤੇ y = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
\(\frac{3x}{2}\) – \(\frac{5y}{3}\) = -2
\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{13}{6}\)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{3}{2}\)x – \(\frac{5}{3}\)y = -2
\(\frac{0x-10y}{6}\) = -2
ਜਾਂ 9x – 10y = -12 …..(1)
\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{13}{6}\)
ਜਾਂ \(\frac{2x+3y}{6}\) = \(\frac{13}{6}\)
ਜਾਂ 2x + 3y = \(\frac{13}{6}\) × 6
ਜਾਂ 2x + 3y = 13 …(2)
(1) ਤੋਂ, 9x = 10y – 12
ਜਾਂ x = \(\frac{10y-12}{9}\) …(3)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਜਾਂ 47y – 24 = 13 × 9 = 117
ਜਾਂ 47y = 117 + 24 = 141
ਜਾਂ y = \(\frac{141}{47}\) = 3
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (3), ਵਿੱਚ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{10×3-12}{9}\) = \(\frac{30-12}{9}\)
= \(\frac{18}{9}\)
= 2
∴ x = 2 ਅਤੇ y = 3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
2x + 3y = 11 ਅਤੇ 2x – 4y = -24 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ | ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ‘ਅ’ ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੇ ਲਈ y = mx + 3 ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x + 3y = 11 …(1)
ਅਤੇ , 2x – 4y = – 24 ….(2)
(2) ਤੋਂ,
2x = 4y – 24
ਜਾਂ 2x = 2 [2y – 12]
ਜਾਂ x = 2y – 12 …(3)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
2 (2y – 12) + 3y = 11
ਜਾਂ 4y – 24 + 3y = 11
ਜਾਂ 7y = 11 + 24
ਜਾਂ 7y = 35
ਜਾਂ y = \(\frac{35}{7}\) = 5
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (3) ਵਿੱਚ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ | ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 2 (5) – 12
= 10 – 12 = -2
ਹੁਣ y = mx + 3 ਲਉ ॥
x = -2, y = 5 ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
5 = m (-2) + 3
ਜਾਂ 5 – 3 = – 2m
ਜਾਂ 2 = -2m
ਜਾਂ -2m = 2
ਜਾਂ m = -1
∴ x = – 2, y = 5 ਅਤੇ m = – 1

3. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜੇ ਬਣਾਉ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਵਿੱਧੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 26 ਹੈ ਅਤੇ ਇਕ ਸੰਖਿਆ ਦੁਸਰੀ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਹੈ । ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਅਤੇ y ਹਨ । ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x – y = 26 …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x = 3y …(2)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3y – y = 26
ਜਾਂ 2y = 26
ਜਾਂ y = \(\frac{26}{2}\) = 13
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 3 × 13 = 39
∴ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 39, 13 ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਦੋ ਸੰਪੂਰਕ ਕੋਣਾਂ ਵਿਚ ਵੱਡਾ ਕੋਣ ਛੋਟੇ ਕੋਣ ਤੇ 18 ਡਿਗਰੀ ਵੱਧ ਹੈ । ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਦੋ ਸੰਪੂਰਕ ਕੋਣ x, y ਹਨ ਅਤੇ x > y ਹੈ ।
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + y = 180 ….(1)
ਦੁਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x = y + 18 …(2)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
y + 18 + y = 180
ਜਾਂ 2y = 180 – 18
ਜਾਂ 2y = 162
ਜਾਂ y = \(\frac{162}{2}\) = 81
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 81 + 18 = 99
∴ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੋਣ 999, 81° ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਕਟ ਟੀਮ ਦੇ ਕੋਚ ਨੇ 7 ਬੱਲੇ ਅਤੇ 6 ਗੇਂਦਾਂ ₹ 3800 ਵਿਚ ਖਰੀਦੀਆਂ । ਬਾਅਦ ਵਿਚ ਉਸਨੇ 3 ਬੱਲੇ ਅਤੇ 5 ਗੇਂਦਾਂ ₹ 1750 ਵਿਚ ਖਰੀਦੀਆਂ । ਹਰ ਇੱਕ ਬੱਲੇ ਅਤੇ ਗੇਂਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਇੱਕ ਬੱਲੇ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ x
ਇਕ ਗੇਂਦ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
7x + 6y = 3800 ….(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
3x + 5y = 1750 . …(2)
(1) ਤੋਂ 7x = 3800 – 6y
ਜਾਂ x = \(\frac{3800-6y}{7}\) …..(3)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3[latex]\frac{3800-6y}{7}[/latex] + 5y = 1750
ਜਾਂ \(\frac{11400-18y+35y}{7}\) = 1750
ਜਾਂ 11400 + 17y = 1750 × 7
ਜਾਂ 11400 + 17y = 12250
ਜਾਂ 17y = 12250 – 11400
ਜਾਂ 17y = 850
ਜਾਂ y = \(\frac{850}{17}\) = 50
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{3800-6×50}{7}\)
= \(\frac{3800-300}{7}\) = \(\frac{3500}{7}\)
x = 500
∴ ਇਕ ਬੱਲੇ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 500
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 50

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਇਕ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿਚ ਟੈਕਸੀ ਕਿਰਾਏ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਾਏ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । 10 ਕਿ. ਮੀ. ਦੂਰੀ ਦੇ ਲਈ ਕਿਰਾਇਆ ₹ 105 ਹੈ ਅਤੇ 15 ਕਿ. ਮੀ. ਦੇ ਲਈ ਕਿਰਾਇਆ ₹ 155 ਹੈ ।ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਾਇਆ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਕਿ. ਮੀ. ਕਿਰਾਇਆ ਕੀ ਹੈ ? ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ 25 ਕਿ. ਮੀ. ਯਾਤਰਾ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕਿਰਾਇਆ ਦੇਣਾ ਪਵੇਗਾ ?
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਟੈਕਸੀ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਾਇਆ = ₹ x
ਇੱਕ ਪਤੀ ਕਿ.ਮੀ. ਯਾਤਰਾ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ = ₹ y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + 10y = 105 ….(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + 15y = 155 …(2)
(1) ਤੋਂ
x = 105 – 10y …(3)
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
105 – 10y + 15y = 155
ਜਾਂ 5y = 155 – 105
ਜਾਂ 5y = 50
ਜਾਂ y = \(\frac{50}{5}\) = 10
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 105 – 10 × 10
= 105 – 100 = 5
ਟੈਕਸੀ ਦਾ ਨਿਸਚਿਤ ਕਿਰਾਇਆ = ₹ 5
ਪ੍ਰਤੀ ਕਿ.ਮੀ. ਕਿਰਾਇਆ = ₹ 10
25 ਕਿ.ਮੀ. ਯਾਤਰਾ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ
= ₹ (10 × 25) + ₹ 5
= [250 + 5]
= ₹ 255

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਭਿੰਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਹਾਂ ਵਿਚ 2 ਜੋੜ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਇਹ \(\frac{9}{11}\) ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਵਿਚ 3 ਜੋੜ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ। ਤਾਂ ਇਹ \(\frac{5}{6}\) ਜਾਂਦੀ ਹੈ । ਇਹ ਭਿੰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਭਿੰਨ ਦਾ ਹਰ = x
ਭਿੰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ = y
∴ ਲੋੜੀਂਦੀ ਭਿੰਨ = \(\frac{x}{y}\)
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{x+2}{y+2}\) = \(\frac{9}{11}\)
ਜਾਂ 11 (x + 2) = 9 (y + 2)
ਜਾਂ 11x + 22 = 9y + 18
ਜਾਂ 11x = 9y + 18 – 22
ਜਾਂ 11x = 9y – 4
ਜਾਂ x = \(\frac{9y-4}{11}\) …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{x+3}{y+3}\) = \(\frac{5}{6}\)
ਜਾਂ 6 (x + 3) = 5 (y + 3)
ਜਾਂ 6x + 18 = 5y + 15
ਜਾਂ 6x – 5y = 15 – 18
ਜਾਂ 6x – 5y = – 3 ….(2)
x ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
6\(\frac{9y-4}{11}\) – 5y = -3
ਜਾਂ \(\frac{54y-24}{11}\) – 5y = -3
ਜਾਂ \(\frac{54y-24-55y}{11}\) = -3
ਜਾਂ – y – 24 = – 3 × 11
ਜਾਂ – y = – 33 + 24
ਜਾਂ – y = – 9
ਜਾਂ y = 9
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{9×9-4}{11}\) = \(\frac{81-4}{11}\)
= \(\frac{77}{11}\) = 7
∴ ਭਿੰਨ \(\frac{7}{9}\) ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
ਪੰਜ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਜੈਕਬ ਦੀ ਉਮਰ ਉਸਦੇ ਲੜਕੇ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ । ਪੰਜ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਜੈਕਬ ਦੀ ਉਮਰ ਉਸਦੇ ਲੜਕੇ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਸੱਤ ਗੁਣਾ ਸੀ । ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਹੁਣ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ‘ ਉਮਰ ਕੀ ਹੈ ?
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਜੈਕਬ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਅਤੇ ਜੈਕਬ ਦੇ ਲੜਕੇ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = y ਸਾਲ
ਪੰਜ ਸਾਲ ਬਾਅਦ
ਜੈਕਬ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 5) ਸਾਲ
ਲੜਕੇ ਦੀ ਉਮਰ = (y + 5) ਸਾਲ
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + 5 = 3 (y + 5)
ਜਾਂ x + 5 = 3y + 15
ਜਾਂ x = 3y + 15 – 5
ਜਾਂ x = 3y + 10 ….(1)
ਪੰਜ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ
ਜੈਕਬ ਦੀ ਉਮਰ = (x – 5) ਸਾਲ
ਲੜਕੇ ਦੀ ਉਮਰ = (y – 5) ਸਾਲ
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x – 5 = 7 (y – 5)
ਜਾਂ x – 5 = 7y – 35
ਜਾਂ x – 7y = – 35 + 5
ਜਾਂ x – 7y = – 30
x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
3y + 10 – 7y = – 30
ਜਾਂ – 4y = – 30 – 10
ਜਾਂ 4y = – 40
ਜਾਂ y = 10
y ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ’ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 3 (10) + 10
= 30 + 10 = 40
ਜੈਕਬ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਲੜਕੇ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ ਕੁਮਵਾਰ 40 ਸਾਲ ਅਤੇ 10 ਸਾਲ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਬਲਦੇਵ ਆਪਣੀ ਲੜਕੀ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ, “ਸੱਤ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਮੈਂ ਤੇਰੇ ਨਾਲੋਂ ਸੱਤ ਗੁਣਾ ਉਮਰ ਦਾ ਸੀ । ਹੁਣ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਮੈਂ ਤੇਰੇ ਤੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਉਮਰ ਦਾ ਰਹਿ ਜਾਵਾਂਗਾ । ਕੀ ਇਹ ਮੰਨੋਰੰਜਕ ਹੈ ?) ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫੀ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਅਕਤ ਕਰੋ (ਦਰਸਾਉ) ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਬਲਦੇਵ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ ਹੈ।
= x ਸਾਲ
ਅਤੇ ਬਲਦੇਵ ਦੀ ਲੜਕੀ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = y ਸਾਲ
ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x – 7 = 7 (y – 7)
ਜਾਂ x – 7 = 7y – 49
ਜਾਂ x – 7y + 42 = 0
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + 3 = 3 (y + 3)
ਜਾਂ x + 3 = 3y + 9
ਜਾਂ x – 3y – 6 = 0
∴ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x – 7y + 42 = 0
ਅਤੇ x – 3y – 6 = 0
ਗ੍ਰਾਫੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ
x – 7y + 42 = 0
x = 7y – 42 …..(1)
y = 5. ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 7 × 5 – 42
= 35 – 42 = – 7
y = 6 ਨੂੰ (1) ਵਿਚ , ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 7 × 6 – 42
= 42 – 42 = 0
y = 7 ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 7 × 7 – 42
= 49 – 42 = 7
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (- 7, 5), B (0, 6), C (7, 7) ਨੂੰ ਅੰਕਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x – 7y + 42 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਮਿਲਦਾ ਹੈ :
x – 3y – 6 = 0
x = 3y + 6 ….(2)
y = 0 ਨੂੰ (2), ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 3 × 0 + 6
= 0 + 6 = 6.
y = 3 ਨੂੰ (2) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 3 × 3 + 6
= 9 + 6 = 15
y = – 2 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 3 × -2 + 6
= – 6 + 6 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ D (6, 0), E (15, 3), F (0, – 2) ਨੂੰ | ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ | ਸਮੀਕਰਣ x – 3y – 6 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਰੇਖਾਵਾਂ
G (42, 12) ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਇਸ ਲਈ, x = 42 ਅਤੇ y = 12 ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਕ੍ਰਿਕੇਟ ਟੀਮ ਦੇ ਇੱਕ ਕੋਚ ਨੇ ₹ 3900 ਵਿੱਚ 3 ਬੱਲੇ ਅਤੇ 6 ਗੇਂਦਾਂ ਖ਼ਰੀਦੀਆਂ । ਬਾਅਦ ਵਿਚ ਉਸਨੇ ਇਕ ਹੋਰ ਬੱਲਾ ਅਤੇ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ 3 ਗੇਂਦਾਂ ₹ 1300 ਵਿਚ ਖ਼ਰੀਦੀਆਂ । ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਜਿਮਾਇਤੀ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਅਕਤ ਕਰੋ
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਇੱਕ ਬੱਲੇ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ x
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ y
ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ:
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
3x +6y = 3900
ਜਾਂ x+ 2y = 1300
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
1x + 3y = 1300
∴ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
1 + 2y = 1300
ਅਤੇ + 3y = 1300
ਆਲੇਖ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ
x + 2y = 1300
x = 1300 – 2y …..(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 1300 – 2 × 0
x = 1300
y = 500 ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 1300 – 2 × 500
= 1300 – 1000 = 300
y = 650 ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 1300 – 2 × 650
x = 1300 – 1300 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (1300, 0), B (300, 500) ਅਤੇ C (0, 650) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + 2y = 1300 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x + 3y = 1300
x = 1300 – 3y ……..(2)
y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 1300 – 3 × 0
= 1300
y = 500 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 1300 – 3 × 500
= 1300 – 1500 = – 200
y = 300 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 1300 – 3 × 300
= 1300 – 900 = 400
ਸਾਰਣੀ


ਬਿੰਦੁਆਂ A (1300, 0), E – 200, 500), F (400, 300) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + 3y =1300 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਰੇਖਾਵਾਂ A (1300, 0) ਉੱਤੇ ਕਟੰਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਇਸ ਲਈ x = 1300 ਅਤੇ y = 0 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
2 ਕਿ. ਗ੍ਰਾਮ ਸੇਬ ਅਤੇ 1 ਕਿ. ਗ੍ਰਾਮ ਅੰਗੂਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਦਿਨ ਤੋਂ 160 ਸੀ । ਇਕ ਮਹੀਨੇ ਬਾਅਦ 4 ਕਿ.ਗ੍ਰਾਮ ਸੇਬ ਅਤੇ 2 ਕਿ. ਗ੍ਰਾਮ ਅੰਗੂਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ₹ 300 ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਜਿਮਾਇਤੀ ਰੂਪ ਵਿਚ ਦਰਸਾਉ ਵਿਅਕਤ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ 1 ਕਿ.ਗਾਮ ਸੇਬਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ x
1 ਕਿ.ਗ੍ਰਾਮ ਅੰਗੂਰ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ y
ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
2x + 2y = 160
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
4x + 2y = 300
∴ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x + y = 160
ਅਤੇ 4x + 2y = 300
ਜਿਮਾਇਤੀ ਰੂਪ
2 + y = 160
2x = 160 – y
x = \(\frac{160-y}{2}\) ……(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{160-0}{2}\) = \(\frac{160}{2}\)
= 80.
y = 60 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{160-60}{2}\) = \(\frac{100}{2}\)
= 50
y= 160 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{160-160}{2}\)
= \(\frac{0}{2}\)
= 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A (80, 0), B (50, 60), C (0, 160) ਨੂੰ ਅੰਕਿਤ ਕਰਨ ’ਤੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ’ਤੇ ਸਮੀਕਰਣ 2x + y = 160 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
4x + 2y = 300
2x + y = 150
2x = 150 – y
x = \(\frac{150-y}{2}\) …(2)
y = 0 ਨੂੰ (2), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{150-0}{2}\) = \(\frac{150}{2}\)
= 75
y = 50 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{150-50}{2}\) = \(\frac{100}{2}\) = 50
y = 150 ਨੂੰ (2) ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = \(\frac{150-150}{2}\) = \(\frac{=}{2}\)
= 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ D (75, 0), E (50, 50), F (0, 150) ਨੂੰ | ਅੰਕਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਮੀਕਰਣ 4x + 2y = 300 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 2 ਬਹੁਪਦ Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 ਬਹੁਪਦ Exercise 2.4

1. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਹਨ । ਹਰ ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, – 2
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ p (x) = 2x³ + x² – 3x + 2
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਣਾ ax² + bx² + cx + d ਨਾਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ
∴ a = 2, b = 1, c = – 5, d = 2

∴ \(\frac{1}{2}\), p(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।
ਅਤੇ p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2 = 5 – 5 = 0
∴ 1, p (1) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।
ਨਾਲ ਹੀ, p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² – 5(-2) + 2
= – 16 +4 + 10 + 2
= – 16 + 16 = 0
∴ – 2, p (x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।
ਉਪਰੋਕਤ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ \(\frac{1}{2}\), 1, – 2 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ ।
ਮੰਨ ਲਉ ਕਿ ਇਹ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ :
α = \(\frac{1}{2}\), β = 1, γ = -2
ਹੁਣ, α + β + γ = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (-2)
= \(\frac{1}{2}\) + 1 – 2 = \(\frac{1+2-4}{2}\)
= \(\frac{-1}{2}\)
= \(\frac{-a}{b}\)
αβ + βγ + γα = \(\left(\frac{1}{2}\right)\)(1) + (-1)(-2) + (-2)\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{1-4-2}{2}\)
= \(\frac{-5}{2}\) = \(\frac{c}{a}\)
αβγ = \(\left(\frac{1}{2}\right)\)(1)(-2) = \(\frac{-2}{2}\) = \(\frac{-d}{a}\)
ਉਪਰੋਕਤ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2.
ਇਸਦੀ ਤੁਲਣਾਂ ax³ + bx² + cx + d ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 4, c = 5, d = – 2
ਹੁਣ p (2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 18 – 18
= 0
∴ 2, p (2) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।
ਅਤੇ p (1) = (1)³ – 4(1)³ + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2
= 6 – 6 = 0
∴ 1, p (1) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।
ਉਪਰੋਕਤ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ 2, 1, 1 ਦਿੱਤੇ ਗਏ | ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ ।
ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ ।
α = 2, β = 1, γ = 1
ਹੁਣ, α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4
= \(\frac{-(-4)}{1}\) = \(\frac{-b}{a}\)
αβ + βγ + γα = (2)(1) + (1)(1) + (1)(2)
= 2 + 1 + 2 = 5
= \(\frac{5}{1}\) = \(\frac{c}{a}\)
αβγ = (2)(1)(1) = 2
= \(\frac{-(-2)}{1}\) = \(\frac{-d}{a}\)
ਉਪਰੋਕਤ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਇਕ ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਦੋ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਲੈ ਕੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਤਿੰਨਾਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕੁਮਵਾਰ 2, – 7, – 14 ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਰਬਵਿਆਪਕ ਵਿਅੰਜਕ ਹੈ ।
ax³ + bx² + cx + d.
ਮੰਨ ਲਉ , α, β, γ ਇਸ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ ।
∴ α + β + γ = ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ = 2
αβ + βγ + γα = ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ = – 7
αβγ = ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = – 14
∴ ax² + bx² + cx + d
= k [(x – α) (x – β) (x – γ)] ਜਿੱਥੇ k ਕੋਈ ਅਚਲ ਹੈ ।
= k [x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ]
= k [x³ – 2x² – 7x + 14] [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]
k, ਦੇ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ x³ – 3x² + x + 1 ਦੀਆਂ ਸਿਫਰਾਂ a – b, a, a + b, ਹੋਣ ਤਾਂ a ਅਤੇ b ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ p (x) = x³ – 3x² + x + 1
ਇਸਦੇ ਸਿਫ਼ਰ a – b, a, a + b ਹਨ
a – b, p (x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ । …(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
p (a – b) = 0
ਜਾਂ (a – b)³ – 3(a – b)² + (a – b) + 1 = 0
ਜਾਂ [a³– b³ – 3a²b + 3ab²] – 3 [a² + b² – 2ab] + a – b + 1 = 0
ਜਾਂ a³ – b³ – 3a²b + 3ab² – 3a² – 3b² + 6ab + a – b + 1 = 0 ….(1)
ਅਤੇ a, p (x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ….(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ p (a) = 0
ਜਾਂ a³ – 3a³ + a + 1 = 0 …(2)
ਨਾਲ ਹੀ, a + b, p (x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ..(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ p (a + b) = 0
ਜਾਂ (a + b)³ – 3 (a + b)² + (a + b) + 1 = 0
ਜਾਂ (a³ + b³ + 3a²b + 3ab²) – 3 (a² + b² + 2ab) + a + b – 1 = 0
ਜਾਂ a³ + b³ + 3a²b + 3ab² – 3a² – 3b² – 6ab + a + b + 1 = 0 ….(3)
(1) ਅਤੇ (3), ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
2a³ + 6ab² – 6a² – 6b² + 2 + 2 = 0
ਜਾਂ a³ + 3ab² – 3a² – 3b² + a + 1 = 0
ਜਾਂ (a³ – b³ + 4 + 1) + (3ab² – 3b²) = 0
ਜਾਂ 0 + 3b²(a – 1) – 0[(2) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ]
ਜਾਂ a – 1 = 0
ਜਾਂ a = 1 …(4)
(3) ਅਤੇ (4), ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
(1)³ + b³ + 3(1)²b + 3(1)b² – 3 (1)² – 3b² – 6 (1) b + 1 + b + 1 = 0
ਜਾਂ 1+ b³ + 3b + 3b² – 3 – 3b² – 6b + b + 2 = 0
ਜਾਂ b³ – 2b = 0 ਜਾਂ b (b² – 2) = 0
ਜਾਂ b² – 2 = 0 ਜਾਂ b² = 2
ਜਾਂ b = ±\(\sqrt {2}\)
ਇਸ ਲਈ, a = 1, b = ±\(\sqrt {2}\)
ਵੈਕਲਪਿਕ ਹੱਲ
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿ ਬਹੁਪਦ x³ – 3x² + x + 1 ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ a – b, a, a + b ਹਨ ।
ਹੁਣ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ = (a – b) + a + (a + b)
= a – b + a + a + b
= 3a,
ਪਰੰਤੂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ

∴ 3a = 3 ਜਾਂ a = 1
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (a – b) . a . (a + b)
= (a² – b²) a
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਭਰਨ ਤੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ :
= (1² – b²) . 1
= (1 – b²)
ਪਰੰਤੂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਸਿਫਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ

∴ 1 – b² = – 1
-b² = -1 – 1
-b² = – 2 ਜਾਂ b² = 2
b = ±\(\sqrt {2}\)
ਇਸ ਲਈ a = 1 ਅਤੇ b = ±\(\sqrt {2}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 ਦੇ ਦੋ ਸਿਫ਼ਰ 2 ± \(\sqrt {3}\) ਹੋਣ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਦੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ :
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਦੋ ਸਿਫ਼ਰਾਂ (2 + \(\sqrt {3}\)) ਅਤੇ (2 – \(\sqrt {3}\)) ਹਨ ।

= x² – 4x + [(2)² – (\(\sqrt {3}\))²]
= x² – 4x + 1
∴ (x² – 4x + 1) ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ । ਹੁਣ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਅਤੇ (x² – 4x + 1) ਉੱਤੇ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ

∴ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
= (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35)
= (x² – 4x + 1) [x² + 5x – 7x – 35) | S = – 2, P = – 35
= (x² – 4x + 1) [(x + 5) – 7(x + 5)]
= (x² – 4x + 1) (x + 5) (x – 7)
ਹੁਣ, ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਬਾਕੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ
x + 5 = 0 ਜਾਂ x – 7 = 0
x = – 5 ਜਾਂ x = 7
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਾਰ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਰ ਹਨ :
2 + \(\sqrt {3}\), 2 – \(\sqrt {3}\), – 5, 7

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 ਨੂੰ ਦੂਸਰੇ ਬਹੁਪਦ x² – 2x + k ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਅਤੇ ਬਾਕੀ x + a, ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ ਤਾਂ k ਅਤੇ a ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਪਦ x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 ਨੂੰ ਇਕ ਦੂਸਰੇ ਬਹੁਪਦ x² – 2x + k ਨਾਲ | ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਕੀ x + a ਆਉਂਦਾ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ
x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 ਨੂੰ x² – 2x + k ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

∴ ਬਹੁਪਦ x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
ਦੇ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ
= (x² – 2x + k) [x² – 4x + (8 – k)] + [(-9 + 2k) + (10 – 8k + k²]
∴ ਭਾਗਫਲ = x² – 4x + (8 – k)
ਅਤੇ ਬਾਕੀ = (-9 + 2k) x + (10 – 8k + k²)
ਪਰੰਤੂ ਬਾਕੀ = x + a ….(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ (-9 +2k)x + (10 – 8k + k²)
= x + a
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਤੁਲਣਾ ਕਰਨ ਤੇ
-9 + 2k = 1 ਜਾਂ 10 – 8k + k² = a
2k = 1 + 9
2k = 10, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ
k = \(\frac{10}{2}\) = 5
ਹੁਣ, 10 – 8k + k² = a
k ਦਾ ਮੁੱਲ ਰੱਖਣ ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
10 – 8 × 5 + (5)² = a
10 – 40 + 25 = a
k = 5
-5 = a
a = – 5
ਇਸ ਲਈ, k = 5 ਅਤੇ a = – 5

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 2 ਬਹੁਪਦ Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 ਬਹੁਪਦ Exercise 2.3

1. ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ p(x) ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ g(x) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3
ਅਤੇ g(x) = x² – 2

ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ,
x³ – 3x² + 5x – 3
= (x – 3) (x² – 2) + (7x – 9)
ਭਾਗਫਲ = x – 3, ਬਾਕੀ = 7x – 9

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5
ਜਾਂ p(x) = x⁴ + 0x³ – 3x² + 4x + 5
ਅਤੇ g(x) = x² + 1 – x
ਜਾਂ g(x) = x² – x + 1

ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ, ਮਾਂ
x⁴ – 3x² + 4x + 5
= (x² + x – 3) (x² – x + 1) + 8
ਭਾਗਫਲੇ = x² + x – 3
ਅਤੇ ਬਾਕੀ = 8

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ p(x) = x⁴ – 5x + 6
ਜਾਂ p(x) = x⁴ + 0³ + 0x² – 5x + 6
ਅਤੇ g(x) = 2 – x²
ਜਾਂ g(x) = -x² + 2

ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ,
x⁴ – 5x + 6
= (-x² – 2) (-x² + 2) + (-5x + 10)
ਇਸ ਲਈ, ਭਾਗਫਲ = -x² – 2,
ਬਾਕੀ = – 5x + 10

2. ਦੂਸਰੀ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਬਹੁਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਪਹਿਲੀ ਬਹੁਪਦ, ਦੂਸਰੀ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
ਉੱਤਰ:

∵ ਬਾਕੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।
∴ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ
t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
ਉੱਤਰ:

∵ ਬਾਕੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।
∴ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ
x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
ਉੱਤਰ:

∵ ਬਾਕੀ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ
∴ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ x³ – 3x + 1,
x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5, ਦੇ ਦੋ ਸਿਫ਼ਰ \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) ਅਤੇ \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) ਹੋਣ ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਦੀਆਂ ਸਿਫਰਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਸਿਫ਼ਰਾਂ \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) ਅਤੇ \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\)
∴ (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))[x – (-\(\sqrt{\frac{5}{3}}\))] ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ।
ਜਾਂ (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))(x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ।
ਜਾਂ x² – \(\frac{5}{3}\) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਅਤੇ x² – \(\frac{5}{3}\) ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,

∴ 3x² + 6x³ + 2x² – 10x – 5
= (x² – \(\frac{5}{3}\))[3x² + 6x + 3] S = 2, P = 1
= (x² – \(\frac{5}{3}\))(3)[x² + 2x + 1]
= 3(x² – \(\frac{5}{3}\))[x² + x + x + 1]
= 3(x² – \(\frac{5}{3}\))[x(x + 1) + 1(x + 1)]
= 3(x² – \(\frac{5}{3}\))(x + 1)(x + 1)
ਹੁਣ, ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਬਾਕੀ ਸਿਫ਼ਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ
x + 1 = 0 ਜਾਂ x + 1 = 0
x = – 1 ਜਾਂ x = – 1
∴ ਦਿੱਤੇ ਗਈ ਚਾਰ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ :
\(\sqrt{\frac{5}{3}}\), \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\), -1, -1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਬਹੁਪਦ x³ – 3x² + x + 2 ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ g(x) ਨਾਲ ‘ ਭਾਗ ਦੇਣ ‘ ਤੇ ਭਾਗਫਲ x – 2 ਅਤੇ ਬਾਕੀ -2x + 4 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ g(x) ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ
p (x) = x³ – 3x² + x + 2
ਅਤੇ q(x) = (x – 2)
ਅਤੇ r(x) = – 2x + 4
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਤੇ
p(x) = g(x). q(4) + r(x)
ਜਾਂ p(x) – r(x) = g(x) . q (x)
ਜਾਂ g(x) . q(x) = p(x) – r(x)
ਜਾਂ g(x) = \(\frac{p(x)-r(x)}{q(x)}\)
ਅਲਗ-ਅਲਗ ਮੁੱਲ ਰੱਖਣ ਤੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ

∴ \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}\) = x² – x + 1 ….(2)
(1) ਅਤੇ (2), ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ :
g(x) = x² – x + 1

5. ਬਹੁਪਦ p (x), g (x), q (x) ਅਤੇ r (x) ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਿਉ ਜੋ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹੋਣ ਅਤੇ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਘਾਤ p (x) = ਘਾਤ q (x)
ਉੱਤਰ:
p(x) = x² – 5x + 10, g(x) = 5
q(x) = x² – x + 2; r(x) = 0

∴ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ
5x² – 5x + 10 = 5 (x² – x + 2) + 0
ਜਾਂ p(x) = g(x) q(x) + r(x)
ਨਾਲ ਹੀ, p (x) ਦੀ ਘਾਤ = q (x) ਦੀ ਘਾਤ = 2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਘਾਤ q (x) = ਘਾਤ r (x)
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ p (x) = 7x³ – 42x + 53;
g(x) = x³ – 6x + 7;
q(x) = 7; r(x) = 4

∴ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ
7x³ – 42x + 53
= 7(x³ – 6x + 7) + 4
ਜਾਂ p(x) = q (1) g (x) + r (x)
ਨਾਲ ਹੀ, ਘਾਤ q (x) = 0.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਘਾਤ r (x) = 0
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ p (x) = 4x³ + x² + 3x + 6;
g(x) = x² + 3x + 1;
q(x) = 4x – 11; r(x) = 32x + 17

∴ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਤੋਂ
4x³ + x² + 3x + 6
= (4x – 11) (x² + 3x + 1) + (32x + 17)
ਜਾਂ p(x) = q(x)∙g(x) + r(x)
ਨਾਲ ਹੀ, ਘਾਤ q(x) = ਘਾਤ r(x)