Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3
प्रश्न 1.
आकृति में, ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: : बिंदुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° हैं, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
हल:
∠SPR + ∠QPR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 135°+ ∠QPR = 180°
⇒ ∠QPR = 180° – 135°
⇒ ∠QPR = 45°
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज का बहिष्कोण में अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
ΔPQR में ;
कोण ∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
⇒ 110° = 45° + ∠PRQ
⇒ 110° – 45° = ∠PRQ
⇒ 65° = ∠PRQ
य ∠PRQ = 65°
प्रश्न 2.
आकृति में ∠x = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमश: ΔXYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
हल :
ΔXYZ में,
∠x + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 62° – 54°
⇒ ∠XZY = 64°
अब ZO, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∴ ∠OZY = ∠OZX = \(\frac {1}{2}\)∠XZY
∠OZY = ∠OZX = \(\frac {1}{2}\) × 64°
⇒ ∠OZY = ∠OZX = 32°
∠OZY = 32°
YO, ∠XYZ का समद्विभाजक है।
∴ ∠OYZ = ∠OYX = \(\frac {1}{2}\)∠XYZ
⇒ ∠OYZ = \(\frac {1}{2}\) × 54°
⇒ ∠OYZ = 27°
अब ΔOYZ में
⇒ ∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠YOZ + 27° + 32° = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 27° – 32°
⇒ ∠YOZ = 121°
प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
हल :
AB || DE और AE एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠BAE = ∠AED (एकांतर कोण)
या ∠BAC = ∠AED
⇒ 35° = ∠AED
या ∠AED = 35°
या ∠CED = 35°
अब ΔCDE में;
∠DCE + ∠CDE + ∠CED = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠DCE + 53° + 35° = 180°
⇒ ∠DCE + 88° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88°
⇒ ∠DCE = 92°
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T | पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।
हल :
ΔPRT में; ∠RPT + ∠PRT + ∠PTR = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 95° – 40°
⇒ ∠PTR = 180° – 1350
⇒ ∠PTR = 45° …(i)
PQ और RS परस्पर बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
∴ ∠STQ = ∠PTR
(शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠STQ = 45°
[(i) का प्रयोग करने पर।]
अब ΔSTQ में,
⇒ ∠SQT + ∠STQ + ∠QST = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠SQT + 45° + 75° = 180°
⇒ ∠SQT = 180° – 45° – 75°
⇒ ∠SQT = 180° – 120°
⇒ ∠SQT = 60°
प्रश्न 5.
आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
ΔQSR में,
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
⇒ 65° = ∠QSR + 28°
⇒ 65° – 28° = ∠QSR
⇒ 37° = ∠QSR या
∠QSR = ∠37° ………….(i)
PQ || SR और SQ एक तिर्यक रेखा है
∴ x = ∠QSR
⇒ x = 37°
[(i) का प्रयोग करने पर] … (ii)
PQ ⊥ PS
⇒ ∠QPS = 90° … (iii)
समकोण ΔPQS में;
ΔQPS + x + y = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 90° + 37° + y = 180°
[(ii) और (iii) का प्रयोग करने पर।]
⇒ 127° + y = 180°
⇒ y = 180° – 127°
⇒ y= 53°
प्रश्न 6.
आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \(\frac {1}{2}\) ∠QPR है।
हल :
QT ∠PQR का समद्विभाजक है।
∴ ∠PQT = ∠RQT … (i)
RT, ∠PRS का समद्विभाजक
∴ ∠PRT = ∠TRS … (ii)
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ Δ PQR में,
बहिष्कोण ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR
⇒ (∠PRT + ∠TRS) = ∠QPR + (∠PQT + ∠RQT)
⇒ ∠TRS + ∠TRS = ∠QPR + (∠RQT + ∠RQT) [(i) और (ii) के प्रयोग करने से]
⇒ 2∠TRS = ∠QPR + 2∠RQT
⇒ 2(∠TRS – ∠RQT) = ∠QPR
⇒ ∠TRS – ∠RQT= \(\frac {1}{2}\) ∠QPR … (iii)
अब ΔQTR में ;
बहिष्कोण ∠TRS = (∠QTR) + (∠RQT) …… (iv)
[∵ त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।]
(iv) से ∠TRS को ∠QTR और ∠RQT के रूप में (iii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
∠QTR + ∠RQT – ∠RQT = \(\frac {1}{2}\)∠QPR
⇒ ∠QTR = \(\frac {1}{2}\) ∠QPR
