Bhagya

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 Constructions Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions Ex 11.2

Question 1.
Construct a triangle ABC in which BC = 7cm, ∠B = 75° and AB + AC = 13cm.
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray BX. With centre B and radius 7 cm draw an arc to intersect BX at C.
2. At B, construct ∠YBC with measure 75°.
3. With centre B and radius 13 cm, draw an arc to intersect BY at M.
4. Draw line segment MC. Draw the perpendicular bisector of MC to intersect BM at A.
5. Draw line segment AC.
   Then, ∆ ABC is the required triangle.

Question 2.
Construct a triangle ABC in which BC = 8 cm, ∠B = 45° and AB – AC = 3.5 cm.
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray BX and from that obtain the line segment BC of length 8 cm.
2. At B, draw ray BY such that ∠YBC = 45°.
3. With centre B and radius 3.5 cm, draw an arc to intersect ray BY at D.
4. Draw line segment DC. Draw the perpendicular bisector of DC to intersect ray BY at A.
5. Draw line segment AC.
   Then, ∆ ABC is the required triangle.

Question 3.
Construct a triangle PQR in which QR = 6 cm, ∠Q = 60° and PR – PQ = 2 cm.
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray QX and from that obtain the line segment QR of length 6 cm.
2. At Q, construct ray QY such that Z YQR = 60°.
3. Produce ray QY on the side of Q to obtain ray QZ. Obtain point S on ray QZ such that QS = 2 cm.
4. Draw line segment RS. Draw the perpendicular bisector of RS to intersect QY at E
5. Draw line segment PR.
   Then, ∆ PQR is the required triangle.

Question 4.
Construct a triangle XYZ in which ∠Y = 30°, ∠Z = 90° and XY + YZ + ZX = 11 cm.
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray AP and from that obtain the line segment AB of length 11 cm.
2. Construct ray AL such that ∠LAB = 30°.
3. Construct ray BM such that ∠MBA = 90°.
4. Draw the bisectors of ∠LAB and ∠MBA to intersect each other at X.
5. Draw line segment XB. Draw the perpendicular bisector of XB to intersect AB at Z.
6. Draw line segment XA. Draw the perpendicular bisector of XA to intersect AB at Y.
7. Draw line segments XY and XZ.
   Then, ∆ XYZ is the required triangle.

Question 5.
Construct a right triangle whose base is 12 cm and sum of its hypotenuse and other side is 18 cm.
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray BX and from that obtain the line segment BC of length 12 cm.
2. Construct ray BY such that ∠YBC = 90°.
3. Taking B as centre and radius 18 cm, draw an arc to intersect BY at M.
4. Draw line segment CM. Draw the perpendicular bisector of CM to intersect BM at A.
5. Draw line segment AC.
   Then, ∆ ABC is the require triangle in which ∠B is a right angle, BC = 12 cm and AB + AC = 18 cm.

Punjab State Board PSEB 7th Class Maths Book Solutions Chapter 13 Exponents and Powers Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 Exponents and Powers Ex 13.3

1. Write the following numbers in the expanded exponential form :

(i) 104278
Solution:
104278 = 1 × 10⁵ + 4 × 10³ + 2 × 10² + 7 × 10¹ + 8 × 10⁰

(ii) 20068
Solution:
20068 = 1 × 10⁴ + 6 × 10¹ + 8 × 10⁰

(iii) 120719
Solution:
120719 = 1 × 10⁵ + 2 × 10⁴ + 7 × 10² + 1 × 10¹ + 9 × 10⁰

(iv) 3006194
Solution:
3006194 = 3 × 10⁶ + 6 × 10³ + 1 × 10² + 9 × 10¹ + 4 × 10⁰

(v) 28061906
Solution:
28061906 = 2 × 10⁷ + 8 × 10⁶ + 6 × 10⁴ + 1 × 10³ + 9 × 10² + 6 × 10⁰

2. Find the number from each of the following expanded form :

(i) 4 × 10⁴ + 7 × 10³ + 5 × 10² + 6 × 10¹ + 1 × 10⁰
Solution:
4 × 10⁴ + 7 × 10³ + 5 × 10² + 6 × 10¹ + 1 × 10⁰
= 40000 + 7000 + 500 + 60 + 1
= 47561

(ii) 3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
Solution:
3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
= 30000 + 700 + 5 × 1
= 30705

(iii) 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
Solution:
4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
= 400000 + 5000 + 300 + 2 × 1
= 4053202

(iv) 8 × 10⁷ + 3 × 10⁴ + 7 × 10³ + 5 × 10² + 8 × 10¹
Solution:
8 × 10⁷ + 3 × 10⁴ + 7 × 10³ + 5 × 10² + 8 × 10¹
= 80000000 + 30000 + 7000 + 500 + 80
= 80037580

3. Express the following numbers in standard form :

(i) 3,43,000
Solution:
3.43 × 10⁵

(ii) 70,00,000
Solution:
7.0 × 10⁶

(iii) 3,18,65,00,000
Solution:
3.1865 × 10⁹

(iv) 530.7
Solution:
5.307 × 10²

(v) 5985.3
Solution:
5.9853 × 10³

(vi) 3908.78
Solution:
3.90878 × 10³

4. Express the number appearing in the following statements in standard form :

(i) The distance between the earth and die moon is 384,000,000 m
Solution:
3.84 × 10⁸

(ii) The diameter of the earth is 1,27,56,000 m.
Solution:
1.2756 × 19⁷ m

(iii) The diameter of the sun is 1,400,000,000 m.
Solution:
1.40 × 10⁹ m

(iv) The universe is estimated to be about 12,000,000,000 years old.
Solution:
1.2 × 10¹⁰ years

(v) Mass of uranis is 86,800,000, 000,000,000,000,000,000 kg
Solution:
8.68 × 10²⁸ kg.

5. Compare the following numbers :

(i) 4.3 × 10¹⁴ ; 3,01 × 10¹⁷.
Solution:
Given numbers are 4.3 × 10¹⁴ and 3.01 × 10¹⁷ since the numbers are in standard form. As the power of 10 in 3.01 × 10¹⁷ is greater than the power of 10 in 4.3 × 10¹⁴.
∴ 3.01 × 10¹⁷ > 4.3 × 10¹⁴

(ii) 1.439 × 10¹² ; 1.4335 × 10¹².
Solution:
1.439 × 10¹² ; 1.4335 × 10¹²
The numbers are in standard form
As 1.439 > 1.433
∴ 1.439 × 10¹² > 1.4335 × 10¹²

Punjab State Board PSEB 12th Class Hindi Book Solutions Hindi पारिभाषिक शब्दावली Exercise Questions and Answers, Notes.

PSEB 12th Class Hindi पंजाबी से हिन्दी में अनुवाद

नूतन पाठ्य क्रमानुसार ‘J’ से ‘Z’ पारिभाषिक एवं प्रशासनिक शब्द

J

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Journalist	पत्रकार	रमेशचंद्र दैनिक हिन्दुस्तान का पत्रकार है।
Judicial	न्यायिक	हमें हमारी न्यायिक प्रक्रिया पर पूरा विश्वास है।
Judiciary	न्यायपालिका	प्रजातंत्र में न्यायपालिका स्वतंत्र है।
Jurisdiction	अधिकार क्षेत्र	पंजाब स्कूल शिक्षा बोर्ड का अधिकार क्षेत्र पंजाब राज्य तक है।

K

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Kindergarten	बालवाड़ी	रमा का पुत्र बालवाड़ी में जाता है।
Keynote address	आधार व्याख्यान	विश्व विज्ञान सम्मेलन में आधार व्याख्यान डॉ० अब्दुल कलाम का था।

L

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Labour	श्रम	मानव जीवन में श्रम का बहुत महत्त्व है।
Law and order	कानून और व्यवस्था	देश में कानून और व्यवस्था बनाए रखने का दायित्व पुलिस पर है।
Layout	नक्शा	मैंने अपने घर का नक्शा नगर निगम से पास करवा लिया है।
Ledger	खाता	सोहन लाला खाता लिखने का काम करता है।
Ledger Folio	खाता पन्ना	मेरा बैंक में खाता पन्ना संख्या 8/341 है।
Legislative	वैधानिक	हमें हमारे वैधानिक नियमों का ज्ञान होना चाहिए।
Liability	दायित्व	हमें हमारा दायित्व समझना चाहिए।
Lump sum	एक राशि	मेरा सारा भुगतान एक राशि में कर दो।

M

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Madam Magistrate	सुश्री / श्रीमती	हमारी प्राचार्य श्रीमती रमा देवी जी हैं।
Maintenance.	दण्डाधिकारी	सुहास दण्डाधिकारी बन गया है।
Majority	अनुरक्षण	मैंने घर के अनुरक्षण पर एक लाख रुपए खर्च किए हैं।
Mandate	बहुमत	ममता बनर्जी बहुमत से सरकार बना रही हैं।
Manifesto	अधिदेश / आज्ञा	सरकार ने चुनाव अधिदेश जारी कर दिया है।
Manager	घोषणा पत्र	सरकार ने अपना पंचवर्षीय घोषणा पत्र जारी कर दिया है।
Memorandom	प्रबन्धक	देवेंद्र बैंक में प्रबन्धक के पद पर कार्य कर रहा है।
Minority	ज्ञापन	कर्मचारियों ने अपनी मांगों का ज्ञापन दिया।
Minutes	अल्पसंख्यक	सरकार अल्पसंख्यकों के उद्धार के लिए चिंतित है।
Misuse	कार्यवृत	संस्था ने अपनी सभा का कार्यवृत भेज दिया है।
Mortgage	दुरुपयोग	समय का दुरुपयोग उचित नहीं है।
Mourning	बन्धक	राम सिंह ने अपना घर बन्धक रखकर बैंक से ऋण लिया है।
Municipal Corporation	शोक	देश प्रेमी की मृत्यु पर शोक मनाया गया।

N

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Nationalism	राष्ट्रीयता	हमें अपनी राष्ट्रीयता पर गावे है।
Negligence	उपेक्षा	बूढ़ों की उपेक्षा नहीं करनी चाहिए।
Negotiation	समझौते की बातचीत	प्रतिपक्ष से हमारी आपसी समझौते की बातचीत चल रही है।
Net amount	शुद्ध आय	कर देने के बाद आपकी शुद्ध आय कितनी बनती है?
Nomination	नामांकन	नेता जी ने अपना नामांकन प्रपत्र अध्यक्ष पद के लिए भर दिया है।
Nominee	नामित	पुरस्कार के लिए नामित व्यक्ति कोई नहीं मिला।
Notification	अधिसूचना	सरकार ने चुनाव की अधिसूचना जारी कर दी है।
Notified Area	अधिसूचित क्षेत्र	सरकार द्वारा अधिसूचित क्षेत्र में निर्माण अवैध है।
Noting & Drafting	टिप्पण और मसौदा लेखन	सरकार ने टिप्पण और मसौदा लेखन पर कार्यशाला का चैतन्य कानून स्नातक बनने के बाद ।।

O

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Oath Commissioner	शपथ अधिकारी	सरकार की ओर से शपथ अधिकारी नियुक्त किया गया है।
Objection	आपत्ति	हमें आपके अनुचित व्यवहार पर आपत्ति है।
Observor	पर्यवेक्षक	सरकार ने चुनाव में पर्यवेक्षक नियुक्त किए हैं।
Occupation	व्यवसाय	उसने अपना व्यवसाय बहुत फैला लिया है।
Offence	अपराध	कोई भी व्यक्ति अपराध करके बच नहीं सकता।
Office Bearer	पदाधिकारी	आज सभा के पदाधिकारी चुने जाएंगे।
Office Copy	कार्यालय प्रति	मुझे इस पत्र की कार्यालय प्रति की एक प्रति लिपि चाहिए।
Officiating	स्थानापन्न	आज डॉ० रवि का स्थानापन्न डॉ० महीप सिंह हैं।
Opinion	राय, मत	देश की आर्थिक दशा के संबंध में आपकी क्या राय है?
Ordinance	अध्यादेश	सरकार ने अध्यादेश जारी कर आतंकवादी गतियों पर नियंत्रण लगाया है।
Organisation	संगठन	हमारा संगठन राष्ट्रव्यापी है।
Out of Stock	अनुपलब्ध	यह पुस्तक अनुपलब्ध है।
Overtime	समयोपरि	कार्यालय में निर्धारित समय के बाद कार्य करने वालों को समयोपरि भत्ता दिया जाता है।
Over-writing	अधिलेखन	चैक पर अधिलेखन मान्य नहीं है।

P

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Panel	नामिका	सेवा आयोग ने चुने हुए प्रार्थियों की नामिका बना दी है।
Part-time	अंशकालिक	रमेश को अंशकालिक नौकरी मिल गई है।
Pending	लंबित, रुका हुआ	सुधा को लंबित पेंशन मिल गई है।
Petition	याचिका	राम ने कचहरी में पड़ोसी के विरुद्ध याचिका दाखिल की है।
Petitioner	याचिकदाता/प्रार्थी	याचिकादाता/प्रार्थी को निश्चित तिथि से अवगत कराया जा चुका है।
Post	पद, आसामी	महमूद को निदेशक का पद मिल गया है।
Post-dated	उत्तर-दिनांकित	मैंने बिल का भुगतान उत्तर-दिनांकित चैक से कर दिया है।
Postpone	स्थगित करना	आज की सभा स्थगित करनी पड़ी।
Pre-mature Retirement	समय पूर्व-सेवानिवृत्ति	सचदेव ने समय पूर्व-सेवानिवृत्ति ले ली है।
Presiding officer	पीठासीन अधिकारी	शुभा को पीठासीन अधिकारी नियुक्त किया गया है।
President	राष्ट्रपति	राष्ट्रपति विदेश यात्रा पर जा रहे हैं।
Promotion	पदोन्नति	पूनम की पदोन्नति हो गई है, अब वह प्राचार्य बन गई है।
Prospectus	विवरण पत्रिका	अपने महाविद्यालय की विवरण-पत्रिका ले आना।
Proposal	प्रस्ताव	विधान सभा में वित्त विभाग की मांगों का प्रस्ताव पारित हो गया।
Prime Minister	प्रधानमंत्री	आज प्रधानमंत्री देश को संबोधित करेंगे।
Put-up	प्रस्तुत करना	शमीम को निदेशक बनाने का प्रस्ताव प्रबंधक समिति में प्रस्तुत करना है।

Q

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Qualification	अर्हता/योग्यता	प्राध्यापक के पद की अर्हता क्या होती है?
Quality	गुण	राधा के गुणों का वर्णन करना कठिन है।।
Quantity	मात्रा	बाज़ार से लाने वाले समान की मात्रा का ध्यान रखना।
Quarterly	त्रैमासिक/तिमाही	सप्रसिंधु त्रैमासिक पत्रिका है।
Quotation	भाव दर	भवन निर्माण सामग्री का भाव-दर मंगवाना है।

R

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Ratio	अनुपात	चाय बनाते समय दूध, पानी, चीनी पत्ती का सही अनुपात रखना।
Recipt	रसीद	मकान मालिक से किराए की रसीद अवश्य ले लेना।
Recipt Book	रसीद बही	मकान मालिक के पास आज रसीद बही नहीं थी।
Recruitment	भर्ती	भारतीय सेना में भर्ती हेतु सूचना दी जा चुकी थी।
Rectification	सुधारना/परिशोधन	अपनी ग़लतियों को सुधारना शुरू करो।।
Rehabilitation	पुनर्वास	राज्य विस्थापितों के पुनर्वास की योजना बना रहा है।
Registered letter	पंजीकृत पत्र	आवेदन-पत्र पंजीकृत-पत्र के रूप में भेजना।
Reminder	अनुस्मारक	कोई उत्तर नहीं आने पर कार्यालय को अनुस्मारक भेज देना।
Report	प्रतिवेदन	विद्यालय के उत्सव का प्रतिवेदन तैयार कर देना।
Resignation	त्याग-पत्र	सुमन ने नौकरी से त्याग-पत्र दे दिया है।
Retirement	सेवानिवृत्ति	सरकारी विद्यालयों में सेवानिवृत्ति की आयु 58 वर्ष है।
Reinstate	बहाल करना	मारुति ने निकाले गए कर्मचारियों को बहाल कर दिया है।
Returning Officer	निर्वाचन अधिकारी	फूसगढ़ के निर्वाचन अधिकारी ने मध्यावधि निर्वाचन की तिथियाँ घोषित कर दी हैं।
Requisite	आवश्यक/अपेक्षित	केवल आवश्यक वस्तुएँ खरीदना।
Resolution	संकल्प	हमें देश की रक्षा का संकल्प लेना है।
Reservation	आरक्षण	बस में महिलाओं को आरक्षण दिया जाता है।
Rumour	अफवाह	हमें अफवाह फैलाने से बचना चाहिए।

S

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Salary	वेतन	सुभाष का वेतन चालीस हज़ार रुपए है।
Salient	प्रमुख	सोहन अपनी सेना में प्रमुख वक्ता है।
Sanction	स्वीकृति/मंजूरी	नेहा को खेलों में भाग लेने की स्वीकृति मिल गई है।
Screening	छानबीन	पुलिस मनोज के चरित्र की छानबीन कर रही है।
Secrecy	गोपनीयता	हमें अपने कार्यालय की गोपनीयता बना कर रखनी चाहिए।
Secretary	सचिव	मनिंद्र सिंह नगर-निगम का सचिव है।
Secular	धर्म-निरपेक्ष	भारत धर्म-निरपेक्ष देश है।
Section-officer	विभागीय अधिकारी	शर्मा जी विभागीय अधिकारी बन गए हैं।
Senior	वरिष्ठ	देवेंद्र सिंह वरिष्ठ अधिवक्ता बन गया है।
Service Book	सेवा पुस्तिका	कर्मचारियों की सेवा पुस्तिका निदेशक के पास हैं।
Session	सत्र	विद्यालय का अगला सत्र पहली जुलाई में शुरू होगा।
Session Judge	सत्र न्यायाधीश	मेरा मुकदमा सत्र न्यायाधीश के पास चल रहा है।
Sir	श्रीमान्	कहिए श्रीमान् ! आप कैसे हैं?
Souvenir	स्मारिका	व्यापारी मंडल ने अपनी स्मारिका प्रकाशित की है।
Specimen	नमूना	बैंक में अपने हस्ताक्षर के नमूने दे आना।
Speaker	सभापति	बैठक में सभापति नही पहुँच पाए।
Specimen signature	नमूना हस्ताक्षर	डाकखाने में नमूना हस्ताक्षर देना ज़रूरी है।
Subordinate	अधीनस्थ	आज अधीनस्थ कार्यालय का ज़िलाधीश निरीक्षण करेंगे।
Substandard	अवमानक	संसद् में अवमानक भाषा का प्रयोग निषेध है।
Supplementary	अनुपूरक	संसद् में अनुपूरक मांगों का प्रस्ताव पारित हो गया।
Surcharge	अधिभार	सोने पर दो प्रतिशत अधिभार अधिक हो गया है।

T

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Temporary	अस्थायी	विनोद को अस्थायी नौकरी मिल गई है।
Taxable income	कर योग्य आय	हमें अपनी कर योग्य आय पर कर देना होता है।
Travelling Allowance	यात्रा-भत्ता	सरकार ने कर्मचारियों का यात्रा-भत्ता बढ़ा दिया है।
Telephone	दूरभाष	आपके दूरभाष का नम्बर क्या है?
Tele-Communication	दूरसंचार	जालंधर में दूरसंचार कार्यालय रेलवे रोड पर है।
Tenure	अवधि	तुम्हारी सेवा अवधि कब समाप्त हो रही है।
Terms	निबंधन	नौकरी के निबंधन क्या तुम्हें सवीकार है?
Terms & Conditions	निबंधन और शर्ते	मैं इस निबंधन और शर्तों पर काम करने के लिए तैयार है।
Transaction	लेन-देन	हमारा लेन-देन साफ है।

U

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Unanimous	एकमत	पार्टी ने एकमत से अपना नेता सुशील को चुन लिया है।
Unauthorized	अप्राधिकृत	सरकार अप्राधिकृत निर्माण गिरा रही है।
Unavailable	अनुपलब्ध	यह सूचना अनुपलब्ध है।
Unavoidable	अपरिहार्य	मुझे अपरिहार्य कार्य से शहर से बाहर जाना है।
Un-official	गैर-सरकारी	वह गैर-सरकारी कार्यालय में कार्य करता है।
Undue	अनुचित	हमें अनुचित कार्य नहीं करने चाहिए।
Un-employment	बेरोज़गारी	देश में बेरोज़गारी दिन-प्रतिदिन बढ़ रही है।
Universit	विश्वविद्यालय	वह गुरु नानक देव विश्वविद्यालय में पढ़ रहा है।

V

अंग्रेजी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Venue	स्थान	विवाह किस स्थान पर होना है?
Vacancy	खाली आसामी	इस कार्यालय में कोई खाली आसामी नहीं है।
Validity	वैद्यता	इस चैक की वैद्यता तीन माह तक है।
Valedicatory	विदा सम्बन्धी भाषण	प्राचार्य ने सेवानिवृत लेने पर अपना विदा संबंधी भाषण दिया।
Verifiction	सत्यापन	इन प्रमाणपत्रों का सत्यापन राजपत्रित अधिकारी से कराएँ।
Vice-Versa	विपरीत क्रम से	अब वर्गों को विपरित क्रम से लिखें।
Vigilance	सतर्कता	हमें गाड़ी चलाते समय सतर्कता बरतनी चाहिए।
Visitor	आगंतुक	बाहर देखो तो कौन आगंतुक बैठा है।
Volunteer	स्वयं सेवक	मुझे गिरने से एक स्वयं सेवक ने बचाया है।
Vote	मत	हमें अपने मत का प्रयोग अवश्य करना चाहिए।
Vote of thanks	धन्यवाद प्रस्ताव	सभा के अंत में आयोजकों ने धन्यवाद प्रस्ताव पारित किया।

W

अंग्रेज़ी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Wage	वेतन/पगार	आज वेतन का दिन है।
Waiting list	प्रतीक्षा सूची	उस का नाम प्रतीक्षा सूची में है।
Warrant	अधिपत्र	नंदी के विरुद्ध अधिपत्र जारी हो गया है।
Welcome	स्वागत	बच्चों ने मुख्य अतिथि का स्वागत किया।
Welcome Address	स्वागत-भाषण	प्राचार्य ने स्वागत-भाषण दिया।
Where about	अता-पता	तुम्हारा अता-पता ही नहीं चलता।
Whole time	पूर्णकालिक	उसे पूर्णकालिक नौकरी मिल गई है।
Withdrawal	निकासी/वापसी	राम स्वरूप ने अपना नामांकन वापसी के लिए आवेदन कर दिया है।
Withdrawal-slip	कार्य भार	रुपया निकालने की पर्ची
Work load	कार्यशाला	डाकखाने से रुपया निकालने की पर्ची भर कर एक हज़ार रुपए निकाल लेना।
Workshop	रिट/याचिका	नए प्राचार्य ने अपना कार्यभार संभाल लिया है।
Writ	हिन्दी पर्याय	यहाँ बाल विज्ञान पर कार्यशाला चल रही है।

Y

अंग्रेज़ी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Yearly	वार्षिक	विद्यालय की वार्षिक पत्रिका प्रकाशित हो गई है।
Year to year	वर्षानुवर्ष	फसलों में वर्षानुवर्ष वृद्धि हो रही है।
Yes-man	हाँ में हाँ मिलाने वाला	गोबिन्द तो सब की हाँ में हाँ मिलाने वाला व्यक्ति है।
Yours	आपका/भवदीय	आपका आज्ञाकारी हूँ।

Z

अंग्रेज़ी शब्द	हिन्दी पर्याय	वाक्य में प्रयोग
Zonal	आंचलिक	राजधानी में आंचलिक खेलों का आयोजन हो रहा है।
Zonal Office	आंचलिक-कार्यालय	भारत बैंक का आंचलिक-कार्यालय अब लुधियाना में है।

प्रशासनिक एवं सांस्कृतिक शब्दावली

(पाठ्यक्रम में निर्धारित हिन्दी भाषा बोध और व्याकरण के अनुसार)

1. Act (अधिनियम)-इस बार संसद् में कई अधिनियम पास किए गए।
2. Accept (स्वीकार करना, मानना)-वैट के नियमों को स्वीकार करना व्यापारी वर्ग को अखरता है।
3. Acceptance (स्वीकृति)-वित्त विभाग ने सौ नई बसें खरीदने की स्वीकृति दे दी है।
4. Adhoc (तदर्थ)-पंजाब सरकार ने अध्यापकों की नियुक्ति तदर्थ आधार पर करने का निर्णय लिया है।
5. Amendment (संशोधन)-संशोधन करके प्रारूप अनुमोदन के लिए प्रस्तुत है।
6. Annexture (अनुबंध)-सहायक पुस्तक सूची इस पुस्तक के अनुबन्ध दो में दी जा रही है।
7. Attested (अनुप्रमाणित)-आवेदन-पत्र के साथ सभी प्रमाण पत्रों की अनुप्रमाणित प्रतियाँ संलग्न की जाएँ।
8. Bond Paper (बंध-पत्र)-डॉ. मनमोहन सिंह को उच्च शिक्षा प्राप्ति के लिए पंजाब विश्वविद्यालय को बन्ध-पत्र भरना पड़ा था।
9. Bungling (घपला)-देश में करोड़ों रुपए के घपले हुए किन्तु कोई भी कार्यवाई नहीं की गई।
10. Cash Book (रोकड़ बही)-नए कानून के अनुसार हर दुकानदार को रोकड़ बही रखना अनिवार्य बना दिया गया है।
11. Custom duty (सीमा शुल्क)-नए बजट में कई वस्तुओं पर सीमा शुल्क घटा दी गई है।
12. Disciplinary Action (अनुशासनिक कार्यवाही)-सरकारी आदेशों की पालना न करने वाले सभी कर्मचारियों के विरुद्ध अनुशासनिक कार्यवाही की जाएगी।
13. Discretionary Power (विवेकाधिकार)-सुनामी पीड़ितों के लिए अपने विवेकाधिकार का प्रयोग करते हुए मन्त्री महोदय ने पाँच लाख रुपए की धनराशि देने की घोषणा की।
14. Forwarding Letter (अग्रेषण पत्र)-सम्पादक के नाम पत्र लिखते समय अग्रेषण पत्र अवश्य लगाना चाहिए।
15. Maintenance (अनुरक्षण)-पंजाब रोडवेज की बसों का अनुरक्षण सही ढंग से नहीं हो रहा।

सांस्कृतिक शब्दावली

1. Abandonment (त्याग)-जीवन में त्याग कोई-कोई ही कर सकता है।
2. Adoration (आराधना)-ईश्वर की आराधना करने से आत्मिक शान्ति मिलती है।
3. Affinity (आत्मीयता)-सिरचन ने आत्मीयता के कारण ही मान के लिए शीतलपाटी आदि भेंट किए।
4. Benevolence (परोपकार)-परोपकार की भावना मनुष्य को मनुष्य के लिए जीना सिखाती है।
5. Benediction (कल्याण)-गोस्वामी तुलसीदास ने हिन्दू जाति के कल्याण के लिए ‘मानस’ की रचना की।
6. Courtesy (शिष्टाचार)-शिष्टाचार निभाने के लिए हम कई बार मुसीबत में फंस जाते हैं।
7. Civilization (सभ्यता)-भारतीय सभ्यता अत्यन्त प्राचीन है।
8. Dress (वेशभूषा)-सरकारी कर्मचारियों के लिए भी एक निश्चित वेशभूषा होनी चाहिए।
9. Ethics (मूल्य)-आधुनिक युग में नैतिक मूल्यों का ह्रास हो रहा है।
10. Forgiveness (क्षमाशीलता)-क्षमाशीलता उसे ही सुहाती है जो शक्ति सम्पन्न हो।
11. Generosity (दानशीलता)-दधीची ऋषि अपनी दानशीलता के लिए याद किए जाते हैं।
12. Gratification (सन्तोष)-ईश्वर जो दे उसी पर हमें सन्तोष करना चाहिए।
13. Humanity (मानवता)-परोपकार मानवता का लक्ष्य होना चाहिए।
14. Life-Style (रहन-सहन)- मध्यवर्गीय परिवारों ने अपने रहन-सहन मे काफ़ी बदलाव कर लिए हैं।
    
15. Morality (नैतिकता)-नैतिकता के आधार पर स्वर्गीय लाल बहादुर शास्त्री जी ने रेल मन्त्रालय से त्याग-पत्र दे दिया।

बोर्ड परीक्षा में पूछे गए प्रश्न

किन्हीं चार शब्दों के हिन्दी पर्याय लिखकर वाक्यों में प्रयोग करें।

2010
Set A- Journalist, Law & order, Majority, Namination offence.
Set B- Kidergarten, Ledger, Misuse, Opinion, Overtime.
Set C- Judiciary, Layout, Minutes, Nationalism, Occupation.

2011
Set A- Judiciary, Labour, Misuse, Nationalism, Objection, Overtime.
Set B- Journalist, Law & Order, Minority, Mourning, Opinion, Office Copy.
Set C- Jouridiction, Liability, Mandate, Minutes, Negotiation, Offence.
Set A- Pending, Postmortem, examination, Receipt, Rumour, surcharge, Tenure, Venue, Visitor.
Set B- Panel, Proposal, Recruitment, Salient, Senior, Transaction, Unanimous, waitinglist.
Set C- Part-time, Pendown Strike, Pre-mature Retirement, specimen, unemployment, Selection Board; Yesman, Zonal.

2012
Set A- Part time, Pendown Strike, Recruitment, Secrecy, Senior, Session, Vigilance, Workload.
Set B- Petitioner, Postage, Quantity, Ratio, Remour, Selection Board, Tenure, unemployment.
Set C- Petition, Rehabilitation, Self addressed envelop, Receipt, Reinstate, Transaction, Waiting list, Whear about

2013
Set A- Judicial, Majority, Opinion, Postage, Rumour.
Set B- Law and Order, Misuse, Objection, Out of Stock, Pen Down Strike, Selection Board.
Set C- Labour, Notification, Organisation, Per Annum, Quality, Undue.

2014
Set A- Journalist, Ledger, Misuse, Office copy, Net a mount, Venue.
Set B- Judiciary, Mandate, Maintenance, Occupation, Part Time.
Set C- Jurisdiction, Minority, Pending, Quality, Volunteer, Workshop.

2015
Set A- Journalist, Labour, Mondate, Overtime, Tenure, Secrecy
Set B- Maintenance, Majority Offence, Petition, Transaction, Workshop.
Set C- Liability, Opinion, Partime, Remour, Unemployment, Written Warning.

2016
Set A- Kindergarten, Liability, Mourning, Offence, Quality, Ratio.
Set B- Judicial, Labour, Misuse, Overhauling, Yes-Man, Written Warning.
Set C- Judiciary, Lump Sum, Occupation, Transaction, Unemployment.

2017
Set A- Kindergarten, Liability, Out of Stock, Transaction, Work-Shop.
Set B- Jurisdiction, Mandate, Occupation, Part-Time, Quality, Secrecy.
Set C- Judiciary, Law of Order, Recruitment, Pen down Strike, Maintenance, Postpone.

2018 A, B, C
Jurisdiction, Minority, Over Writing, Petitioner, Ratio, Venue.

2019 A, B, C
Quality, Receipt, Salary, Surcharge, Transaction, University

Punjab State Board PSEB 6th Class Maths Book Solutions Chapter 7 Algebra MCQ Questions with Answers.

PSEB 6th Class Maths Chapter 7 Algebra MCQ Questions

Multiple Choice Questions

Question 1.
Each side of square is represented by ‘s’ then perimeter of square is:
(a) 4 + s
(b) s – 4
(c) 4s
(d) s.
Answer:
(c) 4s

Question 2.
Write commutative property of multiplication using variables x and y:
(a) xy = yx
(b) x + y = y + x
(c) x + y
(d) xy.
Answer:
(a) xy = yx

Question 3.
How many terms in expression 7l – 3l?
(a) 1
(b) 3
(c) 2
(d) 4.
Answer:
(c) 2

Question 4.
5 is subtracted from m = ……………….. .
(a) 5 – m
(b) m + 5
(c) 5 + m
(d) m – 5.
Answer:
(d) m – 5.

Question 5.
Multiply p by 3 then 2 is added = ……………. .
(a) 2p + 3
(b) 3p – 2
(c) 3p + 2
(d) 2p – 3.
Answer:
(c) 3p + 2

Question 6.
If Armaan’s present age is x years then what will be his age after 4 years?
(a) x – 4
(b) x + 4
(c) 4x
(d) 4 – x.
Answer:
(b) x + 4

Question 7.
Write as algebraic equation: 7 more than 4 times ofy gives 23 :
(a) 4 + 7y = 23
(b) 7 + y = 23
(c) 4y – 7 = 23
(d) 4y + 7 = 23.
Answer:
(d) 4y + 7 = 23.

Question 8.
Find x if x – 3 = 2 :
(a) 3
(b) 6
(c) 5
(d) 2.
Answer:
(c) 5

Question 9.
Solve:
4l – 3 = 5
(a) 3
(b) 4
(c) 1
(d) 2.
Answer:
(d) 2.

Question 10.
If \(\frac {a}{4}\) = 5 then a = ……………. .
(a) 5
(b) 20
(c) 4
(d) 18.
Answer:
(b) 20

Question 21.
What is algebraic expression for subtracting 7 from – m?
(a) m – 1
(b) m + 7
(c) 7 – m
(d) – m – 7.
Answer:
(d) – m – 7.

Question 22.
What is algebraic expression for subtracting 7 from p?
(a) p – 7
(b) p + 7
(c) 7 – p
(d) 7 × p.
Answer:
(a) p – 7

Question 23.
What is algebraic expression for multiplying p by 16?
(a) 16 p
(b) p + 6
(c) p – 16
(d) \(\frac {p}{16}\)
Answer:
(a) 16 p

Question (iv)
What is algebraic expression for first multiplying x by 3 and then adding 2 to the product?
(a) x + 6
(b) 3x + 2
(c) 3x – 2
(d) 6x
Answer:
(b) 3x + 2

Question (v)
What is algebraic expression for first multiplying y by 2 and then subtracting 5 from the product?
(a) 2y + 5
(b) y + 10
(c) 2y – 5
(d) 10y.
Answer:
(c) 2y – 5

Fill in the blanks:

Question (i)
The algebraic expression for first multiplying y by 10 and then adding 7 to the product is ………… .
Answer:
10y + 7

Question (ii)
The algebraic expression for first multiplying n by 2 and then subtracting l from the product ………… .
Answer:
2n – l

Question (iii)
7 × 20 – 82 is expression of only ………………. .
Answer:
Numbers

Question (iv)
Each side of a square is l, then perimeter of square is ……………. .
Answer:
4l

Question (v)
5 is added to x = …………….. .
Answer:
x + 5

Write True/False:

Question (i)
If \(\frac {a}{5}\) = 4, then a = 20. (True/False)
Answer:
True

Question (ii)
If x – 3 = 2, then x = l. (True/False)
Answer:
False

Question (iii)
If 4l – 3 = 5, then l = 2. (True/False)
Answer:
True

Question (iv)
Number of terms in expression 3p + 2 is two. (True/False)
Answer:
True

Question (v)
The letters which can take any numerical value are called variables. (True/False)
Answer:
True

Punjab State Board PSEB 7th Class Maths Book Solutions Chapter 13 Exponents and Powers Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 Exponents and Powers Ex 13.2

1. Using laws of exponents, simplify and write the following in the exponential form :

(i) 2⁷ × 2⁴
(ii) p⁵ × p³
(iii) (-7)⁵ × (-7)¹¹
(iv) 20¹⁵ ÷ 20¹³
(v) (-6)⁷ ÷ (-6)³
(vi) 7^x × 7³
Solution:
(i) 2⁷ × 2⁴ = 2⁷⁺⁴ = 211
(ii) p⁵ × p³ = p⁵⁺³ = p8
(iii) (-7)⁵ × (-7)¹¹ = (-7)⁵⁺¹¹ = (-7)¹⁶
(iv) 20¹⁵ ÷ 20¹³ = 20^15-13 = 20²
(v) (-6)⁷ ÷ (-6)³ = (-6)^7-3 = (-6)⁴
(vi) 7^x × 7³ = 7^x+3

2. Simplify and write the following in exponential form.

(i) 5³ × 5⁷ × 5¹²
Solution:
5³ × 5⁷ × 5¹² = 5³⁺⁷⁺¹²
= 5²²

(ii) a⁵ × a³ × a⁷
Solution:
a⁵ × a³ × a⁷ = a⁵⁺³⁺⁷
= a¹⁵

3. Simplify and write the following in the exponential form :

(i) (2²)¹⁰⁰
Solution:
(2²)100 = 2^{2 × 100}
= 2²⁰⁰

(ii) (5³)⁷
Solution:
(5³)⁷ = 5^{3 × 7}
= 5²¹

4. Simplify and write in the exponential form:

(i) (2³)⁴ ÷ 2⁵
Solution:
(2³)⁴ ÷ 2⁵ = 2¹² ÷ 2⁵
= 2^12-5
= 2⁷

(ii) 2³ × 2² × 5⁵
Solution:
2³ × 2² × 5⁵ = 2³⁺² × 5⁵
= 2⁵ × 5⁵
= (2 × 5)⁵
= 10⁵

(iii) [(22)³ × 3⁶] × 5⁶
Solution:
[(2²)³ × 3⁶] × 5⁶ = [2^2×3 × 3⁶] × 5⁶
= [2⁶ × 3⁶] × 5⁶
= 6⁶ × 5⁶
= (6 × 5)⁶
= 30⁶.

5. Simplify and write in the exponential form:

(i) 5⁴ × 8⁴
Solution:
5⁴ × 8⁴ = (5 × 8)⁴
= 40⁴

(ii) (-3)⁶ × (-5)⁶
Solution:
(-3)⁶ × (-5)⁶ = (-3 × -5)⁶
= (+15)⁶

6. Simplify and express each of the following in the exponential form :

(i) \(\frac{\left(3^{2}\right)^{3} \times(-2)^{5}}{(-2)^{3}}\)
Solution:
\(\frac{\left(3^{2}\right)^{3} \times(-2)^{5}}{(-2)^{3}}=\frac{3^{2 \times 3} \times(-2)^{5}}{(-2)^{3}}\)
= 3⁶ × (-2)^5-3
= 3⁶ × (-2)²
= 3⁶ × 2²

(ii) \(\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}\)
Solution:
\(\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}=\frac{3^{7}}{3^{4+3}}=\frac{3^{7}}{3^{7}}\)
= 3^7-7
= 3⁰
= 1¹

(iii) \(\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}\)
Solution:
\(\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}=\frac{2^{8}}{\left(2^{2}\right)^{3}} \times \frac{a^{5}}{a^{3}}\)
= \(\frac{2^{8}}{2^{6}} \times a^{5-3}\)
= \(2^{8-6} \times a^{5-3}\)
= \(2^{2} \times a^{2}\)
= (2a)²

(iv) 3⁰ × 4⁰ × 5⁰
Solution:
3⁰ × 4⁰ × 5⁰
= 1 × 1 × 1
= 1

7. Express each of the following rational number in the exponontial form :

(i) \(\frac {25}{64}\)
Solution:
\(\frac {25}{64}\) = \(\frac{5 \times 5}{8 \times 8}=\frac{5^{2}}{8^{2}}\)
= \(\left(\frac{5}{8}\right)^{2}\)

(ii) \(\frac {-64}{125}\)
Solution:
\(\frac {-64}{125}\) = \(\frac{-4 \times 4 \times 4}{5 \times 5 \times 5}\)
= \(\frac{(-4)^{3}}{5^{3}}\)
= \(\left(-\frac{4}{5}\right)^{3}\)

(iii) \(\frac {-125}{216}\)
Solution:
\(\frac {-125}{216}\) = \(\frac{-5 \times 5 \times 5}{6 \times 6 \times 6}\)
= \(\frac{(-5)^{3}}{6^{3}}\)
= \(\left(-\frac{5}{6}\right)^{3}\)

(iv) \(\frac {-343}{729}\)
Solution:
\(\frac {-343}{729}\) = \(\frac{-7 \times 7 \times 7}{9 \times 9 \times 9}\)
= \(\frac{(-7)^{3}}{9^{3}}\)
= \(\left(-\frac{7}{9}\right)^{3}\)

8. Simplify :

(i) \(\frac{\left(2^{5}\right)^{2} \times 7^{3}}{8^{3} \times 7}\)
Solution:
\(\frac{\left(2^{5}\right)^{2} \times 7^{3}}{8^{3} \times 7}\) = \(\frac{2^{5 \times 2} \times 7^{3}}{\left(2^{3}\right)^{3} \times 7}\)
= \(\frac{2^{10} \times 7^{3}}{2^{9} \times 7}\)
= 2^10-9 × 7^3-1
= 2¹ × 7²
= 2 × 7 × 7
= 98

(ii) \(\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{9 \times 4^{2}}\)
Solution:
\(\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{9 \times 4^{2}}\) = \(\frac{2 \times 2^{5} \times 3^{4}}{3 \times 3 \times\left(2^{2}\right)^{2}}\)
= \(\frac{2^{1+5} \times 3^{4}}{3^{2} \times 2^{4}}\)
= 2^6-4 × 3^4-2
= 2² × 3²
= 2 × 2 × 3 × 3
= 36.

9. Express each of the following as a product of prime factors in the exponential form

(i) 384 × 147
Solution:
384 × 147
384 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁷ × 3¹
147 = 7 × 7 × 3
= 7² × 3¹
\(\begin{array}{l|l}
2 & 384 \\
\hline 2 & 192 \\
\hline 2 & 96 \\
\hline 2 & 48 \\
\hline 2 & 24 \\
\hline 2 & 12 \\
\hline 2 & 6 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)

\(\begin{array}{l|l}
7 & 147 \\
\hline 7 & 21 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)

384 × 147 = 2⁷ × 3¹ × 7² × 3¹
= 2⁷ × 3² × 7²

(ii) 729 × 64
Solution:
729 × 64
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3⁶
\(\begin{array}{l|l}
3 & 729 \\
\hline 3 & 243 \\
\hline 3 & 81 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2⁶
\(\begin{array}{l|l}
2 & 64 \\
\hline 2 & 32 \\
\hline 2 & 16 \\
\hline 2 & 8 \\
\hline 2 & 4 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline & 1
\end{array}\)
= 729 × 64 = 3⁶ × 2⁶

(iii) 108 × 92
Solution:
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= 2² × 3³
\(\begin{array}{c|c}
2 & 108 \\
\hline 2 & 54 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
92 = 2 × 2 × 23
= 2² × 23
\(\begin{array}{l|l}
2 & 92 \\
\hline 2 & 46 \\
\hline & 23
\end{array}\)
108 × 92 = 2³ × 3³ × 2² × 23¹
= 2⁴ × 3³ × 23¹

10. Simplify and write the following in the exponential form :

(i) 3³ × 2² + 2² × 5⁰
Solution:
3³ × 2² + 2² × 5⁰
= 3 × 3 × 3 × 2 × 2 + 2 × 2 × 5°
= 27 × 4 + 4 × 1
= 108 + 4
= 112
\(\begin{array}{c|c}
2 & 112 \\
\hline 2 & 56 \\
\hline 2 & 28 \\
\hline 2 & 14 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
= 2 × 2 × 2 × 2 × 7
= 2⁴ × 7¹

(ii) \(\left(\frac{3^{7}}{3^{2}}\right) \times 3^{5}\)
Solution:
\(\left(\frac{3^{7}}{3^{2}}\right) \times 3^{5}\) = (3^7-2) × 3⁵
= 3⁵ × 3⁵
= 3⁵⁺⁵
= 3¹⁰

(iii) 8² ÷ 2³
Solution:
8² ÷ 2³ = (2³)² ÷ 2³
= 2⁶ ÷ 2³
= 2^6-3
= 2³

Multiple Choice Questions :

11. \(\left(\frac{-5}{8}\right)^{0}\) is equal to :
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac {-5}{8}\)
(d) \(\frac {-8}{5}\)
Answer:
(b) 1

12. (5²)³ is equal to :
(a) 5⁶
(b) 5⁵
(c) 5⁹
(d) 10³
Answer:
(b) 5⁵

13. a × a × a × b × b × b is equal to :
(a) a³b²
(b) a²b³
(c) (ab)³
(d) a⁶b⁶
Answer:
(c) (ab)³

14. (-5)² × (-1)¹ is equal to :
(a) 25
(b) -25
(c) 10
(d) -10
Answer:
(b) -25

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 Constructions Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions Ex 11.1

Question 1.
Construct an angle of 90° at the initial point of a given ray and justify the construction.
Answer:

Steps of construction :

1. Ray AB is given. Produce ray AB on the side of A to get line MAB.
2. Taking A as centre and some radius, draw an arc of a circle to intersect line MAB at X and Y.
3. Taking X and Y as centres and radius more than \(\frac{1}{2}\)XY, draw arcs to intersect at P on one side of line MAB.
4. Draw ray AC passing through E
   Thus, ∠CAB is the required angle of 90°.

Justification:
Draw PX and PY.
In ∆ PAX and ∆ PAY,
AX = AY (Radii of same arc)
PX = PY (Radii of congruent arcs)
PA = PA (Common)
∴ By SSS rule, ∆ PAX ≅ ∆ PAY
∴ ∠PAX = ∠PAY (CPCT)
But, ∠PAX + ∠PAY = 180° (Linear pair)
∴ ∠PAY = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
∴ ∠CAB = 90°

Question 2.
Construct an angle of 45° at the initial point of a given ray and justify the construction.
Answer:

Steps of construction:

1. Ray AB is given. Produce ray AB on the side of A to get line MAB.
2. Taking A as centre and some radius, draw an arc of a circle to intersect line MAB at X and Y.
3. Taking X and Y as centres and radius more than \(\frac{1}{2}\)XY, draw arcs to intersect at P on one side of line MAB.
4. Draw ray AC passing through E Thus, ∠CAB of 90° is received.
5. Name the point of intersection of the arc with centre A and ray AC as Z.
6. Taking Y and Z as centres and radius more than \(\frac{1}{2}\)YZ, draw arcs to intersect each other at Q.
7. Draw ray AQ.
   Thus, ∠QAB is the required angle of 45°.

Justification:
In example 1, we have already justified that ∠CAB = 90°. So, we do not repeat that part’ here.
Draw QZ and QY.
In ∆ AYQ and ∆ AZQ,
AY = AZ (Radii of same arc)
YQ = ZQ (Radii of congruent arcs)
AQ = AQ (Common)
∴ By SSS rule, ∆ AYQ ≅ ∆ AZQ
∴ ∠QAY = ∠QAZ (CPCT)
But, ∠QAY + ∠QAZ = ∠ZAY = ∠CAB = 90°
∴ ∠QAY = \(\frac{90^{\circ}}{2}\) = 45°
∴ ∠QAB = 45°

Question 3.
Construct the angles of the following measurements:
(i) 30°
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray AB. With centre A and any radius, draw an arc to intersect AB at X.
2. With centre X and the same radius [as in step (1)], draw an arc to intersect the previous arc at Y. Draw ray AY. Then, ∠YAB = 60°.
3. Draw ray AT, the bisector of ∠YAB.
   Thus, ∠TAB is the required angle of 30°.

(ii) 22\(\frac{1}{2}\)°
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray AB. Produce AB on the side of A to get line CAB.
2. Taking A as centre and any radius, draw an arc of a circle to intersect line CAB at X and Y.
3. Taking X and Y as centres and radius more than \(\frac{1}{2}\)XY, draw arcs to intersect each other at L on one side of line CAB. Draw ray AL. Then, ∠LAB = 90°.
4. Draw ray AM, the bisector of ∠LAB. Then, ∠MAB = 45°.
5. Draw ray AN, the bisector of ∠MAB. Then, ∠NAB = 22\(\frac{1}{2}\)°.
   Thus, ∠NAB is the required angle of 22\(\frac{1}{2}\)°.

(iii) 15°
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray AB. Taking A as centre and any radius, draw an arc of a circle to intersect AB at X.
2. Taking X as centre and the same radius as before, draw an arc to intersect the previous arc at Y. Draw ray AY. Then, ∠YAB = 60°.
3. Draw ray AL, the bisector of ∠YAB. Then, ∠LAB = 30°.
4. Draw ray AM, the bisector of ∠LAB. Then, ∠MAB = 15°.
   Thus, ∠MAB is the required angle of 15°.

Question 4.
Construct the following angles and verify by measuring them by a protractor:
(i) 75° and (ii) 105°
Answer:

Steps of construction:

1. Draw any ray AB and produce it on the side of A to get line CAB. Taking A as centre and any radius draw an arc of a circle to intersect line CAB at X and Y.
2. Taking X and Y as centres and radius more than \(\frac{1}{2}\)XY, draw arcs to intersect each other at point L on one side of line CAB. Draw ray AL. Then, ∠LAB = 90°.
3. Taking X as centre and radius AX, draw an arc of a circle to Intersect the first arc (arc XY) with centre A at Z.
4. Draw ray AZ. Then, ∠ZAB = 60°.
5. Now, draw ray AM, the bisector of ∠LAZ. Then, ∠MAB = 75° and ∠MAC = 105°.
   Thus, ∠MAB and ∠MAC are the required angles of measure 75° and 105° respectively.

(iii) 135°
Answer:

Steps of construction:

1. Draw line CAB. Taking A as centre and any radius, draw an arc of a circle to Intersect line CAB at X and Y.
2. Taking X and Y as centres and radius more them \(\frac{1}{2}\)XY, draw arcs to intersect each other at P on one side of line CAB.
3. Draw ray AP Then, ∠PAB = ∠PAC = 90°.
4. Draw ray AQ, the bisector of ∠PAC.
5. Then, ∠QAB = 135°.
   Thus, ∠QAB is the required angle of 135°.

Question 5.
Construct an equilateral triangle, given its side and justify the construction.
Answer:
Line segment XY is given. We have to construct an equilateral triangle with each side being equal to XY.

Steps of construction:

1. Draw any ray BM.
2. With centre B and radius XY, draw an arc of a circle to intersect BM at C.
3. Taking B and C as centres and rhdius XY, draw arcs to intersect each other at A on one side of line AC.
4. Draw AB and AC.
   Thus, ∆ ABC is the required equilateral triangle with each side being equal to XY.

Justification:
The arc drawn with centre B and radius XY intersects ray BM at C. ∴ BC = XY. The arcs drawn with centres B and C and radius XY intersect at A.
∴ AB = XY and AC = XY.
Thus, in ∆ ABC, AB = BC = AC = XY.
Hence, ∆ ABC is an equilateral triangle in which all sides are equal to XY.
Note: If the measure of sides are given numerically, e.g., 4 cm, 5 cm, etc., then we have to use graduated scale instead of straight edge.

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles Ex 6.4

Question 1.
Let △ABC ~ △DEF and their areas be respectively 64 cm² and 121 cm². If EF = 15.4 cm, find BC.
Solution:
△ABC ~ △DEF ;
area of △ABC = 64 cm²;
area of △DEF = 121 cm²;
EF= 15.4 cm

△ABC ~ △DEF

∴ \(\frac{\text { ar. }(\Delta \mathrm{ABC})}{\text { ar. }(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DF}^{2}}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\)
(If two traingles are similar, ratio of their area is square of corresponding sides }

\(\frac{64}{121}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\) \(\left(\frac{8}{11}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{15.4}\right)^{2}\)

⇒ \(\frac{8}{11}=\frac{\mathrm{BC}}{15.4}\)

BC = \(\frac{8 \times 15.4}{11}\)
BC = 8 × 1.4
BC = 11.2 cm.

Question 2.
Diagonals of a trapezium ABCD with AB || DC intersect each other at the point O. If AB = 2 CD. Find the ratio of the areas of traingles AOB and COD.
Solution:
ABCD is trapezium AB || DC. Diagonals AC and BD intersects each other at the point O. AB = 2 CD

In △AOB and △COD,
∠1 = ∠2 (alternate angles)
∠3 = ∠4 (alternate angles)
∠5 = ∠6 (vertically opposite angle)
∴ △AOB ~ △COD [AA, A similarity criterion]

(If two triangles are similar ratio of their areas is square of corresponding sides)

= \(\frac{(2 \mathrm{CD})^{2}}{\mathrm{CD}^{2}}\) [∵ AB = 2 CD] (Given)

∴ Required ratio of ar △AOB and △COD = 4 : 1.

Question 3.
In the fig., △ABC and △DBC are two triangles on the same base BC. If AD intersects BC at O show that

Solution:
Given. ∆ABC and ∆DBC are the triangles on same base BC. AD intersects BC at O

To Prove:
Construction: Draw AL ⊥ BC, DM ⊥ BC
Proof: In ∆ALO and ∆DMO.
∠1 = ∠2 (vertically opposite angle)
∠L = ∠M (each 90°)
∴ ∆ALO ~ ∆DMO [AA similarity criterion]
∴ \(\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DM}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\) ……………(1)
[If two triangles are similar, corrosponding sides are proportional

[∵ ∆ = \(\frac{1}{2}\) × b × p]

Hence proved.

Question 4.
If the areas of two similar triangles are equal, prove that they are congruent.
Solution:
Given: Two ∆s ABC and DEF are similar and equal in area.
To Prove : ∆ABC ≅ ∆DEF

Proof: Since ∆ABC ~ ∆DEF,
∴ \(\frac{\text { area }(\Delta \mathrm{ABC})}{\text { area }(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}=1\) [∵ area (∆ABC) = area (∆DEF)]
⇒ BC² = EF²
⇒ BC = EF.
Also, since ∆ABC ~ ∆DEF,
therefore they are equiangular and hence
∠B = ∠E
and ∠C = ∠F.
Now in ∆s ABC and DEF,
∠B = ∠E, ∠C = ∠F
and BC = EF
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF (ASA congruence).

Question 5.
D, E and F are respectively the mid points of the sides BC, CA and AB of ∆ABC. Determine the ratio of the areas of triangles DEF and ABC.
Solution:

Given. D, E, F are the mid-point of the sides BC, CA and AB respectively of a tABC.
To find : ar (∆DEE) : ar (∆ABC)
Proof: In ∆ABC,
F is the mid-point of AB …(given)
E is the mid-point of AC …(given)
So, by the Mid-Foint Theorem
FE || BC and FE = \(\frac{1}{2}\) BC
⇒ FE || BD and FE = BD [∵ BD = \(\frac{1}{2}\) BC]
∴ BDEF is a || gm.
(∵ Opp. sides are || and equal)
In △s FBD and DEF,
FB = DE (opp. sides of || gm BDEF)
FD = FD .. .(common)
BD = FE
. ..(opp. sides of || gm BDEF)
∴ △FBD ≅ △DEF … (SSS Congruency Theorem)

Similary we can prove that:
△AFE ≅ △DEF
and △EDC ≅ △DEF
if △s are , then they are equal in area.
∴ ar (∆FBD) = ar. (∆DEF) ……………(1)
ar (∆AFE) = ar (∆DEF) ……………(2)
ar (∆EDC) = ar (∆DEF) ……………(3)
Now ar ∆ (ABC)
= ar (∆FBD) + ar (∆DEF) + ar (∆AFE) + ar (∆EDC)
= ar.(∆DEF) + ar (∆DEF) + ar (∆DEF) + ar. (∆DEF) [Using (1), (2) and (3)]
= 4 ar (∆DEF)
⇒ (∆DEF) = \(\frac{1}{4}\) ar(∆ABC)
⇒ \(\frac{{ar} .(\Delta \mathrm{DEF})}{{ar} .(\Delta \mathrm{ABC})}=\frac{1}{4}\)
∴ ar (∆DEF) : ar (∆ABC) = 1 : 4.

Question 6.
Prove that the ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding medians.
Solution:
Given: ∆ABC ~ ∆DEF.
AX and DY are the medians to the side BC and EF respectively.

To prove: \(\frac{{ar} .(\Delta \mathrm{ABC})}{{ar} .(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{AX}^{2}}{\mathrm{DY}^{2}}\)
Proof: ∆ABC ~ ∆DEF (Given)
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{2 \mathrm{BX}}{2 \mathrm{EY}}\)
[∵ AX and DY are medians
∴ BC = 2BX and EF = 2EY]

⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BX}}{\mathrm{EY}}\) ………………(1)
In ∆ABX and ∆DEY, [∵ ∆ABC ~ ∆DEF]
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BX}}{\mathrm{EY}}\) [Prove in (1)]
∴ ∆ABC ~ ∆DEY [By SAS criterion of similarity]
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{DY}}\) …………(2)
As the areas of two similar triangles are proportional to the squares of the corresponding sides, so
∴ \(\frac{{ar} .(\Delta \mathrm{ABC})}{{ar} .(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}=\frac{\mathrm{AX}^{2}}{\mathrm{D} \mathrm{Y}^{2}}\)
Hence proved.

Question 7.
Prove that the areas of the equilateral triangle described on the side of a square Is half the area of the equilateral triangle described on its diagonal.
Solution:
Given: ABCD is a square. Equilateral ∆ABE is described on the side AB of the square and equilateral ∆ACF is desribed on the diagonal AC.

To prove: \(\frac{{ar} .(\Delta \mathrm{ABE})}{{ar} .(\Delta \mathrm{ACF})}=\frac{1}{2}\)
Proof: In rt. ∆ABC,
⇒ AB² + BC² = AC² [By Pathagoras theorem]
= AB² + AB² = AC² [∵ AB = BC, being the sides of the same square]
⇒ 2AB² = AC² ………….(1)
Now each of ∆ABE and ∆ACF are equilateral and therefore equiangular and hence similar.
i.e., ∆ABE ~ ∆ACF.
Here any side of one ∆ is proportional to any side of other.
∴ \(\frac{\text { ar. }(\Delta \mathrm{ABE})}{\text { ar. }(\Delta \mathrm{ACF})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}\)

[∵ The ratio of the areas of two similar∆s is equal to their corresponding sides]
= \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{2 \mathrm{AB}^{2}}=\frac{1}{2}\) [Using (1)]

Question 8.
Tick the correct answer and justify: ABC and BDE are two equilateral triangles such that D is the mid point of BC. Ratio of the areas of triangles ABC and BDE is
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4.
Solution:
∆ABC and ∆BDE are two equilateral thangles. D is mid point of BC.
∴ BD = DC = \(\frac{1}{2}\) BC,
Let each side of triangles are 2a
∴ ∆ABC ~ ∆BDE
∴ \(\frac{\text { ar. }(\Delta \mathrm{ABC})}{\text { ar. }(\triangle \mathrm{BDE})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{BD}^{2}}\)

= \(\frac{(2 a)^{2}}{(a)^{2}}\)
= \(\frac{4 a^{2}}{a^{2}}\)
= \(\frac{4}{1}\) = 4 : 1
∴ Correct option is (C).

Question 9.
Tick the correct answer and justify: Sides of two similar triangles are in the ratio 4 : 9. Areas of these triangles are ¡n the ratio
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81.
Solution:

∆ABC ~ ∆DEF (given)

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{4}{9}\)

∴ \(\frac{\text { ar. }(\Delta \mathrm{ABC})}{\text { ar. }(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}\)

[If two triangles are similar ratio of their areas is equal to square of corresponding sides]
\(\frac{{ar} .(\Delta \mathrm{ABC})}{{ar} .(\Delta \mathrm{DEF})}=\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\) = \(\frac{16}{81}\) = 16 : 81
∴ Correct option is (D).

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 Circles MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 10 Circles MCQ Questions

Multiple Choice Questions and Answer

Answer each question by selecting the proper alternative from those given below each question to make the statement true:

Question 1.
In a circle with centre P, AB and CD are congruent chords. If ∠PAB = 40°, then ∠CPD = ………………..
A. 40°
B. 80°
C. 100°
D. 50°
Answer:
C. 100°

Question 2.
In a circle with radius 5 cm, the length of a chord lying at distance 4 cm from the centre is …………………. cm.
A. 3
B. 6
C. 12
D. 15
Answer:
B. 6

Question 3.
In a circle with radius 13 cm, the length of a chord is 24 cm. Then, the distance of the chord from the centre is ……………….. cm.
A. 10
B. 5
C. 12
D. 6.5
Answer:
B. 5

Question 4.
In a circle with radius 7 cm, the length of a minor arc is always less than ………………… cm.
A. 11
B. 22
C. 15
D. π
Answer:
B. 22

Question 5.
In a circle with centre P, AB is a minor arc. Point R is a point other than A and B on major arc AB. If ∠APB = 150°, then ∠ARB = …………… .
A. 150°
B. 75°
C. 50°
D. 100°
Answer:
B. 75°

Question 6.
In a circle with centre P, AB is a minor arc. Point R is a point other than A and B on major arc AB. If ∠ARB = 80°, then ∠APB = ……………. .
A. 40°
B. 80°
C. 160°
D. 60°
Answer:
C. 160°

Question 7.
In cyclic quadrilateral ABCD, ∠A – ∠C = 20°.
Then, ∠A = ………………. .
A. 20°
B. 80°
C. 100°
D. 50°
Answer:
C. 100°

Question 8.
In cyclic quadrilateral PQRS, 7∠P = 2∠R.
Then, ∠P = ………………….. .
A. 20°
B. 40°
C. 140°
D. 100°
Answer:
B. 40°

Question 9.
The measures of two angles of a cyclic quadrilateral are 40° and HOP. Then, the measures of other two angles of the quadrilateral are ……………….. .
A. 40° and 110°
B. 50° and 100°
C. 140° and 70°
D. 20° and 120°
Answer:
C. 140° and 70°

Question 10.
In cyclic quadrilateral PQRS, ∠SQR = 60° and ∠QPR = 20°. Then, ∠QRS = ……………… .
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
Answer:
D. 100°

Question 11.
In cyclic quadrilateral ABCD, ∠CAB = 30° and ∠ABC = 100°. Then, ∠ADB =
A. 50°
B. 100°
C. 75°
D. 60°
Answer:
A. 50°

Question 12.
Equilateral ∆ ABC is inscribed in a circle with centre P. Then, ∠BPC = ……………. .
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 75°
Answer:
C. 120°

Question 13.
∆ ABC is inscribed in a circle with centre O and radius 5 cm and AC is a diameter of the circle. If AB = 8 cm, then BC = ………………… cm.
A. 10
B. 8
C. 6
D. 15
Answer:
C. 6

Question 14.
In cyclic quadrilateral ABCD, ∠A = 70° and ∠B + ∠C = 160°. Then, ∠B = ………………. .
A. 35°
B. 25°
C. 50°
D. 130°
Answer:
C. 50°

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 Circles Ex 10.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 Circles Ex 10.6

Question 1.
Prove that the line segment joining the centres of two intersecting circles subtends equal angles at the two points of intersection.
Answer:

Circles with centres O and P intersect each other at points A and B.
In ∆ OAP and ∆ OBR
OA = OB (Radii of circle with centre O)
PA = PB (Radii of circle with centre P)
OP = OP (Common)
∴ By SSS rule, ∆ OAP = ∆ OBP
∴ ∠OAP = ∠OBP (CPCT)
Thus, OP subtends equal angles at A and B. Hence, the line segment joining the centres of two intersecting circles subtends equal angles at the two points of intersection.

Question 2.
Two chords AB and CD of lengths 5 cm and 11 cm respectively of a circle are parallel to each other and are on opposite sides of its centre. If the distance between AB and CD is 6 cm, find the radius of the circle.
Answer:

Draw the perpendicular bisector of AB to intersect AB at M and draw the perpendicular bisector of CD to intersect CD at N.
Both these perpendicular bisectors pass through centre O and since AB || CD; M, O and N are collinear points.
Now, MB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{5}{2}\) = 2.5 cm,
CN = \(\frac{1}{2}\)CD = \(\frac{11}{2}\) = 5.5 cm and MN = 6 cm.
Let ON = x cm s
∴ OM = MN – ON = (6 – x) cm
Suppose the radius of the circle is r cm.
∴ OB = OC = r cm
In ∆ OMB, ∠M = 90°
∴OB² = OM² + MB²
∴ r² = (6 – x)² + (2.5)²
∴ r² = 36 – 12x + x² + 6.25 ………….. (1)
In ∆ ONC, ∠N = 90°
∴ OC² = ON² + CN²
∴ r² = (x)² + (5.5)²
∴ r² = x² + 30.25 ………………. (2)
From (1) and (2),
36 – 12x + x² + 6.25 = x² + 30.25
∴ – 12x = 30.25 – 6.25 – 36
∴- 12x = – 12
∴x = 1
Now, r² = x² + 30.25
∴ r² = (1)2 + 30.25
∴ r² = 31.25
∴ r = √31.25 (Approximately 5.6)
Thus, the radius of the circle is √31.25 (approximately 5.6) cm.
Note: If the calculations are carried out in simple fractions, then MB = \(\frac{5}{2}\) cm, CN = \(\frac{11}{2}\) cm and radius is \(\frac{5 \sqrt{5}}{2}\) (approximately 5.6) cm.

Question 3.
The lengths of two parallel chords of a circle are 6 cm and 8 cm. If the smaller chords is at distance 4 cm from the cehtre, what is the distance of the other chord from the centre?
Answer:

In a circle with centre O, chord AB is parallel to chord CD, AB = 8 cm and CD = 6 cm.
Draw OM ⊥ AB, ON ⊥ CD, radius OB and radius OC.
Then, MB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 cm,
NC = \(\frac{1}{2}\)CD = \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3cm and ON = 4cm.
In ∆ ONC, ∠N = 90°
∴ OC² = ON² + NC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
∴ OC = 5 cm
∴ OB = 5 cm (OB = OC = Radius)
In ∆ OMB, ∠M = 90°
∴ OB² = OM² + MB²
∴ 5² = OM² + 4²
∴ 25 = OM² + 16
∴ OM² = 9
∴ OM = 3 cm
Thus, the distance of the other chord from the centre is 3 cm.

Question 4.
Let the vertex of an angle ABC be located outside a circle and let the sides of the angle intersect equal chords AD and CE with the circle. Prove that ∠ABC is equal to half the difference of the angles subtended by the chords AC and DE at the centre.
Answer:

In ∆ ABE, ∠AEC is an exterior angle.
∴ ∠AEC = ∠ABE + ∠BAE
∴ ∠ABE = ∠AEC – ∠BAE
∴ ∠ABC = ∠AEC – ∠DAE ……………. (1)
Now, ∠AEC = \(\frac{1}{2}\) ∠AOC (Theorem 10.8)
and ∠ DAE = \(\frac{1}{2}\) ∠DOE (Theorem 10.8)
Substituting above values in (1),
∠ABC = \(\frac{1}{2}\) ∠AOC – \(\frac{1}{2}\)∠DOE
∴ ∠ABC = \(\frac{1}{2}\) (∠AOC – ∠DOE)
Here, ∠AOC is the angle subtended by chord AC at the centre and ∠DOE is the angle subtended by chord DE at the centre.
Thus, ∠ABC is equal to half the difference of the angles subtended by the chords AC and DE at the centre.
Note: There is no need for chords AD and CE to be equal.

Question 5.
Prove that the circle drawn with any side of a rhombus as diameter passes through the point of intersection of its diagonals.
Answer:

ABCD is a rhombus and its diagonals intersect at M.
∴ ∠BMC is a right angle.
A circle is drawn with diameter BC.
There are three possibilities for point M:
(1) M lies in the interior of the circle,
(2) M lies in the exterior of the circle.
(3) M lies on the circle.
According to (1), if M lies in the interior of the circle, then BM produced will intersect the circle at E. Then, ∠BEC is an angle in a semicircle and hence a right angle, i.e.,
∠MEC = 90°.
In ∆ MEC, ∠ BMC is an exterior angle.
∴ ∠ BMC > ∠ MEC, i.e., ∠ BMC > 90°. In this situation, ∠ BMC is an obtuse angle which contradicts that ∠ BMC = 90°.
Similarly, according to (2), if M lies in the exterior of the circle, then ∠BMC is an acute angle which contradicts that ∠BMC 90°. Thus, possibilities (1) and (2) cannot be true.
Hence, only possibility (3) is true, i.e., M lies on the circle.
Thus, the circle drawn with any side of a rhombus as diameter passes through the point of intersection of its diagonals.

Question 6.
ABCD is a parallelogram. The circle through A, B and C intersects CD (produced if necessary at) E. Prove that AE = AD.
Answer:

Here, the circle through A, B and C intersects CD at E.
∴ Quadrilateral ABCE is cyclic.
ABCD is a parallelogram.
∴ ∠ABC = ∠ADC
∴ ∠ABC = ∠ADE
In cyclic quadrilateral ABCE,
∠ABC + ∠AEC = 180°
∴ ∠ADE + ∠AEC = 180° ……………… (1)
Moreover, ∠AEC and ∠AED form a linear pair.
∴ ∠AED + ∠AEC = 180° ………………. (2)
From (1) and (2),
∠ADE + ∠AEC = ∠AED + ∠AEC
∴ ∠ ADE = ∠ AED
Thus, in ∆ AED, ∠ADE = ∠AED.
∴ AE = AD (Sides opposite to equal angles)
Note: If the circle intersect CD produced, l then also the result can be proved in similar way.

Question 7.
AC and BD are chords of a circle which bisect each other. Prove that (i) AC and BD are diameters, (ii) ABCD is a rectangle.
Answer:

Chords AC and BD of a circle bisect each other at point O.
Hence, the diagonals of quadrilateral ABCD bisect each other.
∴ Quadrilateral ABCD Is a parallelogram.
∴ ∠BAC = ∠ACD (Alternate angles formed by transversal AC of AB || CD)
Moreover, ∠ACD = ∠ABD (Angles in same segment)
∴ ∠BAC = ∠ABD
∴ ∠BAO = ∠ABO
∴ In A OAB, OA = OB.
But, OA = OC and OB = OD
∴ OA = OB = OC = OD
∴ OA + OC = OB + OD
∴ AC = BD
Thus, the diagonals of parallelogram ABCD are equal.
∴ ABCD is a rectangle.
∴ ∠ABC = 90°
Hence, ∠ABC is an angle in a semicircle and AC is a diameter.
Similarly, ∠BAD = 90°.
Hence, ∠BAD is an angle in a semicircle and BD is a diameter.

Question 8.
Bisectors of angles A, B and C of a triangle ABC intersect its circumcircle at D, E and F respectively. Prove that the angles of the triangle DEF are 90° – \(\frac{1}{2}\)A, 90° – \(\frac{1}{2}\)B and 90° – \(\frac{1}{2}\)C.
Answer:

The bisectors of ∠A, ∠B and ∠ C of ∆ ABC intersect the circumcircle of ∆ ABC at D, E and F respectively. .
∠FDE = ∠FDA + ∠EDA (Adjacent angles)
= ∠ FCA + ∠ EBA (Angles in same segment)
= \(\frac{1}{2}\)∠C + \(\frac{1}{2}\)∠B (Bisector of angles in ∆ ABC)
= \(\frac{1}{2}\)(∠ B + ∠ C)
= \(\frac{1}{2}\)(180° – ∠A) [∠A + ∠B + ∠C = 180°)
= 90° – \(\frac{1}{2}\) ∠A
Thus, ∠FDE = 90° – \(\frac{1}{2}\) ∠A.
Similarly, ∠ DEF = 90° – \(\frac{1}{2}\) ∠B and
∠ EFD = 90° – \(\frac{1}{2}\) ∠C.

Question 9.
Two congruent circles intersect each Other at points A and B. Through A any line segment PAQ is drawn so that P 9 lie-on. , the two circles. Prove that BP = BQ.
Answer:

Two congruent circles with centres X and Y intersect at A and B.
Hence, AB is their common chord.
In congruent circles, equal chords subtend equal angles at the centres.
∴ ∠AXB = ∠AYB
In the circle with centre X, ∠AXB = 2∠APB and in the circle with centre Y, ∠AYB = 2∠AQB.
∴ 2∠ APB = 2∠ AQB
∴ ∠APB = ∠AQB
∴ ∠QPB = ∠PQB
Thus, in ∆ BPQ, ∠QPB = ∠PQB
∴ QB = PB (Sides opposite to equal angles)
Hence, BP = BQ.

Question 10.
In any triangle ABC, if the angle bisector of ∠A and perpendicular bisector of BC intersect, prove that they intersect on the circumcircle of the triangle ABC.
Answer:

In ∆ ABC, the bisector of ∠A intersects the circumcircle of ∆ ABC at D.
∴∠BAD = ∠CAD
Aso, ∠BAD = ∠BCD and ∠CAD = ∠CBD (Angles in same segment)
∴ ∠BCD = ∠CBD
Thus, in ∆ BCD, ∠BCD = ∠CBD
∴BD = CD (Sides opposite to equal angles)
Thus, point D is equidistant from B and C.
Hence, D is a point on the perpendicular bisector of BC.
Thus, the bisector of ∠ A and the perpendicular bisector of side BC intersect at D and D is a point on the circumcircle of ∆ ABC.
Thus, in ∆ ABC, if the angle bisector of ∠A and the perpendicular bisector of side BC intersect, they intersect on the circumcircle of ∆ ABC.
Note: In ∆ ABC, if AB = AC, then the bisector of ∠A and the perpendicular bisector of side BC will coincide , and would not intersect in a single point.